2025届高三·十月·六校联考
数学科 答案及评分标准
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一
项符合题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C B C B A C B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分.
题号 9 10 11
答案 AB BD BC
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.
1 1 2 3 2
12． 13． 14．
4 2 3
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
1
15.解：（1）二次函数 f (x)的图象与 x轴的两交点分别为 (0,0), ( ,0)，
2
故可设： f (x) ax(x
1
)(a 0)，.............................................................................1 分
2
由 f (1) 3
3
，得 a 3，.............................................................................................2 分
2
所以： a 2 ..................................................................................................................3 分
f (x) 1 2x(x ) 2x2 x ...........................................................................................4 分
2
f (x) 3 2x2 3 1 x ，解得 x 或x
3
...........................................................5 分
8 8 4 4
3 1
所以，原不等式得解集为： ( , ) ( , ) .......................................................6 分
4 4
1
（2）设 f (x) ax(x
1
)(a 0)， x R, f (x)
3 1 3
即 x R, ax(x )
2 8 2 8
1
即 x R, ax2 ax
3
0 .......................................................................................8 分
2 8
a 0
所以： 1 2
a 4a (
3
) 0
2 8
解得： 6 a 0 .....................................................................................................11 分
f (1) 3所以 a ( 9,0)， f (1)的取值范围是 ( 9,0) ...........................................13 分
2
16.解：（1） 0 ( 1 0 )e
kt ，
且当 1 60
C， 0 25
C， t 5min时， 65 C，
2
65 25 (85 25)e 5k e 5k， ，.....................................................................3 分
3
k 1 ln 2 1 ln 2 ln 3 0.08 .........................................................................6 分
5 3 5
(t) 25 60e 0.08t ..............................................................................................8 分
（2） (t) 25 60e 0.08t ，
带入 55，得： 55 25 60e 0.08t e 0.08t
1
，即 ，.....................................10 分
2
所以： 0.08t ln 1 ln 2 ..................................................................................13 分
2
t ln 2 0.693 9
0.08 0.08
王大爷要等待约 9分钟.............................................................................................15 分
2
17.（1）证明：方法一：根据余弦定理：
2 2 2 2 2 2
左边 ac cosB abcosC ac a c b ab a b c ......................3 分
2ac 2ab
a2 c2 b2 a2 b2 c2 2c2 2b2
c2 b2 =右边，所以原式得证......6 分
2 2 2
方法二：要证 ac cosB abcosC c 2 b 2，根据正弦定理
只需证： sin A sinC cos B sin BcosC sin 2C sin 2B ..............................2 分
而左边 sin A sinC cos B sin BcosC sin(C B) sinC cos B sin BcosC
sinC cosB sin BcosC sinC cosB sin BcosC
sinC cos B 2 sin BcosC 2
sin2 C cos2 B sin2 Bcos2 C
sin2 C(1 sin2 B) sin2 B(1 sin2 C)
sin2 C sin2 C sin2 B sin2 B sin2 Bsin2 C
sin2 C sin2 B =右边，所以原式得证..................................................................6 分
（2）方法一：根据 A B C ， 所以 sin(C A) sin( B) sin B
所以 sin B sinC sin B sin(C A)sin(C A)可化为
sin B sinC sin B sin B sin(C A) .................................................................8 分
因为 B (0, )，所以 sin B 0，所以 sinC sin B sin(C A) ...................9 分
即： sinC sin(C A) sinC cos A cosC sin A
即： sinC sinC cos A cosC sin A sinC cos A cosC sin A .......................10 分
1
即： sinC 2sinC cos A，因为C (0, )，所以 sinC 0，所以 cos A
2
