人教版2024-2025学年八年级数学上册专题14.3乘法公式及其应用(重点题专项讲练)(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册专题14.3乘法公式及其应用(重点题专项讲练)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 464.0KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-21 09:30:05 | ||
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文档简介
专题14.3 乘法公式及其应用
【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．
（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；
（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．
【思路点拨】
（1）结合算式拼图即可；
（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab进行计算即可；
（3）由ab代入计算即可；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy，代入即可计算出结果为31．
【解题过程】
解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
∴ab，
又∵a+b＝5，a2+b2＝13，
∴ab6；
（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，
∴x2+y2＝4043，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy2021，
即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，
∴x2+y2＝64，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴
∵x﹣y＝2，
∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．
1．（2021春 莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
2．（真题 安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3
3．（真题 南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．（2021春 常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
5．（2021春 镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．4041 B．2021 C．2020 D．1
6．（2021 宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．（真题 凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
8．（真题 高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）
A．16cm2 B．15cm2 C．cm2 D．cm2
9．（2021春 芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 ．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1的结果的个位数字为 ．
11．（真题 莱州市期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202． （2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
12．（真题 玉州区期中）已知x且0＜x＜1，求x2的值．
13．（真题 仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
14．（真题 长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x＞y，x+y＝3，xy，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝ ．
15．（真题 花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
16．（2021春 电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 或 ，这就验证了乘法公式 （用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝ ．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝ ．
17．（真题 东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
18．（真题 十堰期末）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
19．（真题 西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现
（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．
类比探究
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
拓展延伸
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
20．（2021 沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝1 +4 ﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204，求xy的值；
（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为168，求n的值．
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专题14.3 乘法公式及其应用
【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．
