海口市 2025届高三摸底考试
数学试题参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B A B C D D
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分。
题号 9 10 11
答案 ABC AC ABD
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
1 1
12. 3 13. 1 14. [ 4 ， )2e 3e3
8．记 g(x) e x e x 2x则 f (x) g(x) 1，
当 x [ 3,3]时， g( x) e x e x 2x， g( x) g(x) 0， g(x)为奇函数
由题知 f (m2 ) f (m 2) 2, g(m2 ) 1 g(m 2) 1 2
即 g(m2 ) g(2 m)而 g (x) e x e x 2 0所以 g(x)在[ 3,3]上单调递增，
3 m2 3 3 m 3
2 g(m ) g(2 m) 3 2 m 3 1 m 5 1 m 1，选 D
m2 2 m
2 m 1
11．ABD
2
设 P x, y y y y，则 kPA kPB 2 2 m (m 0) ,x a x a x a
y2
即动点 P的轨迹方程为： x2 a2 ， (m 0)， (x a)
m
当m 1时，方程为：， x2 y2 a2 ， (x a)，故 A正确；
当m 0时，方程表示焦点在 x轴上的双曲线（除去两个顶点），B正确；
当m 1时，方程表示焦点在 y轴上的椭圆（除去左、右两个顶点），
1
当 1 m 0时，方程表示焦点在 x轴上的椭圆（除去左、右两个顶点），故 C错误
2 2
当m 2,a 3 x y 时，设 P的轨迹为曲线C ,则C的方程为： 1
3 6
3
设直线方程为 y x 3 ，
3
x2 y2
1 3 6
联立方程 ，整理得5x2 6x 27 0 .
3
y (x 3) 3
2
x 6 27 解得： 1 x2 ，x1x2 ..5 5 AB 1
3
x2 x
16 3
1 . D正确.
3 5
14 x．原不等式可化为： ax 00 e x0 2 ，令 h(x) x 2 e x， h (x) (x 3)e x，
显然 x ， 3 时， h (x) 0， h(x)单调递减； x 3， 时， h (x) 0， h(x)单
调递增，
1
所以 h(x)min h( 3) 3 ，且 x 时， h x 0， x ,h x , h( 2) 0e
同一坐标系中，作出 h(x)与 y ax（过定点（0，0））的图象，
0 2a
3
据图可知，满足题意的整数解为 3，此时应满足 e 3a ，
2e
4 4a
1 1 1 1
解得 4 a 3 ．故答案为： [ , )．2e 3e 2e4 3e3
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）
解：（1）当 n 1时， 2S1 2a1 3a1 1，解得 a1 1． 1分
当 n 2时， 2Sn 1 3an 1 1， 2分
所以 2Sn 2Sn 1 2an 3an 3an 1 3分
an
即 an 3an 1， 而 a1 1 0，故 an 0，故 3a ， 4分n 1
∴数列 an 是以 1为首项，3为公比的等比数列， 5分
所以 an 1 3
n 1 3n 1． 6分
（2） b 3n 1n n 1 , 7分
2
所以T (30 31 32 3n 1n ) (0 1 2 ( n 1)) 8分
1 3n n n 1 3n 1 n2 n 3n n2 n 1
， 12分
1 3 2 2 2 2
n
T 3 n
2 n 1
n ． 13分2
16.（15分）
解：（1）如图，取线段 AD的中点M ，连接 FM ， BM
因为 F 是 A1D1的中点，所以MF / /BB1，且MF BB1，
所以四边形 B1BMF 为平行四边形， 1分
则 BM / /B1F ，且 BM B1F 2分
在线段 AM 上取点N ，使得 AN 2NM ，
2
因为 AE 2EB，所以 EN / /BM 且 EN BM 4分3
所以 EN ∥ B F
2
1 且 EN B1F 因为 EN ∥ B1F ，所以 E， N， F ， B1四点共面，3
截面即为四边形 EB1FN ， 5分
2
又因为 EN B1F 所以四边形 EB1FN为梯形． 6分3
（2）以 A为坐标原点， AB,AD,AA1所在直线分别为 x，y，z轴，建立图示空间直角坐
标系，则 B1 2,0,
8 E 4 ,0,0 8 ，3 3
，F 0,1, 3
，
2
故 EB1 ,0,
8
，FB1 2, 1,0 ， 7分
3 3
设平面 B1EF的一个法向量为 n1 x, y, z
n1 EB1 0
2
x
8
z 0
则有 ，即 3 3 ，
n1 FB1 0 2x y 0
y 8
令 x 4，则 n 4,8, 1
z 1
，∴ 1 9分
又因为平面 AB1E的一个法向量为 n2 0,1,0 11分
设二面角 F B1E B为 ，
则 | cos | | cos n ,n |
n
1
n2 4 0 8 1 ( 1) 0 8
1 2 . 13分| n1 | | n2 | 16 64 1 1 9
64 17 14分sin 1 cos 2 1
81 9
所以二面角 F B E B 171 的正弦值为 ． 15分9
17.（15分）
3
