2024-2025 学年度高三上期数学10月阶段性测试
（考试时间：120 分钟；满分 150 分）
第 I卷（选择题，共 58 分）
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.
1 2 x．已知集合 A x y 2x x ， B y y 2 1 ，则 A B （ ）
A． 0,1 B． 1,2 C． 1,2 D． 0,2
3 i
2．已知复数 z满足 z 2z 3 i，则 （ ）z
A．1 2i B．1 2i C． 2 i D． 2 i
3．已知向量 a，b满足 a 2b 2a b 2，且 b 1，则a b （ ）
1 1 1 1A． 4 B． C． D． 4 2 2
4．如图为函数 = 在 6,6 上的图象，则 f x 的解析式只可能是（ ）
A． f x ln x2 1 x cosx B． f x ln x2 1 x sinx
C． f x ln x2 1 x cosx D． f x ln x2 1 x sinx
5．已知 f x x a cosx为奇函数，则曲线 y f x 在点 π, f π 处的切线方程为（ ）
A． x πy π 0 B． x πy π 0 C． x y π 0 D． x y 0
π π
6．在体积为 12的三棱锥 A BCD中， AC AD， BC BD，平面 ACD 平面 BCD， ACD ， BCD ，
3 4
若点 A,B,C,D都在球O的表面上，则球O的表面积为（ ）
A．12π B．16π C．32π D． 48π
7．若 sin( ) cos2 sin( )，则 tan( )的最大值为（ ）
A 6． B 6． C 2 2． D．
2 4 2 4
8．设a log2024 2023，b log2023 2022， c log0.2024 0.2023，则（ ）
A． c a b B．b c a C．b a c D．a b c
试卷第 1页，共 4页
16．（15分）如图，在三棱锥 D－ABC中，△ABC是以 AB为斜边的等腰直角三角形，△ABD是边长为 2的正三
角形，E为 AD的中点，F为 DC上一点，且平面 BEF⊥平面 ABD.
(1)求证：AD⊥平面 BEF；
(2)若平面 ABC⊥平面 ABD，求平面 BEF与平面 BCD夹角的余弦值.
17．（15分）为研究“眼睛近视是否与长时间看电子产品有关”的问题，对某班同学的近视情况和看电子产品的时间
进行了统计，得到如下的列联表：
每天看电子产品的时间
近视情况 合计
超过一小时 一小时内
近视 10人 5人 15人
不近视 10人 25人 35人
合计 20人 30人 50人
附表：
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
2 n(ad bc)
2
．
(a b)(c d )(a c)(b d )
(1)根据小概率值 0.05的 2独立性检验，判断眼睛近视是否与长时间看电子产品有关；
(2)在该班近视的同学中随机抽取 3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是多少？
(3)以频率估计概率，在该班所在学校随机抽取 2人，记其中近视的人数为 X，每天看电子产品超过一小时的人数为
Y，求 P(X Y )的值．
试卷第 3页，共 4页
18．（17分）已知函数 f x ln x 1 ．
(1)求曲线 = 在 x 3处的切线方程；
(2)讨论函数F x ax f x a R 的单调性；
g x x 1 f 1 1 (3)设函数 x f 1 ．证明：存在实数
m，使得曲线 = 关于直线 x m对称.
x
6
19．（17分）已知椭圆C的对称中心在坐标原点，以坐标轴为对称轴，且经过点 3,1 和 2, ．
3
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点M 2,0 作不与坐标轴平行的直线 l交曲线C于A，B两点，过点A，B分别向 x轴作垂线，垂足分别为点D，
E，直线 AE与直线 BD相交于 P点．
①求证：点 P在定直线上；
②求 PAB面积的最大值．
试卷第 4页，共 4页2024-2025 学年度高三上期 数学10月阶段性测试（参考答案）
一、单项选择题：B AA C D D D C
8．【解】由对数函数的性质知 c log0.2024 0.2023 log0.2024 0.2024 1，
0 log20241 log2024 2023 log2024 2024 1，0 log20231 log2023 2022 log2023 2023 1，所以 c 1，0 a 1，0 b 1；
当 n 2时， ln n 1 ln n ln n 1 0，
ln n 1 ln n 1 2 ln n 1ln n
2
ln n 1
所以 ln n
2
2
2 2 2
ln n 1 n 1 ln n2 1 ln n2
ln n
2 2 ln n 2 ln n ln n
2 ln n 2 0，
2 2 2
取 n 2023 2，则 lg 2022 lg 2024 lg 2023 0，
b a log 2022 log 2023 lg 2022 lg 2023 lg 2022 lg 2024 lg 2023
2
所以 2023 2024 lg 2023 lg 2024 0，即b a，综上，b a c .lg 2023 lg 2024
二、多项选择题：ABC ACD CD.