.....................................................................................................................................11 分
因为 A (0, )，所以 A ..................................................................................12 分
3
（注：没有写 A (0, )，扣 1 分）
3
2
cos A 1 b c
2 a2 b2 c2 4
根据余弦定理，
2 2bc 2bc
bc b2 2所以： c 4 2bc 4，所以bc 4，
等号成立当且仅当 b c 2 ...................................................................................14 分
（注：没写取等条件，扣 1 分，如果下文有补充说明，不扣分）
S 1 bcsin A 1 4 3 ABC 32 2 2
所以，当 a b c 2时， ABC 面积的最大值为 3 .....................................15 分
方法二：
因为 sin C A sin C A sinC cos A cosC sin A sinC cos A cosC sin A
sinC cos A 2 cosC sin A 2
sin2 C cos2 A cos2 C sin2 A
sin2 C(1 sin2 A) (1 sin2 C)sin2 A
sin2 C sin2 C sin2 A sin2 A sin2 C sin2 A
sin2 C sin2 A .....................................................................................................8 分
所以： sin B sinC sin B sin(C A)sin(C A)可化为
sin B sinC sin B sin2 C sin2 A，即： sin B sinC sin2 B sin2 C sin2 A
bc b2 2 2由正弦定理，得： c a .......................................................................10 分
1 b2 c2 a22 2 2
变形得： bc b c a ，两边同除以 2bc，得： ，
2 2bc
根据余弦定理，得： cos A
1
，..........................................................................11 分
2
因为 A (0, )，所以 A
................................................................................12 分
3
（注：没有写 A (0, )，扣 1 分）
1 b2 c2 a2 b2 c2 4
根据余弦定理， cos A
2 2bc 2bc
4
所以： bc b2 c2 4 2bc 4，所以bc 4，
等号成立当且仅当 b c 2 .................................................................................14 分
（注：没写取等条件，扣 1 分，如果下文有补充说明，不扣分）
S 1 ABC bcsin A
1 3
4 3
2 2 2
所以，当 a b c 2时， ABC 面积的最大值为 3 ....................................15 分
18.解： f (x) xe x 1 a ln x 的定义域为 (0, )
x 1 2 x x 1 e
x 1 2
（1） f (x) x 1 e ................................................1 分
x x
(x) x x 1 e x 1 2, (1) 0 ， (x) (x2 3x 1)e x 1 0(x 0) .........2 分
(x)在 (0, )上单调递增，所以， x， f (x)， f (x)关系如下表：..............3 分
x (0,1) 1 (1, )
f (x) 小于零 0 大于零
f (x) 单调递减 单调递增
所以： f (x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增。................................4 分
x x 1 e x 1 a
（2） f (x) x 1 e x 1 a
x x
令： (x) x x 1 e x 1， (x) x2 3x 1 e x 1 0， (x)在 (0, )上单调递增
且 (0) 0, x , f (x) ，所以，对于任意 a 0，存在 x0 (0, )
(x0 ) 0，所以， x， f (x)， f (x)关系如下表：...........................................5 分
x
(0, x0 ) x0 (x0 , )
f (x) 小于零 0 大于零
5
f (x) 单调递减 单调递增
所以： f (x) f (x) f (x x 1的最小值为 0min 0 ) x0e a ln x0，其中
x0 x 1 e x0 10 a，................................................................................................6 分
h(a) f (x) f (x ) x ex0 1 x (x 1)ex0 1所以： min 0 0 0 0 ln x0 e
x0 1(x0 x0 (x0 1) ln x0 )
令 g(x ) ex0 10 (x0 x0 (x0 1) ln x0 )， x0 (0, ) ...........................................7 分
g (x ) e x0 10 (x0 x0 (x0 1) ln x0 1 (x0 1) (2x0 1) ln x0 )
ex0 1(x 20 3x0 1) ln x0 ，注意到 g (1) 0，..................................................8 分
x (0,1) 1 (1, )0
g (x0)
大于零 0 小于零
g(x ) 单调递增 单调递减0
h(a)max g(1) 1 a x x 1 e x 1，此时 00 0 2
综上， h(a)的最大值为1.........................................................................................9 分
（3）先证：a 2，否则， a 2，则 f (x)的最小值 h(a) 1，记达到最小值 h(a)的自变
量的值为 x1，则 f (x1) p(x1 q)
2 1 p(x1 q)
2 1，这与
x R, f (x) p(x q)2 1恒成立矛盾！故： a 2，..............................10 分
不等式 f (x) p(x q)2 1 xex 1变形为 2ln x p(x q) 2 1
当 x 1 2时，不等式化为 p(1 q) 0 ，由于 p 0，所以 q 1，........11 分