（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；
（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．
【思路点拨】
（1）结合算式拼图即可；
（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab进行计算即可；
（3）由ab代入计算即可；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy，代入即可计算出结果为31．
【解题过程】
解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
∴ab，
又∵a+b＝5，a2+b2＝13，
∴ab6；
（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，
∴x2+y2＝4043，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy2021，
即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，
∴x2+y2＝64，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴
∵x﹣y＝2，
∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．
1．（2021春 莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
【思路点拨】
能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
【解题过程】
解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．
故选：B．
2．（真题 安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3
【思路点拨】
根据完全平方公式的特征即可得到m的值．
【解题过程】
解：∵x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴2（m﹣1）＝±2×2，
m﹣1＝±2，
解得m＝﹣1或3．
故选：D．
3．（真题 南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【思路点拨】
逆用平方差公式，进行变形即可得出答案．
【解题过程】
解：∵a＝361×918，
b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，
c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，
∴a＜c＜b，
故选：B．
4．（2021春 常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【思路点拨】
由面积的和差关系可求解即可．
【解题过程】
解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
5．（2021春 镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．4041 B．2021 C．2020 D．1
【思路点拨】
依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．
【解题过程】
解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，
故选：C．
6．（2021 宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【思路点拨】
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．
【解题过程】
解：设k是正整数，
∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；
∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，
C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：C．
7．（真题 凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
【思路点拨】
根据负整数指数幂和完全平方公式对原式进行变形，然后利用等式的性质求得x的值，从而利用整体思想代入求值．
【解题过程】
解：原式＝x23
＝（x）2﹣2+3
＝（x）2+1，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣30，
∴x3，
∴原式＝32+1＝9+1＝10，
故选：C．
8．（真题 高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）
A．16cm2 B．15cm2 C．cm2 D．cm2
【思路点拨】
由题意可求得x2+2xy+y2＝64和x2﹣2xy+y2＝1，则可求得xy的值，此题得以求解．
【解题过程】
解：由题意得，2（x+y）＝16，
∴（x+y）＝8，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝82＝64，
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1
＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
＝（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1，
∴（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝4xy＝64﹣1＝63，
∴xy，
∴该长方形的面积为，
故选：D．
9．（2021春 芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 ．
【思路点拨】
直接逆用平方差公式得出即可．
【解题过程】
解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，
∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，
∴x﹣2y＝3．
故答案为：3．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1的结果的个位数字为 ．
【思路点拨】
先将原式进行计算得到264，再判断264的个位数字即可．
【解题过程】