解：（1）零假设为 H0：制定学习计划并坚持实施和数学成绩高于 120分没有关联．
2 50 (14 28 2 6)
2 95 95
由公式得 22.120 10.828＝x0.001，3分
(14 6)(2 28)(14 2)(6 28) 12 34
依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断 H0不成立，即制定学习计划并坚持实
施和数学成绩高于 120分有关联． 4分
（2 1）（i）由题知： x (1 2 3 4 5) 3， 5分
5
5
x 2 12i 22 32 42 52 55， 6分
i 1
n
xi yi nx y
b i 1 9433 5 3 702.2所以 n 2 110， 8分
x 2 nx 2 55 5 3i
i 1
a y b x 702.2 ( 110) 3 1032.2， 9分
所以月考校内名次 y与时间代码 x的线性回归方程为 y 110x 1032.2． 10分
（ii）模型②为“较好”模型，因为模型②的决定系数大于模型①的决定系数． 12分
高考对应的时间代码为 8，
预测小明高考数学成绩的校内名次为：
w 110 8 1032.2 152.2 152， 13分
全省名次为 u 28e0.016 152 28e2.432 28 11.4 319.2 14分
所以预测小明高考数学成绩的全省名次为 319名． 15分
18.（17分）
解：（1）当 a 1时， f x x2 3x lnx，所以 f 1 2， 1分
f x 2x 1 3 ，
x
所以函数 y f x 在点 1, f 1 处切线的斜率为 k f 1 0， 2分
函数 y f x 的图象在 x 1处的切线方程为 y 2． 3分
2
（2）函数 f x x 2a 1 x alnx的定义域为 0, ， 4分
f (x) 2x (2a 1) a 2x
2 (2a 1)x a (2x 1)(x a)
又 ． 5分
x x x
当 a 0时，令 f (x) 0 x
1
则 1． 当 x 0， 时， f 2 x 0
1
；当 2， 时，2
f x 0，
4
所以 f x 在 12， 上单调递增，在 0，
1
2 上单调递减． 6分
当 a 0时，令 f (x) 0则 x a或 x
1
．
2
0 a 11 当 1时，当 x 0，a 2， 时， f x 0；当 x a，
1
2 时，2
f x 0，
所以 f x 在 0，a ， 12， 上单调递增，在 a，
1
2 上单调递减． 7分
a 12 当 时， f x 0在 x 0, 上恒成立，所以 f x 在 0, 上单调递增．
2
8分
a 13 当 时，当 x 0，12 a， 时， f x 0；当 x
1
2，a 时， f x 0，2
所以 f x 在 0，12 ， a， 上单调递增，在
1
2，a 上单调递减． 9分
a 1综上，当 时， f x 在 0，12 ， a， 上单调递增，在
1
2，a 上单调递减；2
a 1当 时， f x 在 0, 上单调递增；
2
1
当0 a 时， f x 在 0，a ，
2
1
2， 上单调递增，在 a，
1
2 上单调递减；
当 a 0时， f x 在 12， 上单调递增，在 0，
1
2 上单调递减． 10分
2
（3） g(x) f (x) x a 1 ln x有两个不同的零点 x1，x2，
即 ln x (2a 1)x 0 有两个不同正实根 x1，x2， 11分
ln x ln x
得2a 1 有两个不同正实根 x1，x2，即 y 2a 1与 y 有两个交点，x x
令G(x)
ln x
(x 0)，则G (x)
1 ln x
2 ，令G
'(x) 0，得
x x x e
，
当 x (0,e)时，G (x) 0， G(x)在 (0, e)上单调递增，
当 x (e, )时，G (x) 0， G(x)在 (e, )上单调递减， 13分
x e 1时，G(x)取得最大值 ，且G(1) 0，当 x 1时G(x) 0， 14分
e
得G(x)的大致图像如图所示：
0 2a 1 1 1 a 1 e ，解得 ， 16分
e 2 2e
5
所以实数 a的取值范围为 12，
1 e
2e ． 17分
19.（17分）
解 （1）设椭圆C1的半焦距为 c，则 a
2 b2 c2 ，代入 a2 13b2 ，得
12a2 13c2，
c2 12 2 39
所以， 2 e
2 ， e ． 3分
a 13 13
（2）由已知，切线 l的方程为 x0x y0 y r
2 ，又切线过右焦点 F (c,0)，
有 r 2 cx0 ①， 4分
又点 P在圆上，所以 x20 +y
2
0 r
2 ②， 5分
由①②得 y20 cx0 x
2
0 ③． 6分
x2 2
由点 P在椭圆C 上，所以 0
y
1 2
0
2 1，代入③，④得a b
c2x2 a2cx a2b20 0 0， 7分
12 1
两边同时除以 a2 ，得 e2x20 cx0 b
2 0，即 x2 2
13 0
cx0 c 0． 9分12
2
（3 b x）当 1时，由（1），椭圆C 21： y 1， 10分13
设 A( 13 cos ,sin )， B(r cos ,r sin )，对于椭圆C1，切线 AB：
13 cos x sin y cos sin 1，对于圆C2 ，切线 AB： x y 1， 11分13 r r
13 cos cos sin
所以 ⑤， sin ⑥． 12分
13 r r
