数学试卷
注意事项：
1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在：
题卡上填写清楚
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改或
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效·
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回，满分150分，考试用时120分钟.
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中
只有一项符合题目要求)
1.在复平面内，复数Z=2024+2025,则Z的虚部为
A.1
B.-1
C.i
D.-i
2已知d,6为单位向量，且云在6上的投影向量为6，则1a-261=
A.5
B.5
C.3
D.√5
3.已知函数f(x)=sin(x-1)+x,若f(a)+f(b)=2,则a+b=
A.2
B.1
C.0
D.-2
4.在△ABC中，tanA+tanB+tanAtanB=1,则cosC=
√3
A.
B.、②
2
2
.②
2
5.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且an>0,若S5=5,S5=105,则S20=
A.550
B.520
C.450
D.425
6.下列不等关系正确的是
B.sin1C.√⑧-√7<√7-√6<√6-√5
D.1og23<1og34<1og45
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鬻用指金王
含(x-)-)
附：()样本相关系数r=
当|r|∈[0.75,1]时，相关性
√含(x-)3含()2
较强，当|r|∈[0.3,0.75)时，相关性一般；
()经验回归方程y=a+x中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
6高0%)
含(x-)2
,a-6x;
()√30≈5.477.
16.（本小题满分15分)
已知{an}是正项递增的等比数列，且a2a6=64,a3+a5=20.数列{bn}是等差数列，且
(n+1)bn=2n2+n+C.
(1)分别求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
2)设c三(6求数列c前n项和s
数学·第4页（共6页）
器用王
17.(本小题满分15分)
如图2，在四棱台ABCD-A1B,C,D1中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC,平面
ADDA1⊥平面ABCD,平面ABB,A1⊥平面ABCD.
(1)证明：AA1⊥平面ABC;
(2)若AB=AD=AA1=4,A1B1=2,∠BAD=120°，求平面A1BC1与平面DBC1夹角的
余弦值，
C
图2
18.(本小题满分17分)
巴奥双线c三-茶-1（心0,60）的左、有东点分别为，民，且焦距为4，左
顶点为E,过右焦点F2的动直线l交C于A,B两点，当I垂直于x轴时，|AB|=6.
(1)求C的方程；
若动直线U与C的左支交于点A,右支交于点B,求的取值的
数学·第5页（共6页）
藏用日全任数学参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D A B D C B A
【解析】
1．复数 Z i2024 i2025 1 i ，则 Z 的共轭复数 Z 1 i ，所以 Z 的虚部为 1，故选 B．
1 2 a b b a b π
．∵ 在 上的投影向量为 ，∴ 与 的夹角为 ， | a 2b |2 5 4a b 3 ，则
2 3
| a 2b | 3 ，故选 D．
3．设 g(x) sin x x ，由于 g(x) g( x) ，故 g(x) 为R 上的奇函数，且 g(x) 的图象关于原点
对称．又 f (x) g(x 1) 1，所以 f (x) 的图象关于 (1，1) 对称，即 f (x) f (2 x) 2 ，由
f (a) f (b) 2 ，所以 a b 2，故选 A．
4 tan A tan B tan A tan B 1 tan A tan B 1 tan A tan B tan A tan B．因为 ，所以 ，即
1 tan A tan B
1 tan(A B) tan(π C) tan C ，所以 tanC 1，即 cosC 2 ，故选 B．
2
5．由等比数列前 n 项和的性质可得， S5，S10 S5，S15 S10，S20 S15 成等比数列，则
S10 S5 S 15 S10 S 20 S15 S x x 5 105 x，设 10 ，则 ，∵等比数列{an}中，a 0，S n5 S10 S5 S15 S10 5 x 5