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……
又因为64÷4＝16，所以264的个位数字是6，
故答案为：6．
11．（真题 莱州市期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
【思路点拨】
根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
【解题过程】
解：（1）原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）2 0002﹣1 9992+1 9982﹣1 9972+…+22﹣12
＝（2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1
＝（2 000+1）+（1 999+2）+（1 998+3）+…（1 001+1 000）
＝2 001×1000
＝2 001 000．
12．（真题 玉州区期中）已知x且0＜x＜1，求x2的值．
【思路点拨】
根据完全平方公式进行变形求解．
【解题过程】
解：原式＝（x）（x），
∵，
∴（x）2，
∴x22，
∴（x）2＝x2﹣22，
又∵0＜x＜1，
∴x0，
∴x，
∴原式．
13．（真题 仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
【思路点拨】
（1）观察上面的式子得出规律，即可得出答案；
（2）①当x＝2时即可得出答案；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，等式两边都除以﹣1，再减去1即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，
故答案为：1﹣xm+1；
（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，
∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，
∴原式＝2m+1﹣2．
14．（真题 长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x＞y，x+y＝3，xy，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝ ．
【思路点拨】
知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．
成果应用：利用前面得到的关系变形计算．
【解题过程】
解：知识生成：图1中阴影部分面积可以表示为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
知识迁移：图2中几何体的体积为：（a+b）3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
成果应用：（1）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9﹣5＝4．
∴x﹣y＝±2．
∵x＞y，
∴x﹣y＝2．
（2）∵|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，
∴a+b﹣4＝0，ab﹣2＝0．
∴a+b＝4，ab＝2．
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝（a+b）3﹣3ab（a+b）
＝64﹣3×2×4
＝40．
故答案为：40．
15．（真题 花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，两个等式作差可求得此题结果；
（3）由题意得a2，从而可解得此题结果．
【解题过程】
解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，
∴ab12；
（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：a2，
∴当a+b＝8，ab＝15时，
图3中阴影部分的面积为：．
16．（2021春 电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 或 ，这就验证了乘法公式 （用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝ ．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝ ．
【思路点拨】
（1）用两种方法分别表示大正方形的面积，根据面积相等得出乘法公式；
（2）可以利用相同的方法进行探究推证，构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证；
（3）根据（2）推导过程，得出规律，根据规律计算即可．
【解题过程】
解：（1）大正方形的边长为（a+b），所以面积可以表示为：（a+b）2，
也可以用两个矩形和两个正方形的面积的和来表示，即a2+2ab+b2，
根据面积相等得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H、E与F和I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62＝36．
故答案为：36．
（3）根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
依据规律得：13+23+33+...+103＝（1+2+3+...+10）2＝552＝3025．
故答案为：3025．
17．（真题 东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
【思路点拨】
（1）根据小明的思路得到关于b的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）根据小明的思路得到关于x的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．
【解题过程】
解：（1）∵a+b＝2，
∴a＝2﹣b；
代入a2+b2得到：
a2+b2
＝（2﹣b）2+b2
＝4﹣4b+b2+b2
＝2b2﹣4b+4
＝2（b﹣1）2+2；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是2；
故答案为：2﹣b，1，2，2；
（2）∵x+y＝10，
∴y＝10﹣x；
∴x2+y2
＝x2+（10﹣x）2
＝2x2﹣20x+100
＝2（x﹣5）2+50；
根据完全平方式的非负性，就得到了x2+y2的最小值是50．
根据小明的方法，当x+y＝10时，x2+y2的最小值是50．
18．（真题 十堰期末）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