又OB AB，故 | AB |2 |OA |2 |OB |2 13cos2 sin2 r 2 12cos2 r 2 1 ， 13分
由⑤， r 2 cos2 13cos2 ，由⑥， cos2 1 sin2 1 r2 sin2 r2 cos2 r2 1，所以
r 2 cos2 13r 2 cos2 13r 2 13 ，
12cos2 13 13 2 ， 15分r
所以， | AB |2 14 (r 2 13 ) 14 2 13 ( 13 1)2 ， 16分
r 2
所以当且仅当 r 2 13 时等号成立， | AB |取最大值 13 1． 17分
6机密文启用前
海口市2025届高三摸底考试
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答
题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的。
1.若集合A={x2
A.{xx>2}
B.{xl≤x<5}C.{x2≤x<3}
D.{x22.已知向量a=0,2),b=化，-0，则“k=-号”是“a∥b”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
3.己知函数f(x)=x-nx,则f(x)的单调递减区间为
A.(-0,1)
B.(0,)
C.(1,+0)
D.(0,+0)
4.己知a=log23,b=2.,c=ln2,则a,b,c的大小关系为
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
5.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中
学一研究性学习小组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公
园、五源河湿地公园、三江红树林湿地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个
湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考察安排在5月1日或5月2日，
则不同的考察安排方法有
A.24种
B.48种
C.98种
D.120种
6.如图，在平面四边形ABCD中，AC与BD交于点O,且AC⊥BD,
OA=1,OB=OC=OD=2,剪去△COD,将△AOD沿OA翻折，
△BOC沿OB翻折，使点C与点D重合于点P,则翻折后的三棱锥
P-AOB外接球的表面积为
A.5π
B.8x
C.9π
D.13元
7.已知P是抛物线y2=2x上的动点，则点P到直线y=x+3的距离的最小值是
A.32
B.2W2-1
C.3
D.
5V2
2
4
4
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8.已知定义在[-3,3]上的函数f(x)=e-ex-2x+1,若f(m2)+f(m-2)≤2，则m的
取值范围是
A.[-2,1]
B.[-1,2]
C.[-l,
D.[-1,
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.某校为了解学生的身体状况，随机抽取了50名学生测量体重，
斯容
经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70
0.0r里年
a.0
之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则
A.频率分布直方图中a的值为0.04
B.这50名学生体重的众数约为52.5
0.02
0.
C.该校学生体重的上四分位数约为61.25
50G37U仁汗*
D.这50名学生中体重不低于65千克的人数约为10
10.函数f(x)=Asin(x+p)(A>0,o>0,0的是
A.0=2
B.=
3
C.f关于x=2π对称
3
D.将函数f(x)的图象向右平移产个单位长度得到函数h(x)=2sin2x
11.在平面直角坐标系中，已知两定点A(-a,0O),B(a,0),直线PA,PB相交于点P,且
直线PA与直线PB的斜率之积为m,其中m≠0，a>0.下列选项正确的是
A,当m=-1时，动点P的轨迹为以原点为圆心，半径为a的圆，且除去(-a,0),
(a,0)两点
B.当m>0时，动点P的轨迹为焦点在x轴上的双曲线，且除去(-a,0),(@,0)两点
C.当m<0且m≠-1时，动点P的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，且除去(-，0)，
(a,0)两点
D.当m=2,a=√3时，动点P的轨迹为曲线C,过点(3,0且倾斜角为30°的直线与
曲线C交于M,N两点，则1MN1=165
5
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2.已知2=3,2=，则a+b3
13.记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知c=1,且asin A=
2b(sin B-sin Ccos A),=
14.已知函数f(x)=e(x+2)-ar,若存在唯一的负整数x,,使得f(x)<0,则实数a的
取值范围是
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