∴解得， x 25，故 S S 25，∴ 20 105 105 2510 S20 425 ，故选 D． 105 25 25 5
6 A ln 1
1 1
．对于 ： ln1 0，0 sin 1 1，22 20 1，∴ln 1 sin 1 22 ，A 错误；对于 B：
2 2 2 2
1 sin1 sin π 2 ，cos1 cos π 2 ，tan1 tan π 1，∴cos1 sin1 tan1，B 错误；
4 2 4 2 4
对 于 C ： 8 7 1 7 1 ， 6 ， 6 5 1 ， ∵ 8 7
8 7 7 6 6 5
7 6 6 5 0 1 1 1，∴ ，即 8 7 7 6 6 5 ，
8 7 7 6 6 5
数学参考答案·第 1 页（共 10 页）
C D lg 2 lg 4 lg 2 lg 4
2 2 2
正确；对于 ，由于 ，所以 lg 2
lg8 lg9
lg 4 ，即
2 2 2
lg 2 lg 4 (lg3)2 lg3 lg 4，所以 ，即 log2 3 log3 4 ；同理， log3 4 log4 5 ，所以lg 2 lg3
log2 3 log3 4 log4 5，D 错误，故选 C．
7．由题意，函数 f (x) 2 sin x
π π
( 0 )，由于x 0， ，所以 x
π π π π ， ；
4 2 4 4 2 4
2π π π ≤ ，
又 由 f (x) 在 0
π 2 4 7 11
， 上 恰 有 两 个 根 ， 所 以 即 ≤ ； 令 2 3π π π 2 2，
2 4
2 π π kπ π 1 1 7 11 41 ( k Z )，则 k ，又 0 且 ≤ ，则
4 2 2 8 2 2 max
，故选 B．
8
2 2 2
8 c2 a2 b2 F ( c 0) F (c 0) P(x y ) C x y 1 x1 y
2
．设 ，则 1 ， ， 2 ， ；由点 1， 1 在 ： 上，则有
1 1，
a2 b2 a2 b2
x2 2 2 2
即 y21 b
2
1 12 ，所以 | PF |
x c x
1 (x1 c)
2 y21 (x1 c)
2 b2 1 1 1 2cx a2
a a
2 a2 1
cx
2
1 a cx ；又 a≤x1≤a ，所以 | PF
1
1 | a ex a，| PF | 2a | PF | a ex ，则
a a 1 2 1 1
| PF1 | | PF2 | 2ex1；如图 1，由焦点 △PF1F2 的内切
圆可得： | PE | | PF |， | EF1 | | F1H |， | FF2 | | F2H | ，所
以 | PF1 | | PF2 | | EF1 | | FF2 | | F1H | | F2H | 2ex1 ； 又
| F1H | | F2H | (c x2 ) (c x2 ) 2ex1 2x2 ， 所 以
x 3 图 1 x2 ex 21 ，即 e ，故选 A． x1 2
二、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求，全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分）
题号 9 10 11
答案 AD ABD BCD
数学参考答案·第 2 页（共 10 页）
【解析】
9 5 7 9．∵ 0.7 ，∴该商店六月份鲜花饼日销售量的第 70% 分位数是550，A 正确；
30 30 30
5 300 7 400 9 500 4 600 5 700
六月份平均每天销售鲜花饼 490 个，B 错误；
30
4 5 3
根据销售数据得：日销售量大于550个的概率为 ，C 错误；日销售量小于 450
30 30 10
5 7 12 2
个的概率为 ，D 正确，故选 AD．
30 30 30 5
10．由 a 2a a a 0 a 1 1 2 1 0 1 1 1n 1 n n 1 n ， 1 ，得： ， 2，∴ 是公差an an 1 an 1 a
n an
2 1 1为 ，首项为 1 的等差数列，故 1 (n 1) 2 2n 1，即 an ，C 错误；所以an 2n 1
1 2n 1 1
b an 2n 1 b 3 n 3 3 ，b 3
2n 1
n 1
n 1 32 9 ，故 3an 是等比数列，A 正确；对于 B：
b 32n 1 n
1 2n 1 1 n(1 2n 1) 1，cn (1 3 5 2n 1) n ，故数列{cn}为等差数列，Ban n n 2
D 1 1 1 1 1 3 5 (4n 3) (1 4n 3)(2n 1)正确；对于 ：
a1 a2 a3 a2n 1 2
(2n 1)2 2n 1 ，D 正确，故选 ABD．
an
11．对于 A：如图 2，过点 H 作 HR CD 交CD于点 R ，则点 H 到CD的距离为 HR；过点 H