【思路点拨】
（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；
（3）仿照例题的思路，设...x，然后进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设...x，
∴
＝（x）（1+x）﹣（1+x） x
＝x+x2x﹣x﹣x2x
．
19．（真题 西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现
（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．
类比探究
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
拓展延伸
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【思路点拨】
（1）令a＝3﹣x，b＝x﹣2，整体代入后利用完全平方和公式求解；
（2）令a＝2021﹣x，b＝2020﹣x，再利用完全平方差公式求代数式的值；
（3）设a＝x﹣20，b＝x﹣10，由题意列出方程ab＝200，再结合正方形和矩形的面积公式求四边形MFNP的面积．
【解题过程】
解：（1）设a＝3﹣x，b＝x﹣2，
∴ab＝﹣10，a+b＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2，
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（﹣10）2﹣2×1
＝98；
（2）设a＝2021﹣x，b＝2020﹣x，
∴a﹣b＝1，a2+b2＝2019，
∴（2021﹣x）（2020﹣x）1009；
（3）∵EF＝DG＝x﹣20，ED＝FG＝x﹣10，
∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，
∴MF＝EF+EM＝EF+ED＝（x﹣20）+（x﹣10），FN＝FG+GN＝FG+GD，
∴FN＝（x﹣10）+（x﹣20），
∴MF＝NF，
∴四边形MFNP为正方形，
设a＝x﹣20，b＝x﹣10，
∴a﹣b＝﹣10，
∵SEFGD＝200，
∴ab＝200，
∴（a﹣b）2+4ab＝（﹣10）2+4×200＝900．
20．（2021 沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝1 +4 ﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204，求xy的值；
（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为168，求n的值．
【思路点拨】
（1）根据新定义，求出（2x，kx） （﹣2y，y），再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204的左边，从而得出方程，再配方将2x+y＝18整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形CGE的面积﹣三角形DFE的面积，可以把阴影部分的面积表示出来，从得到关于n的方程，再把（2）的结论代入即可求出n．
【解题过程】
解：（1）（2x）2+y2﹣kx （﹣2y）
＝4x2+2kxy+y2，
∵4x2+2kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±2；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2，
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy＝204
∵2x+y＝18
∴182﹣4xy＝204
∴xy＝30；
（3）2nx2，
，
，
S△GEC，
∴
＝42n＝168，
∴n＝4．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．
（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；
（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．
【思路点拨】
（1）结合算式拼图即可；
（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab进行计算即可；
（3）由ab代入计算即可；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy，代入即可计算出结果为31．
【解题过程】
解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
∴ab，
又∵a+b＝5，a2+b2＝13，
∴ab6；
（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，
∴x2+y2＝4043，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy2021，
即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，
∴x2+y2＝64，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴
∵x﹣y＝2，
∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．
1．（2021春 莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
2．（真题 安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3
3．（真题 南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
4．（2021春 常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
5．（2021春 镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．4041 B．2021 C．2020 D．1
6．（2021 宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
7．（真题 凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
8．（真题 高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）
A．16cm2 B．15cm2 C．cm2 D．cm2