11．【解】令 f x 6ln x x，则 f x 6 1 6 x ，
x x
故当 x 0,6 时， ′ > ， f x 单调递增，当 x 6, 时， f x 0, f x 单调递减，
∵6 lnm m a，6n 6ln en en a n，∴ f m f e ，又m en，不妨设0 m 6 en，
解法一：记 x1 m, x e
n
2 ，设 g x f 12 x f x ， x 0,6 ，
2 x 2 6
则 g x f 12 x f x x 6 6 x 0在 0,6 上恒成立，所以 g x 在 0,6 上单调递减，
x 12 x x x 12
所以 g x f 12 x f x g 6 0， x 0,6 ，则 f 12 x1 f x1 f x2 ，
又因为12 x1, x2 6, ，且 f x 在 6, 上单调递减，所以12 x1 x2 ，则 x1 x2 12，所以m en 12 .
n n
解法二：由 6lnm m a,6n 6ln e n e n a e e，两式相减，可得 6ln e n m，令 t t 1 ，
m m
6 ln t
则6 ln t m t 1 ,m , en mt 6t ln t n 6 t 1 ln t ，∴m e ；
t 1 t 1 t 1
令 g t t 1 ln t 2 t 1 , t 1，则 g t ln t t 1 1 2 ln t 1，
t t
y ln t 1 1 t 1 y 1 1 t 1令 ，则 2 2 0在 , + ∞ 上恒成立，所以 g t 在 , + ∞ 上单调递增，t t t t
因为 g t g 1 0在 , + ∞ 上恒成立，
所以 g t 在 , + ∞ 上单调递增，则 g t g 1 0 t 1 ln t 6 t 1 ln t，即 2，所以m en 12 .
t 1 t 1
试卷第 1页，共 4页
可以得到关键点的坐标 A 0,1,0 ,B 0, 1,0 ,C 1,0,0 ,D 0,0, 3
由第（1）问知道平面 BEF的法向量可取 AD 0, 1, 3 .
设平面BCD的法向量为m x, y, z ，且 BC 1,1,0 ,CD 1,0, 3 , 则
m
·BC 0 x y 0
,则 ，解得m 3, 3,1 .
m·CD 0 x 3z 0
则 cos m
, AD m ·A D 2 3 21
m |· AD | 2 7 7 .则平面 BEF与平面 BCD
21
夹角的余弦值为 .（15分）
7
17．【解】（1）零假设H0为：学生患近视与长时间使用电子产品无关．
2 50 10 25 10 5
2
计算可得， 400 6.349 3.841 x ，
15 35 20 30 63 0.05
根据小概率值 0.05的 2独立性检验，推断H0不成立，即患近视与长时间使用电子产品的习惯有关．（5分）
（2）每天看电子产品超过一小时的人数为 ，
2 1 3
则 P( 2) P( 2) P( 3)
C10C5 C10 45 5 120 69 ，
C315 C
3
15 455 91
69
所以在该班近视的同学中随机抽取 3人，则至少有两人每天看电子产品超过一小时的概率是 ．（10分）
91
（3）依题意， P(X
1 1 1 1 1 1
Y 0) ， P(X Y 2) ，
2 2 4 5 5 25
事件 X Y 1包含两种情况：
①其中一人每天看电子产品超过一小时且近视，另一人既不近视，每天看电子产品也没超过一小时；
②其中一人每天看电子产品超过一小时且不近视，另一人近视且每天看电子产品没超过一小时，
于是 P(X Y 1)
1 1
C12 C
1 1 1 6 ，
2 5 2 5 10 25
所以 P(X Y ) P(X Y 0) P(X Y 1) P(X Y 2)
1 1 6 53
．（15分）
4 25 25 100
18．【解】（1）切点为 3, ln 4 .因为 f (x) 1 ，所以切线的斜率为 k f (3) 1 ，
x 1 4
1
所以曲线 y f (x)在 x 3处的切线方程为 y ln 4 (x 3)，化简得 x 4y 8ln 2 3 0 ；（5分）
4
（2）由题意可知 F x ax ln x 1 ，则 的定义域为 1, ，
F x a 1 ax a 1 ， x 1, ，
x 1 x 1
a 0 1当 时， F x a 0，则 在 1, 上单调递减；
x 1