作 HQ AB 交 AB 于点Q，由于 PA 平面ABCD ，则 HQ PA，所以 HQ 平面PAB ，
则点 H 到平面 PAB 的距离为 HQ ；∵ AB∥CD 且点 H 到CD的距离等于其到平面 PAB 的
距离，∴点 H 在 AD 的垂直平分线上，故 A 错误；建立如图 3 所示的空间直角坐标系
A xyz ：设M (x，0，z) ， A(0，0，0) ， B(0，4，0)，C(4，2，0) ， D(4，0，0)，对于 B：
∵ BA DA ， BA PA ， ∴BA 平面PDA ，即 BA MA ，同理： CD MD ，又
2 2
∵ BMA CMD ， ∴△BAM ~ CDM MA AB 2 x z△ ，∴ ，即 2，化简
MD DC (x 4)2 z2
2 2
得 x
16 z2 8
，即点 M 的轨迹为圆的一部分，故 B 正确；对于 C，
3 3
数学参考答案·第 3 页（共 10 页）
BM (x， 4，z)，BD (4， 4，0) ，因为 BM 与 BD所成的角为30 ，所以 cos BM，BD
B M B D 4x 16 3 (x 8)
2 z2
，化简得 1，M 的轨迹为椭圆的一
| BM || BD | x2 16 z2 16 16 2 48 16
部分，故 C 正确；对于 D：作MM1 AD ，则M1(x，0，0)，MM1 平面ABCD ，所以CM
与平面 ABCD所成的角即为 MCM1 30 ，所以 | MM1 | | z |， | CM | (4 x)
2 4 z2 ，
2 2
即 2 | z | (4 x)2 4 z2 z (x 4)，化简得： 4 1，则点M 的轨迹为双曲线的一部分，4
3
故 D 正确，故选 BCD．
图 2 图 3
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
题号 12 13 14
答案 7 2 2 6
9
【解析】
12 15 15 15．当 x 1时， 5；当 x 3时， 3；当 x 13时， 1，故集合 A {1，3，5}，
x 2 x 2 x 2
则集合 A的真子集个数为 23 1 7个．
13．由 y 1 ln(x 2) 1得： y ， y 1，所以曲线 y ln(x 2) 4在点 (3，4) 处的切
x 2 x 3
线方程为 y x 1．由 y x2 x a 得 y 2x 1，设切线与曲线 y x2 x a 相切的切点
为 (x2，x
2
2 x2 a) ，由题，得 2x2 1 1，解得 x2 1，则切点为 (1，a) ．因为切点在切线
y x 1上，所以 a 2．
数学参考答案·第 4 页（共 10 页）
14．由正弦定理，b ab2 a3 a ，则有 (a b)(1 a2 ab) 0，由于 a b，所以 a2 ab 1 c2 ，
由余弦定理得， a2 ab a2 b2 2abcosC，则 a 2a cosC b ，又由正弦定理，得
sin A 2sinAcosC sin B sin(A C) ，即sin A sin(C A) ，则有C A A，即C 2A．因
为 C 2A ， 所 以 B π π 3 A C π 3A 0 ， 故 0 A ， 则 sin A
3
0， ；
2
sin B sin A sin(A C) sin A sin 3A sin A sin 2Acos A cos 2AsinA sin A
2sin Acos2 A (1 2sin2 A)sin A sin A 4sin3 A 2sin A ； 设 x sin A 0
3
， ，
2
f (x) 4x3 2x 6 6 ，则 f (x) 12x2 2，令 f (x) 0 得 x 或者 x （舍），且当
6 6
0 x 6 f (x) 0 x 6
时， ，当 时， f (x) 0 ，则 f (x) 6在 0， 上单调递增，在6 6 6
6 3 6
， 上单调递减，故当 x 时， f (x) 取最大值，故 sin B sin A 最大值为
6 2 6
f 6
2 6
．
6 9
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分 13 分）
解：（1）由于 r 0.96，由题可知利润 y 与投资金额 x相关性较强．
…………………………………………（1 分）
n
(xi x)(yi y)
i 1
n n
(xi x )2 (yi y)
2
b n n
又 i 1 i 1 2
1
n ，Sy (yi y)2
1
，S 2 (x x )2r n x i ， (x x)(y y) (x x )2
n i 1 n i 1
i i i
i 1 i 1
n n
(xi x )2 (yi y)2
i 1 i 1
b nS
2
y Sy
所以 ； …………………………（3 分）
r nS 2 Sx x
数学参考答案·第 5 页（共 10 页）
又 S 2 12 ， S 2 3.6，所以b