9．（2021春 芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 ．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1的结果的个位数字为 ．
11．（真题 莱州市期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202． （2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
12．（真题 玉州区期中）已知x且0＜x＜1，求x2的值．
13．（真题 仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
14．（真题 长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x＞y，x+y＝3，xy，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝ ．
15．（真题 花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
16．（2021春 电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 或 ，这就验证了乘法公式 （用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝ ．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝ ．
17．（真题 东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
18．（真题 十堰期末）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
19．（真题 西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现
（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．
类比探究
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
拓展延伸
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
20．（2021 沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝1 +4 ﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204，求xy的值；
（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为168，求n的值．
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专题14.3 乘法公式及其应用
【典例1】数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形．并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．利用图2正方形面积的不同表示方法，可以验证公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
（1）类似的，请你用图1中的三种纸片拼一个图形验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，请画出图形．
（2）已知：a+b＝5，a2+b2＝13，求ab的值；
（3）已知（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，求（2021﹣a）（a﹣2020）的值；
（4）已知（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，求（a﹣2021）2的值．
【思路点拨】
（1）结合算式拼图即可；
（2）由（a+b）2＝a2+2ab+b2可推导出ab进行计算即可；
（3）由ab代入计算即可；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，由（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，可推得xy，代入即可计算出结果为31．
【解题过程】
解：（1）如图，可以验证：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；
（2）∵（a+b）2＝a2+b2+2ab
∴2ab＝（a+b）2﹣（a2+b2），
∴ab，
又∵a+b＝5，a2+b2＝13，
∴ab6；
（3）设2021﹣a＝x，a﹣2020＝y，则x+y＝1，
∵（2021﹣a）2+（a﹣2020）2＝4043，
∴x2+y2＝4043，
∵（x+y）2＝x2+2xy+y2，
∴xy2021，
即（2021﹣a）（a﹣2020）＝xy＝﹣2021；
（4）设a﹣2020＝x，a﹣2022＝y，则x﹣y＝2，
∵（a﹣2020）2+（a﹣2022）2＝64，
∴x2+y2＝64，
∵（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2，
∴
∵x﹣y＝2，
∴（a﹣2021）2＝（a﹣2021）（a﹣2021）＝（x﹣1）（y+1）＝xy+x﹣y﹣1＝30+2﹣1＝31．
1．（2021春 莱山区期末）如果用平方差公式计算（x﹣y+5）（x+y+5），则可将原式变形为（ ）
A．[（x﹣y）+5][（x+y）+5] B．[（x+5）﹣y][（x+5）+y]
C．[（x﹣y）+5][（x﹣y）﹣5] D．[x﹣（y+5）][x+（y+5）]
【思路点拨】
能用平方差公式计算式子的特点是：（1）两个二项式相乘，（2）有一项相同，另一项互为相反数．把x+5看作公式中的a，y看作公式中的b，应用公式求解即可．
【解题过程】
解：（x﹣y+5）（x+y+5）＝[（x+5）﹣y][（x+5）+y]．
故选：B．
2．（真题 安居区期末）若x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，则m的值等于（ ）
A．2 B．3 C．2或﹣2 D．﹣1或3
【思路点拨】
根据完全平方公式的特征即可得到m的值．
【解题过程】
解：∵x2+2（m﹣1）x+4是一个完全平方式，
∴2（m﹣1）＝±2×2，
m﹣1＝±2，
解得m＝﹣1或3．
故选：D．
3．（真题 南安市期中）设a＝192×918，b＝8882﹣302，c＝10532﹣7472，则数a，b，c按从小到大的顺序排列，结果是（ ）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【思路点拨】