当 a 0时，令 F x 0 1，即 ax a 1 0，解得 x 1，
a
试卷第 3页，共 4页
若 1 x
1 a 1
1 F x ax a 1， 0 1 ax a 1；若 x 1， F x 0，
a a x 1 a x 1
1 1
则 在 1, 1 上单调递减，在a
1, 上单调递增．
a
综上所述，当 a 0时， 在 1, 上单调递减；
当 a 0时， 在 1,
1
1 1 上单调递减，在 1, 上单调递增；（11分） a a
（3）证明：函数 g x x 1 ln 1
1
ln
2 1
x x
，
函数 g x 的定义域为 , 1 0, ．若存在m，使得曲线 = 关于直线 x m对称，
则 , 1 0, 关于直线 x m 1对称，所以m
2
由 g 1 x 1 x ln 1
ln
1
2
1 x 1 x
xln x ln 2x 1 xln x 1 ln 2x 1 1 x ln x 1 ln x 1 ln 2x 1 1 x ln x 1 ln 2x 1 g x ．
x 1 x 1 x x 1 x x x 1 x x
1
可知曲线 = 关于直线 x 对称．（17分）
2
19．【解】（1）设椭圆C的方程为mx2 ny2 1(m 0,n 0,m n ) ，代入已知点的坐标，
3m n 1 m
1
6 x2 y2
得： 2 ，解得 ，所以椭圆C的标准方程为 1．（5分）
4m n 1 3 n
1
6 2
2
（2）如图：①设直线 l的方程为 x my 2 m 0 ，并记点 , ， , ， , ，
x my 2,
由 x2 y2 消去 x，得 m2 3 y2 4my 2 0，易知Δ 16m2 8 m2 3 24 m2 1 0，
1 6 2
则 y1 y
4m 2
2 2 ， y1y2 m 3 m2
．
3
由条件，D x1,0 ， E
y
x 12 ,0 ，直线 AE的方程为 y x
y
x
x x 2
，直线 BD 2的方程为 y x x1 ，
1 2 x2 x1
x x联立解得 2
y1 x1y2 my2 2 y1 my1 2 y 2 my 2 1y20 =2 + 3，所以点 P在定直线 x 3上．（11分）y1 y2 y1 y2 y1 y2
1 1 1 1 myS 1
y2 1
②
1
PAB AD x0 x2 y1 3 x2 y1 1 my2 y1 my1y2 , 而 y y 2，所以my y2 2 2 2 1 2
y
2 1
y2 ，
1 2
S 1 y y y 1 1
2
则 1 2 PAB 1 y1 y2 y1 y2
2
4y y 6 m 1
2 2 4 4 1 2
，
2m2 6
S 6 t 6 1 6 1 3
令 t m2 1，则 t 1，所以 △PAB 2 t2 2 2 2 ，t 2 2 2 4
t
3
当且仅当 t 2 时，等号成立，所以 PAB面积的最大值为 ．（17分）
4
试卷第 4页，共 4页2024-2025学年度高三上期数学10月阶段性测试
答题卡
姓名 班级 座号 准考证号
注意事项 1.答题前先将姓名、班级、座号、准考证号填写清楚。2.选择题用2B铅笔将对应题目的答案标号涂黑。3.非选择题使用黑色字迹签字笔书写，笔迹清楚。 4.保持卡面清洁，严禁折叠，严禁做标记。
填 涂样 例 正确填涂错误填涂 缺考 （考生禁涂）
第Ⅰ卷 选择题（共58分，请用2B铅笔填涂）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1 4 7 2 5 8 3 6
二、多选题（每小题6分，共18分）9 10 11
第Ⅱ卷 非选择题（共92分，请用0.5毫米的黑色字迹中性笔书写）
三、填空题（每小题5分，共15分）12. ； 13. ； .
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
四、解答题（共77分）15．（13分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
17．（15分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
18．（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
19．（17分）
请在各题规定的黑色矩形区域内答题，超出该区域的答案无效