Sy 3.6
x y r 0.96 30 0.096 0.53， Sx 12
…………………………………（6 分）
1 10 1 10
由题，得 x x 7， y y 4，
10 i 10 ii 1 i 1
所以 a y b x 4 7 0.53 0.29 ，
则 y 关于 x的经验回归方程为 y 0.53x 0.29． …………………………（8 分）
（2）由题意知，该地区 150 名使用 A型充电桩车主，男车主有 90 名，女性车主有 60 名
对 A型充电桩的使用表示满意的男性车主有 60 名，对 A型充电桩的使用表示满意的女
性车主有 36 名．
设该地区“一位车主对 A型充电桩的使用表示满意”记作事件 A，“车主是男性”记作
事件 B ，该地区一位车主对 A型充电桩的使用表示满意，这位车主是男性的概率为：
60
P(B | A) P(AB) 150 5 ． …………………………（13 分）
P(A) 60 36 8
150 150
16．（本小题满分 15 分）
解：（1）设等比数列{an}的公比为 q，且有 q 1，
a2q6 1 64， a1 1，由于 解得
2 4 a1q a1q 20， q 2，
所以数列{a }的通项公式为 a 2n 1n n ． …………………………（4 分）
由于{bn}是等差数列，设bn An B ，
则有 (n 1)bn (n 1)(An B) An
2 (A B)n B 2n2 n C ，
A 2， A 2，
所以 A B 1
，解得 B 1，
B C， C 1，
所以数列{bn}的通项公式为bn 2n 1． …………………………（8 分）
2 1 1 1 1 （ ）由（1）知， cn ( 2)
n 1 ( 2)n 1 ，
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
…………………………（10 分）
数学参考答案·第 6 页（共 10 页）
所以 Sn [( 2)
0 ( 2)1 ( 2)n 1] 1 1 1 1 1 1 1
2 3 3 5 2n 1 2n 1
1 ( 2)n 1 1 1 1 ( 2)
n 1 1
1 2 2 2n 1
． …………………………（15 分）
6 4n 2
17．（本小题满分 15 分）
（1）证明：如图 4，在平面 ABCD上任取一点 H ，
作 HE AB交 AB 于点 E ，作 HF AD 交 AD 于点 F ，
由于平面 ADD1A1 平面 ABCD，平面 ADD1A1 平面
ABCD AD ， HF AD ，
所以 HF 平面 ADD1A1 ，则有 HF AA1 ；
同理：可得 HE AA1，
又因为 HE HF H 且 HE 平面 ABCD，
HF 平面 ABCD，
图 4
∴ AA1 平面 ABCD． …………………………（5 分）
（2）解：由（1）知： AA1 平面 ABC ，过 A点作 AG AD交 BC 于点G ，
故可建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 AB AD AA1 4 ， BAD 120 ，
∴ A(0，0，0) ， B(2 3， 2，0) ，C(2 3，6，0)， D(0，4，0)， A1(0，0，4) ，
在四棱台 ABCD A1B1C1D1 中，由于 AB 2A1B1 ，可得 B1( 3， 1，4)；
同理，由于 BC 2B1C1 ，可得C1( 3，3，4)；
所以 A1C1 ( 3，3，0)， BC1 ( 3，5，4)，DB (2 3， 6，0) ，
………………………………（9 分）
设平面 A1BC1 的法向量m (x1，y1，z1)，
m AC 0， 3x 3y 0，
由 1 1
即有 1 1 可取m ( 3， 1，2) ；
m BC1 0， 3x1 5y1 4z1 0，
数学参考答案·第 7 页（共 10 页）
设平面 DBC1的法向量 n (x2，y2，z2 )，
n DB 0， 2 3x2 6y2 0， 由 即有 可取 n (2 3，2， 1) ；
n BC1 0， 3x2 5y2 4z2 0，
| m n | 2 34
所以 | cos m，n | ，
| m | | n | 8 17 34
34
∴平面 A1BC1 与平面 DBC1夹角的余弦值为 ． ………………………（15 分） 34
18．（本小题满分 17 分）
解：（1）设 c2 a2 b2 ，由题，焦距为 4，故 c 2， …………………………（1 分）
当 | AB | 6时，可得 A(2，3) ．
把 A(2，3) 4 9代入 C 中得，
a2
2 1①， b
又 a2 b2 4②，
则联立①②方程得， a2 1，b2 3．
2
所以 C y的方程为 x2 1． …………………………（5 分）
3
（2）如图 5，由 C 的性质可得： | EF1 | c a 1， | EF2 | c a 3．