逆用平方差公式，进行变形即可得出答案．
【解题过程】
解：∵a＝361×918，
b＝（888﹣30）×（888+30）＝858×918，
c＝（1053+747）×（1053﹣747）＝1800×306＝600×918，
∴a＜c＜b，
故选：B．
4．（2021春 常德期末）如图，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分拼成一个长方形（无重叠部分），通过计算两个图形中阴影部分的面积，可以验证的一个等式是（ ）
A．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b） B．a（a﹣b）＝a2﹣ab
C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．a（a+b）＝a2+ab
【思路点拨】
由面积的和差关系可求解即可．
【解题过程】
解：根据图形可知：第一个图形阴影部分的面积为a2﹣b2，第二个图形阴影部分的面积为（a+b）（a﹣b），
即a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），
故选：C．
5．（2021春 镇江期中）小妍将（2020x+2021）2展开后得到a1x2+b1x+c1；小磊将（2021x﹣2020）2展开后得到a2x2+b2x+c2，若两人计算过程无误，则c1﹣c2的值为（ ）
A．4041 B．2021 C．2020 D．1
【思路点拨】
依据完全平方公式求出c1和c2，即可得到c1﹣c2＝20212﹣20202，进而得出结论．
【解题过程】
解：∵（2020x+2021）2＝20202x2+2×2020×2021x+20212＝a1x2+b1x+c1，
∴c1＝20212，
∵（2021x﹣2020）2＝20212x2﹣2×2021×2020x+20202＝a2x2+b2x+c2，
∴c2＝20202，
∴c1﹣c2＝20212﹣20202＝（2021+2020）（2021﹣2020）＝4041，
故选：C．
6．（2021 宝安区模拟）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么这个正整数就称为“智慧数”，例如：5＝32﹣22，5就是一个智慧数，则下列各数不是智慧数的是（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【思路点拨】
除1外，所有的奇数都是智慧数；除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数．
【解题过程】
解：设k是正整数，
∵（k+1）2﹣k2＝（k+1+k）（k+1﹣k）＝2k+1，
∴除1外，所有的奇数都是智慧数，所以，B，D选项都是智慧数，不符合题意；
∵（k+1）2﹣（k﹣1）2＝（k+1+k﹣1）（k+1﹣k+1）＝4k，
∴除4外，所有的能被4整除的偶数都是智慧数，所以A选项是智慧数，不符合题意，
C选项2022不是奇数也不是4的倍数，不是智慧数，符合题意．
故选：C．
7．（真题 凤山县期末）已知x2﹣3x+1＝0，则x2+x﹣2+3值为（ ）
A．10 B．9 C．12 D．3
【思路点拨】
根据负整数指数幂和完全平方公式对原式进行变形，然后利用等式的性质求得x的值，从而利用整体思想代入求值．
【解题过程】
解：原式＝x23
＝（x）2﹣2+3
＝（x）2+1，
∵x2﹣3x+1＝0，
∴x﹣30，
∴x3，
∴原式＝32+1＝9+1＝10，
故选：C．
8．（真题 高青县期中）已知长方形的周长为16cm，它两邻边长分别为xcm，ycm，且满足（x﹣y）2﹣2x+2y+1＝0，则该长方形的面积为（ ）
A．16cm2 B．15cm2 C．cm2 D．cm2
【思路点拨】
由题意可求得x2+2xy+y2＝64和x2﹣2xy+y2＝1，则可求得xy的值，此题得以求解．
【解题过程】
解：由题意得，2（x+y）＝16，
∴（x+y）＝8，
∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝82＝64，
∵（x﹣y）2﹣2x+2y+1
＝（x﹣y）2﹣2（x﹣y）+1
＝（x﹣y﹣1）2＝0，
∴x﹣y＝1，
∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1，
∴（x2+2xy+y2）﹣（x2﹣2xy+y2）＝4xy＝64﹣1＝63，
∴xy，
∴该长方形的面积为，
故选：D．
9．（2021春 芝罘区期末）已知x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，则多项式x﹣2y的值是 ．
【思路点拨】
直接逆用平方差公式得出即可．
【解题过程】
解：∵x+2y＝13，x2﹣4y2＝39，
∴x2﹣4y2＝（x+2y）（x﹣2y）＝39，
∴x﹣2y＝3．
故答案为：3．
10．（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1的结果的个位数字为 ．
【思路点拨】
先将原式进行计算得到264，再判断264的个位数字即可．
【解题过程】
解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝（24﹣1）（24+1）（28+1） … （232+1）+1
＝264﹣1+1
＝264，
而21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，……
又因为64÷4＝16，所以264的个位数字是6，
故答案为：6．
11．（真题 莱州市期中）用简便方法进行计算：
（1）20212﹣4040×2021+20202．
（2）20002﹣19992+19982﹣19972+…+22﹣12．
【思路点拨】
根据完全平方公式和平方差公式解答即可．
【解题过程】
解：（1）原式＝2 0212﹣2×2 020×2 021+2 0202
＝（2 021﹣2 020）2
＝1；
（2）2 0002﹣1 9992+1 9982﹣1 9972+…+22﹣12
＝（2 000+1 999）（2 000﹣1 999）+（1 998+1 997）（1 998﹣1 997）+…+（2+1）（2﹣1）
＝2 000+1 999+1 998+1 997+…+2+1
＝（2 000+1）+（1 999+2）+（1 998+3）+…（1 001+1 000）
＝2 001×1000
＝2 001 000．
12．（真题 玉州区期中）已知x且0＜x＜1，求x2的值．
【思路点拨】
根据完全平方公式进行变形求解．
【解题过程】
解：原式＝（x）（x），
∵，
∴（x）2，
∴x22，
∴（x）2＝x2﹣22，
又∵0＜x＜1，
∴x0，
∴x，
∴原式．
13．（真题 仁寿县期末）阅读下列文字，寻找规律，解答下列各小题．