x 1
所以原不等式可化为 xe 2ln x p (x 1)2 1，记 p c(c 0)，
题意转化为 x 0, xe x 1 2ln x c(x 1)2 1 0 ，
令m(x) xe x 1 2ln x c(x 1)2 1,则m(1) 0 ，
m (x) 2 x 1 e x 1 2c(x 1),m (1) 0
x
6
m (x) x 2 2 e x 1 2c,m 2 (1) 5 2c .................................................12 分x
①当 c 5 时，下证 x 0,m(x) xe x 1 2ln x c(x 1)2 1 0
2
m (x) x 2 e x 1 2 x 1 2事实上， 2 2c x 2 e 2 5 ，x x
2 x 1
令 n(x) x 1 2 x x 3 e 4x 2 e 2 5,n(1) 0 n (x) x 3 e x 1
4
，
x x2
2 ，x
s(x) x2 x 3 e x 1令 4, s (x) x3 6x2 6x e x 1 0 ，注意到： s(1) 0
则 n(x)在 (0,1)上单调递减，在 (1, )上单调递增， n(x) n(1) 0，所以m (x) 0
所以m (x)在区间 (0, )上单调递增，
x (0,1) 1 (1, )
m (x) 小于零 0 大于零
m(x) 单调递减 单调递增
所以：m(x) m(1) 0 5，故：0 c 时，原不等式恒成立。....14 分
2
5
②再证当 c 时不符合题意。只考虑考虑 x 1的情形：
2
m(x) xe x 1 2ln x c(x 1)2 1,且m(1) 0 ，
m (x) x 1 e x 1 2 2c(x 1),m (x) x 2 e x 1 2 2 2c,x x
m (1) 5 2c 0,m (c) c 2 e c 1 2 2 2c 2c
2 2
2 2c 0c c c2
根据零点存在定理， x0 (1,c),m (x0 ) 0
而m (x) x 3 e x 1 4 3 x 3 e x 1 4 1 3 e1 1 4 0x
所以m (x)在(1, )上单调递增，
因此，当 x (1, x0)时，m (x) m (c) 0因此，m (x)在(1, x0)上单调递减
当 x (1, x0)时，m (x) m (1) 0因此，m(x)在(1, x0)上单调递减，
因此，当 x (1, x0)时，m(x) m(1) 0，这与 x R, f (x) p(x q)
2 1恒
成立矛盾！.........................................................................................................16 分
7
5 5 5 5
综上所述：0 c ，所以0 p ，即： p 且p 0，
2 2 2 2
1 11
又因为 a 2,q 1，所以： a p q [ ,3) (3, ] ..............................17 分
2 2
19.解：（1）函数 f x ln 1 eax bx的定义域为R
根据偶函数的定义： x R， f x f (x)，即 ln 1 e ax bx ln 1 eax bx
.................................................................................................................................1 分
即： 2bx ln 1 eax ln 1 e ax ax
上式对任意 x R恒成立，这等价于 2b a ........................................................2 分
a2 b2 2a 1 4b2 b2 4b 1 5b2 4b 1 2 1 1 5(b )2 ，...3 分
5 5 5
2
等号成立当且仅当b ,a 4 ..........................................................................4 分
5 5
2 2 5
所以： a b 2a 1的最小值为 .........................................................5 分
5
（2）（i）由（1）可得： a 2 .............................................................................6 分
由于 g(x) f 1 x f (1 x), x [ 1,1]为偶函数，故，只需考虑 x [0,1]时， g(x)的值域；
g(x) f (1 x) f (1 x) ln(1 e2(1 x ) ) (1 x) ln(1 e2(1 x ) ) (1 x)
ln (1 e
2(1 x ) ) (1 e2(1 x ) ) 2 ln 1 e
4 e2(1 x ) e2(1 x ) 2 ln 1 e4 e2 (e2x e 2x ) 2.....
................................................................................................................................7 分
令 (x) e2x e 2x , x [0,1]， (x) 2 e2x e 2x 0, x [0,1]，
所以 (x) e2x e 2x , x [0,1]单调递增，所以 g(x) f 1 x f (1 x)在[0,1]上单调递
增，...........................................................................................................................8 分
g(x)的值域为 g(0), g(1) ， g(0) ln(e4 2e2 1) 2 2ln(e2 1) 2
g(1) ln 2(e4 1) 2
故： g(x)的值域为[2ln(e2 1) 2, ln 2(e4 1) 2]
8
（备注：答案写成[2ln(e 1 ), ln 2(e2 1 )]不扣分）.....................................9 分
e e2
（ii）对于常数 c，令 g(x) f c x f (c x)， g(x)为偶函数。
下面先证明一个结论： g(x)在[0, )上单调递增。
证明： g(x) ln(1 e2(c x) ) (c x) ln(1 e2(c x) ) (c x)
ln(1 e2(c x) )(1 e2(c x) ) 2c ln 1 e4c e2c (e2x e 2x ) 2c
由（2）可得：y e2x+e 2x为偶函数，在[0, )上单调递增。所以 g(x)在[0, )上单调递增，
证毕。...................................................................................................................11 分
1000 1000
对于 1 xi 2, (i 1,2,...,10), 且 xi 1000，先证明：当 f xi 取最大值时，
i 1 i 1
x1, x2 ,..., x1000 中最多只有一个 xi ( 1,2)，其余的数要么等于 1，要么等于 2 .
