2024~2025学年第一学期学情调研测试一
高 二 数 学
注意事项：
答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”.
作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分。选出符合题目的一项。
1. 双曲线的左、右焦点分别为过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
2. “对偶椭圆”是指将一个椭圆绕中心旋转90°，所得椭圆短轴两顶点恰好是旋转前椭圆的两焦点的椭圆。下列椭圆中是“对偶椭圆”的是
A． B． C． D．
3. 已知双曲线的离心率为，其中一条渐近线与圆交于，两点，则
A. B. C. D.
4. 已知椭圆，，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则
A. B. C. D.
5. 已知，是曲线上两点，若存在点，使得曲线上任意一点都存在使得，则称曲线是“自相关曲线”现有如下两个命题：任意椭圆都是“自相关曲线”；存在双曲线是“自相关曲线”，则
A. 成立，成立 B. 成立，不成立 C. 不成立，成立 D. 不成立，不成立
6. 已知点，直线，动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半.若某直线上存在这样的点P，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中错误的是
A．点P的轨迹方程是
B．直线是“最远距离直线”
C．平面上有一点，则的最小值为5
D．点P的轨迹与圆是没有交汇的轨迹（即没有交点）
7. 已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是
A．曲线的图象不关于原点对称
B．曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）
C．若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为
D．曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3
8. 在平面上，定点、之间的距离.曲线是到定点、距离之积等于的点的轨迹.以点、所在直线为轴，线段的中垂线为轴，建立直角坐标系.已知点是曲线上一点，下列说法正确的是
A. 曲线是轴对称图形 B. 曲线上有两个点到点、距离相等；
C. 曲线上的点的纵坐标的取值范围是() D. 曲线上的点到原点距离的最大值为
二、选择题：本题共3小题，共18分。有多项符合题目要求。
9. 到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.已知两定点，动点满足，设的轨迹为曲线，则下列命题错误的是
A．曲线过原点 B．的横坐标最大值是2
C．的纵坐标最大值是 D．
10. 某学习小组用函数图象：，和抛物线部分图象围成了一个封闭的“心形线”，过焦点的直线交（包含边界点）于，两点，是或上的动点，下列说法正确的是
A．抛物线的方程为
B．的最小值为4
C．的最大值为
D．若在上，则的最小值为
11. 曲线被称为“幸运四叶草曲线”（如图所示）．给出下列四个结论，正确的有
曲线C关于直线交于不同于原点的两点，则
B.存在一个以原点为中心、边长为1的正方形，使得曲线C在此正方形区域内（含边界）；
C.存在一个以原点为中心、半径为1的圆，使得曲线C在此圆面内（含边界）；
D.曲线C上存在一个点M，使得点M到两坐标轴的距离之积大于.
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12. 已知圆的面积为，则 ______ ．
13. 已知直线与：交于，两点，写出满足“面积为”的的一个值______ ．
14. 在空间直角坐标系下，由方程所表示的曲面叫做椭球面（或称椭圆面）.如果用坐标平面分别截椭球面，所得截面都是椭圆（如图所示），这三个截面的方程分别为，，上述三个椭圆叫做椭球面的主截线（或主椭圆）.已知椭球面的轴与坐标轴重合，且过椭圆与点，则这个椭球面的方程为 .
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15. （13分）
设抛物线：，直线与交于，两点，且．
（1）求；
为的焦点，，为抛物线上的两点，且，求面积的最小值．
16. （15分）
设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知．
（1）求椭圆方程及其离心率；
（2）已知点是椭圆上一动点不与端点重合，直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程．
17. （15分）
已知抛物线：，在上有一点位于第一象限，设的纵坐标为．
（1）若到抛物线准线的距离为，求的值；
（2）当时，若轴上存在一点，使的中点在抛物线上，求到直线的距离；
（3）直线：，抛物线上有一异于点的动点，在直线上的投影为点，直线与直线的交点为若在的位置变化过程中，恒成立，求的取值范围．
（17分）
在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为．
（1）求的方程；
（2）已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于．
（17分）
在平面内，若直线将多边形分为两部分，多边形在两侧的顶点到直线的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”，已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为的离心率为2，点为右支上一动点，直线与曲线相切于点，且与的渐近线交于两点，当轴时，直线为的等线.