已知x≠1，计算：
（1﹣x）（1+x）＝1﹣x2
（1﹣x）（1+x+x2）＝1﹣x3
（1﹣x）（1+x+x2+x3）＝1﹣x4
（1﹣x）（1+x+x2+x3+x4）＝1﹣x5
（1）观察上式计算：（1﹣x）（1+x+x2+…+xm）＝ ．
（2）计算：
①（1﹣2）（1+2+22+23+…+22022）；
②2+22+23+24+…+2m．
【思路点拨】
（1）观察上面的式子得出规律，即可得出答案；
（2）①当x＝2时即可得出答案；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，等式两边都除以﹣1，再减去1即可得出答案．
【解题过程】
解：（1）观察上面的式子得到原式＝1﹣xm+1，
故答案为：1﹣xm+1；
（2）①当x＝2时，原式＝1﹣22023；
②当x＝2时，（1﹣2）（1+2+22+23+…+2m）＝1﹣2m+1，
∴1+2+22+23+…+2m＝2m+1﹣1，
∴原式＝2m+1﹣2．
14．（真题 长春期末）【知识生成】用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y（x＞y）的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可以得到（x﹣y）2、（x+y）2、xy三者之间的等量关系式： ；
【知识迁移】如图2所示的大正方体是由若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式： ；
【成果运用】利用上面所得的结论解答：
（1）已知x＞y，x+y＝3，xy，求x﹣y的值；
（2）已知|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，则a3+b3＝ ．
【思路点拨】
知识生成：用两种方法表示同一个图形面积即可．
知识迁移：用两种方法表示同一个几何体体积即可．
成果应用：利用前面得到的关系变形计算．
【解题过程】
解：知识生成：图1中阴影部分面积可以表示为：（a﹣b）2，还可以表示为：（a+b）2﹣4ab．
∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab．
知识迁移：图2中几何体的体积为：（a+b）3，还可以表示为：a3+3a2b+3ab2+b3．
（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3．
成果应用：（1）∵（x﹣y）2＝（x+y）2﹣4xy＝9﹣5＝4．
∴x﹣y＝±2．
∵x＞y，
∴x﹣y＝2．
（2）∵|a+b﹣4|+（ab﹣2）2＝0，
∴a+b﹣4＝0，ab﹣2＝0．
∴a+b＝4，ab＝2．
∴a3+b3＝（a+b）3﹣3a2b﹣3ab2
＝（a+b）3﹣3ab（a+b）
＝64﹣3×2×4
＝40．
故答案为：40．
15．（真题 花都区期末）如图1，有A型、B型、C型三种不同形状的纸板，A型是边长为a的正方形，B型是边长为b的正方形，C型是长为b，宽为a的长方形．现用A型纸板一张，B型纸板一张，C型纸板两张拼成如图2的大正方形．
（1）观察图2，请你用两种方法表示出图2的总面积．
方法1： ；
方法2： ；
请利用图2的面积表示方法，写出一个关于a，b的等式： ．
（2）已知图2的总面积为49，一张A型纸板和一张B型纸板的面积之和为25，求ab的值．
（3）用一张A型纸板和一张B型纸板，拼成图3所示的图形，若a+b＝8，ab＝15，求图3中阴影部分的面积．
【思路点拨】
（1）由观察图2可得两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，两个等式作差可求得此题结果；
（3）由题意得a2，从而可解得此题结果．
【解题过程】
解：（1）用两种方法表示出图2的总面积为（a+b）2和a2+2ab+b2，
关于a，b的等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，
故答案为：（a+b）2，a2+2ab+b2，（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）由题意得，（a+b）2＝a2+2ab+b2＝49，a2+b2＝25，
∴ab12；
（3）由题意得图3中阴影部分的面积为：a2，
∴当a+b＝8，ab＝15时，
图3中阴影部分的面积为：．
16．（2021春 电白区月考）问题再现：初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释．
（1）例如：利用图①的几何意义推证，将一个边长为a的正方形的边长增加b，形成两个矩形和两个正方形，这个大正方形的面积可以用两种形式表示，分别用代数式表示为 或 ，这就验证了乘法公式 （用式子表达）；
（2）问题提出：
如何利用图形几何意义的方法推证：13+23＝32？如图②，
A表示1个1×1的正方形，即：1×1×1＝13，
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此：B，C，D就可以表示2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23，
而A，B，C，D恰好可以拼成一个（1+2）×（1+2）的大正方形，
由此可得：13+23＝（1+2）2＝32＝9．
尝试解决：请你类比上述推导过程，利用图形几何意义方法推证，然后求值：
13+23+33＝ ．（要求自己构造图形并写出推证过程）．
（3）问题拓广：（要求直接求出具体数值，不必有构造图形、推证过程）
请用上面的表示几何图形面积的方法探究：13+23+33+…+103＝ ．
【思路点拨】
（1）用两种方法分别表示大正方形的面积，根据面积相等得出乘法公式；
（2）可以利用相同的方法进行探究推证，构成大正方形有9个基本图形（3个正方形6个长方形）组成，如图所示可以推证；
（3）根据（2）推导过程，得出规律，根据规律计算即可．
【解题过程】
解：（1）大正方形的边长为（a+b），所以面积可以表示为：（a+b）2，
也可以用两个矩形和两个正方形的面积的和来表示，即a2+2ab+b2，
根据面积相等得到乘法公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
故答案为：（a+b）2；a2+2ab+b2；（a+b）2＝a2+2ab+b2；
（2）如图，A表示1个1×1的正方形，即1×1×1＝13；
B表示1个2×2的正方形，C与D恰好可以拼成1个2×2的正方形，
因此B、C、D就可以拼成2个2×2的正方形，即：2×2×2＝23；
G与H、E与F和I可以拼成3个3×3的正方形，即：3×3×3＝33；
而整个图形恰好可以拼成一个（1+2+3）×（1+2+3）的大正方形，
因此可得：13+23+33＝（1+2+3）2＝62＝36．
故答案为：36．
（3）根据规律可得：13+23+33+…+n3＝（1+2+3+…+n）2．