1000
用反证法，假如当 f xi 取最大值时， x1, x2 ,..., x1000 中存在两个数 xi , x j ( 1,2)，不
i 1
妨设 xi x j 记 t0 min{2 x j , xi 1}，则 t0 0,且x j t0 2, xi t0 1，
x x
c i j
x j xi x x
记 ，则 j i t0，根据 g(x) f c x f (c x)的单调性可知2 2 2
x x x x x x x x
f xi
f x j ij f (c ) f (c j i ) f (c j i t j i2 2 2 0 ) f (c t 0 ) 2
1000 x x
x x
在 f xi 中，将 xi , x j ij 分别替换成 c t0 ,c j i t0 ，其余的数不变的
i 1 2 2
1000
情况下，得到了更大的值，这与 f xi 取最大值相矛盾!
i 1
所以： x1, x2 ,..., x1000 中最多只有一个 xi ( 1,2) ........................................................14 分
① x1, x2 ,..., x1000 中没有数字在区间 ( 1,2)时， x1, x2 ,..., x1000 中的每一个数，要么等于 1，
要么等于 2，记 x1, x2 ,..., x1000 中等于 2的元素个数为 k，
2k (1000 k) 1000 k 2000 ， ，这与 k为整数矛盾！....................................15 分
3
② x1, x2 ,..., x1000 中只有一个数字在区间 ( 1,2)时，不妨记为 x0，记等于 2的数字个数为 k，
9
则等于 1的数字个数为999 k，则 x0 2k (999 k ) 1000
即： x0 3k 1999，由于 x0 ( 1,2)，1997 3k 2000，
k N *又因为 ，所以 k 666， x0 1，.................................................................16 分
所以这1000个数为 1, 1, 1 ,... , 1,1,2 , 2, 2,. .. , 2
(333个 1) (666个2)
x 21 x
2
2 ... x
2
1000 4 666 1 334 2998 ......................................................17 分
102025届高三·十月·六校联考
数学科试题
命题人：中山纪念中学符自祥审题人：中山纪念中学邓启龙向玉婷
(满分150分。考试时间120分钟。)
注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考
场号、座位号填写在答题卡上。并用2B铅笔将对应的信息点涂黑，不按要
求填涂的，答卷无效。
2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信
息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在
试卷上。
3,非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目
指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原米的答案，然后再写上新的
答案，不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.已知集合A=了x2<2*<32,
B={y<2},则AUB=
A.(-2,1)
B.(-1,2)
C.0
D.(-2,5)
2.已知a=25,b=35,c=175,则
A.a
B.bC.bD.c3.幂函数f(x)=(m2-4m+4)xm-2在(0，+o)上单调递增，则
A.m=1
B.m=3
C.m=1或3
D.m>2
4.函数f()=g(x+1)-上零点的个数为
A.0
B.1
C.2
D.3
5.已知使不等式x2+(2a+1)x+2a≤0成立的任意一个x,都满足不等式x2-4x-5≤0，
则实数a的取值范围为
(四
c分，to)
D.(,-]U,)
6.曲线y=ln(2x)与曲线y=ln(x+2)的公切线斜率为
In2
A.-
B.In2
C.1
D.2
2
高三数学1
7.函数结构是值得关注的对象，为了研究y=x(x>0)的结构，两边取对数，可得
Iny=lnx,即lny=xnx,两边取指数，得ey=eax,即y=en,这样我们就得到
了较为熟悉的函数类型，结合上述材料，y=x(x>0)的最小值为
A.1
B.e
Ce
D.ec
8.设函数因)=-4+2-2x+2,8网=/-7
，若函数g(x)零点为
2x-4
5,2,为3，xn，则2+(4).2五+().2+().…2+，)=
A.232
B.216
C.28
D.24
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求.全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.以下说法正确的有
A.ac2>bc2是4>b的充分条件
B.至少存在一个无理数，它的平方是有理数
c.3meN,√m2+4eN
A设命愿P:e0,孕nx之票，则P的香定为3x6(m,0UI5,n<
元
元
10.已知e是自然对数的底数，e≈2.71828…，函数f(x)=a
+b的图象经过原点，且
无限接近直线y=e但又不与该直线相交，则
A,a=e
B.f(x)的值域为[0，e)
C.f(x)在区间(0，+∞)上单调递减
D.f(in3)=f(ln
11.f(x)是一个定义在R上的函数，则以下选项可能成立的有
A廿a∈R,f(a2-2a)a-2
B.VbER,f(2'+2-)=bIn(v1+82+8
C.VcER,f(c-sinc)=cosc
D.VdER,f(ed-d-1)=2d+cos2d
高三数毕2