设 A(x1，y1)， B(x2，y2 )，
S 1 1则 △AEF | EF1 | | y | | y | ， 1 2 1 2 1
S 1 3△BEF | EF2 2 2
| | y2 | | y2 |， 2
1
S | y1 |△AEF 1 y
所以 1 2 1 ．
S 3△BEF 3 y2 | y | 2
2 2
图 5
x my 2，
设 lAB：x my 2
，联立 y2 得， (3m
2 1)y2 12my 9 0 ，
x2 1， 3
则 (12m)2 4 (3m2 1) 9 36m2 36 0恒成立，
y y 12m 9所以 1 2 2 ，y3m 1 1
y2 3m2
， …………………………（11 分）
1
数学参考答案·第 8 页（共 10 页）
由于 l 与C 交于异支，则 y1 y2 0 ，
1
解得：m2 ；
3
2
12m 16 2 16 16
(y1 y2 )
2
3m
2 1 16m2 (3m 1) 3 3 16 3 16又
y y 9 2 2 2
，
1 2 3m 1 3m 1 3 3m 1 3
3m2 1
(y y )2 y2 y2 2y y y y
且 1 2 1 2 1 2 1 2 2．
y1 y2 y1 y2 y2 y1
令 t y 1 ，且 t 0 ，则 t 1 16 1 2 ，解得： 0 t 或t 3，
y2 t 3 3
S△AEF 1 y 1 1
则 1 1 t 0， (1， )， S△BEF 3 y 3 9 2 2
S△AEF1 所以 的取值范围为 0
1
， (1， )． …………………………（17 分） S△BEF 9 2
19．（本小题满分 17 分）
解：（1） g (x) 2x sin x ， x R ；
令 p(x) 2x sin x ，则有 p (x) 2 cos x 0 ，所以 p(x) g (x) 在R 上单调递增．
又 g (0) 0 ，所以当 x 0 时， g (x) 0， g(x) 在 ( ，0)上单调递减；
当 x 0 时， g (x) 0， g(x) 在 (0， )上单调递增，
所以 g(x) x2 cos x 不是山峰函数． …………………………（5 分）
（2）由题意可知：函数 h(x) (m 2)x x2 mx 在区间[0，1]上先增后减，且存在峰点．
由于 h (x) m 2 2x mx ln m ，
又当m 1时， ln m 0 ，则 h (x)在[0，1]上单调递减，
h (0) m 2 ln m 0，
所以
h (1) m m ln m 0，
1
设 q(m) m 2 ln m，m 1，所以 q (m) 1 0 ，则 q(m)在 (1， ) 上单调递增.
m
所以当m 1时， q(m) q(1) 3 0，即此时m 2 ln m 0 恒成立；
由于当m 1时，不等式m m ln m 0等价于 ln m 1，即m e ，
故m 的取值范围是 (e， ) ． …………………………（10 分）
数学参考答案·第 9 页（共 10 页）
（3）由题意得： I (x) (3x2 4nx 4n 4) ln x x2 2nx (4n 4) x2 2nx (4n 4)
(3x2 4nx 4n 4) ln x．
若3x2 4nx 4n 4≥0 恒成立，则函数 y I (x)在 (0，1)上单调递减，在 (1， ) 单调递增，
不是山峰函数，不符合题意；
因此关于 x的方程3x2 4nx 4n 4 0 有两个相异实根，设两根为 ， 且 ，
且有 16n2 48(n 1) 0；
由于当 x 0时， I (x) 2 0 ，且 I 0 ， I
2
≤I (1)，
3 3
所以函数 y I (x)在 (0，1)上不单调；
3
同理，由于当 x 时， I (x) ，且 I ≤I (1)，
2
所以 y I (x)在 (1， ) 上不单调，从而有 0 1， 1.
因此 y I (x)在 (0， ) 和 (1， )上单调递减，在 ( ，1) 和 ( ， ) 上单调递增；
从而函数 y I (x)的峰值区间为[s，t]，必满足[s，t] [ ， ] ．
4
所以 d (n) n2 3n 3 ．
3 3
I 2 16(3n 4) ln 2 4(45n 52) 11由于 ， I (1) 3n ，
3 27 3 81 3
I 3 3(4n 7) ln
3 30n 39
，
2 8 2 8
16(3n 4) 2 4(45n 52)
ln 0，
27 3 81
n 16(3n 4) 2 4(45n 52) 11由题意知 满足不等式组： ln ≤ 3n ，
27 3 81 3
3(4n 7) ln 3 30n 39 ≤ 3n
11
.
8 2 8 3
由于当 n 3 时，满足上述不等式组，则有 d (n) 3 2
2 min
d 2
3 ，
3
即 d (n) 2 3的最小值为 ． …………………………（17 分）
3
数学参考答案·第 10 页（共 10 页）