（1）求的方程;
（2）若是四边形的等线，求四边形的面积;
（3）设，点的轨迹为曲线，证明:在点处的切线为的等线.2024~2025学年第一学期学情调研测试一
高 二 数 学 参考答案和解析
一、选择题：本题共8小题，共40分。选出符合题目的一项。
1. 2.A 3. 4. 5. 6.D 7.C 8.D
二、选择题：本题共3小题，共18分。有多项符合题目要求。
9.BC 10.ACD 11.AC
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12. 13..（答案不唯一） 14.
三、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）解：设，，联立，消去得：，
，，，，，
，，，
，；
由知，所以，显然直线的斜率不可能为零，设直线：，，，
由，可得，所以，，，
因为，所以，即，
即，将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积．
16.（15分）解：法一如图，设，，，
设，则，
又，则，可得，
又，且，
则，化简得．又点在上，则，整理可得，
代，可得，即，解得或舍去，故．
法二由，得，设，由对称性可得，则，
设，则，所以，解得，所以，
在中，由余弦定理可得，即，则．故答案为：．
17.（15分）解：抛物线：的准线为，由于到抛物线准线的距离为，则点的横坐标为，则，解得；
当时，点的横坐标为，则，设，则的中点为，由题意可得，解得，所以，则，由点斜式可得，直线的方程为，即，
所以原点到直线的距离为；
如图，
设，则，
故直线的方程为，令，可得，即，
则，依题意，恒成立，
又，则最小值为，即，即，则，解得，
又当时，，当且仅当时等号成立，
而，即当时，也符合题意．故实数的取值范围为．
18.（17分）解：设点点坐标为，由题意得，两边平方可得：，
化简得：，符合题意．故的方程为．
（2）法一：设矩形的三个顶点在上,且，易知矩形四条边所在直线的斜率均存在，且不为0，
则,令，
同理令，且，则，
设矩形周长为,由对称性不妨设，，
则.，易知
则令,令，解得，
当时，，此时单调递减，当，，此时单调递增，
则,故,即.当时,,且，即时等号成立，矛盾，故,得证.
法二：不妨设在上，且，
依题意可设，易知直线，的斜率均存在且不为0，
则设,的斜率分别为和，由对称性，不妨设，
直线的方程为，则联立得，
，则，则，同理，
令，则，设，
则，令，解得，
当时，，此时单调递减，
当，，此时单调递增，则，
，但，此处取等条件为，与最终取等时不一致，故
法三：为了计算方便,我们将抛物线向下移动个单位得抛物线,
矩形变换为矩形,则问题等价于矩形的周长大于.
设 , 根据对称性不妨设 .
则 , 由于 , 则 .
由于 , 且 介于 之间,
则 . 令 ,
,则,从而
故
①当时,
②当 时,由于,从而,从而又,
故,由此
，
当且仅当时等号成立，故，故矩形周长大于.
拓展思路：
解法四：不妨设，，三点在上，且．设，，，
则，．由题意，，即，
显然，于是．此时，于是．
不妨设，则，
则
．
设，则，即，
又．显然，为最小值点．故，
故矩形的周长为．注意这里有两个取等条件，一个是，另一个是，这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法五：不妨设，，在抛物线上，不在抛物线上，欲证命题为．
由图象的平移可知，将抛物线看作不影响问题的证明．
设，平移坐标系使为坐标原点，则新抛物线方程为，写为极坐标方程，
即，即．欲证，
即．
不妨设，将不等式左边看成关于的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当即时取得，因此欲证不等式为，即，
根据均值不等式，有 ． ．，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
19.（17分）（1）由题意知，显然点在直线的上方，
因为直线为的等线，所以，
解得，所以的方程为
（2）设，切线，代入得:
故，
该式可以看作关于的一元二次方程，所以，
即方程为当的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为，不妨设在上方，联立得，故，
所以是线段的中点，因为到过的直线距离相等，则过点的等线必定满足:到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点，即的方程为，由，解得，故 .
所以，所以，
所以，所以
（3）设，由，所以，
故曲线的方程为
由（*）知切线为，也为，即，即
易知与在的右侧，在的左侧，分别记到的距离为，由（2），所以
由得
因为，所以直线为的等线 .