依据规律得：13+23+33+...+103＝（1+2+3+...+10）2＝552＝3025．
故答案为：3025．
17．（真题 东城区校级期中）老师在黑板上写出了一道思考题：已知a+b＝2，求a2+b2的最小值．
（1）爱思考的小明同学想到了一种方法：先用b表示a，a＝2﹣b；
再把a＝2﹣b代入a2+b2；a2+b2＝ +b2；
再进行配方得到：a2+b2＝2（b﹣ ）2+ ；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是 ．
（2）请你根据小明的方法，当x+y＝10时，求x2+y2的最小值．
【思路点拨】
（1）根据小明的思路得到关于b的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值；
（2）根据小明的思路得到关于x的代数式，根据平方的非负性即可求得最小值．
【解题过程】
解：（1）∵a+b＝2，
∴a＝2﹣b；
代入a2+b2得到：
a2+b2
＝（2﹣b）2+b2
＝4﹣4b+b2+b2
＝2b2﹣4b+4
＝2（b﹣1）2+2；
根据完全平方式的非负性，就得到了a2+b2的最小值是2；
故答案为：2﹣b，1，2，2；
（2）∵x+y＝10，
∴y＝10﹣x；
∴x2+y2
＝x2+（10﹣x）2
＝2x2﹣20x+100
＝2（x﹣5）2+50；
根据完全平方式的非负性，就得到了x2+y2的最小值是50．
根据小明的方法，当x+y＝10时，x2+y2的最小值是50．
18．（真题 十堰期末）阅读、理解、应用．
例：计算：20163﹣2015×2016×2017．
解：设2016＝x，则原式＝x3﹣（x﹣1） x （x+1）＝x3﹣x（x2﹣1）＝x＝2016．
请你利用上述方法解答下列问题：
（1）计算：1232﹣124×122；
（2）若M＝123456789×123456786，N＝123456788×123456787，请比较M，N的大小；
（3）计算：．
【思路点拨】
（1）仿照例题的思路，设123＝x，则124＝x+1，122＝x﹣1，然后进行计算即可；
（2）仿照例题的思路分别计算出M，N的值，然后进行比较即可；
（3）仿照例题的思路，设...x，然后进行计算即可．
【解题过程】
解：（1）设123＝x，
∴1232﹣124×122
＝x2﹣（x+1）（x﹣1）
＝x2﹣x2+1
＝1；
（2）设123456786＝x，
∴M＝123456789×123456786
＝（x+3） x
＝x2+3x，
N＝123456788×123456787
＝（x+2）（x+1）
＝x2+3x+2，
∴M＜N；
（3）设...x，
∴
＝（x）（1+x）﹣（1+x） x
＝x+x2x﹣x﹣x2x
．
19．（真题 西山区校级期中）问题情境：阅读：若x满足（8﹣x）（x﹣6）＝3，求（8﹣x）2+（x﹣6）2的值．
解：设（8﹣x）＝a，（x﹣6）＝b，则（8﹣x）（x﹣6）＝ab＝3，a+b＝（8﹣x）+（x﹣6）＝2，
所以（8﹣x）2+（x﹣6）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝22﹣2×3＝﹣2．
请仿照上例解决下面的问题：
问题发现
（1）若x满足（3﹣x）（x﹣2）＝﹣10，求（3﹣x）2+（x﹣2）2的值．
类比探究
（2）若x满足（2021﹣x）2+（2020﹣x）2＝2019，求（2021﹣x）（2020﹣x）的值．
拓展延伸
（3）如图，正方形ABCD的边长为x，AE＝10，CG＝20，长方形EFGD的面积为200．四边形NGDH和MEDQ都是正方形，PQDH是长方形，求四边形MFNP的面积（结果必须是一个具体数值）．
【思路点拨】
（1）令a＝3﹣x，b＝x﹣2，整体代入后利用完全平方和公式求解；
（2）令a＝2021﹣x，b＝2020﹣x，再利用完全平方差公式求代数式的值；
（3）设a＝x﹣20，b＝x﹣10，由题意列出方程ab＝200，再结合正方形和矩形的面积公式求四边形MFNP的面积．
【解题过程】
解：（1）设a＝3﹣x，b＝x﹣2，
∴ab＝﹣10，a+b＝1，
∴（3﹣x）2+（x﹣2）2，
＝a2+b2
＝（a+b）2﹣2ab
＝（﹣10）2﹣2×1
＝98；
（2）设a＝2021﹣x，b＝2020﹣x，
∴a﹣b＝1，a2+b2＝2019，
∴（2021﹣x）（2020﹣x）1009；
（3）∵EF＝DG＝x﹣20，ED＝FG＝x﹣10，
∵四边形MEDQ与NGDH为正方形，四边形QDHP为长方形，
∴MF＝EF+EM＝EF+ED＝（x﹣20）+（x﹣10），FN＝FG+GN＝FG+GD，
∴FN＝（x﹣10）+（x﹣20），
∴MF＝NF，
∴四边形MFNP为正方形，
设a＝x﹣20，b＝x﹣10，
∴a﹣b＝﹣10，
∵SEFGD＝200，
∴ab＝200，
∴（a﹣b）2+4ab＝（﹣10）2+4×200＝900．
20．（2021 沙坪坝区校级开学）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对（a，b）与（c，d）．我们规定：（a，b） （c，d）＝a2+d2﹣bc．例如：（1，2） （3，4）＝1 +4 ﹣2×3＝11．
（1）若（2x，kx） （﹣2y，y）是一个完全平方式，求常数k的值；
（2）若2x+y＝18，且（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204，求xy的值；
（3）在（2）问的条件下，将长方形ABCD及长方形CEFG按照如图方式放置，其中点E、G分别在边CD、BC上，连接BD、BF、DF，EG．若AB＝2x，BC＝2nx，CE＝y，CG＝ny，图中阴影部分的面积为168，求n的值．
【思路点拨】
（1）根据新定义，求出（2x，kx） （﹣2y，y），再根据完全平方式的特征，即可求出k；
（2）根据新定义，求出（3x+y，2x2+3y2） （3，x﹣3y）＝204的左边，从而得出方程，再配方将2x+y＝18整体代入，即可求出xy；
（3）根据阴影部分的面积等于三角形BCD的面积﹣三角形BGF的面积﹣三角形CGE的面积﹣三角形DFE的面积，可以把阴影部分的面积表示出来，从得到关于n的方程，再把（2）的结论代入即可求出n．
【解题过程】
解：（1）（2x）2+y2﹣kx （﹣2y）
＝4x2+2kxy+y2，
∵4x2+2kxy+y2是一个完全平方式，
∴k＝±2；
（2）（3x+y）2+（x﹣3y）2﹣3（2x2+3y2），
＝9x2+6xy+y2+x2﹣6xy+9y2﹣6x2﹣9y2，
＝4x2+y2
＝（2x+y）2﹣4xy＝204
∵2x+y＝18
∴182﹣4xy＝204
∴xy＝30；
（3）2nx2，
，
，
S△GEC，
∴
＝42n＝168，
∴n＝4．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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