2024-2025学年浙江省宁波市余姚市姚江中学九年级（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省宁波市余姚市姚江中学九年级（上）第一次月考数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列函数中，是二次函数的是( )
A. B. C. D.
2.随机事件的概率是( )
A. B. C. 大于且小于 D. 大于
3.下列事件中是必然事件的是( )
A. 某射击运动员射击一次，命中靶心 B. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上
C. 三角形内角和是 D. 当是实数时，
4.二次函数的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，将抛物线先向上平移个单位长度，再向左平移个单位长度，所得的抛物线的解析式是( )
A. B. C. D.
6.一个不透明的口袋中装有个黑球和若干个白球，每个球除颜色外都相同摇匀后随机摸一球，已知摸到白球的概率是，估计袋中白球的个数是( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.设一元二次方程的两实根分别为，，且，则，满足( )
A. B. C. D. 且
9.如图，抛物线的对称轴为直线，且经过点下列结论：；；若和是抛物线上两点，则；对于任意实数，均有其中正确的结论有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
10.如图，二次函数为常数与二次函数为常数的图象的顶点分别为、，且相交于和，若，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.二次函数中，二次项系数是______，一次项系数是______，常数项是______．
12.抛物线与轴的交点坐标是______．
13.在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示：
试种数量
发芽的频率
在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为______结果精确到
14.小颖妈妈经营的玩具店某次进了一箱黑白两种颜色的塑料球个，为了估计两种颜色的球各有多少个，她将箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回箱子中，多次重复上述过程后，她发现摸到黑球的频率在附近波动，据此可以估计黑球的个数约是______．
15.实数，满足，则的最大值为______．
16.若二次函数的图象与轴的两个交点和顶点构成等边三角形，则称这样的二次函数的图象为标准抛物线如图，自左至右的一组二次函数的图象，，是标准抛物线，且顶点都在直线上，与轴交于点，在右侧，与轴交于点，，与轴交于点，，，则抛物线的函数表达式为______．
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
口袋里只有个球，除颜色外都相同，其中有个红球，个白球，没有其他颜色的球，从中随意摸出一个球：如果摸到红球与摸到白球的可能性相等，分别求和的值．
在的条件下，现从布袋中取走若干个白球，并放入相同数目的红球，搅拌均匀后，再从口袋中摸出一个球是红球的概率是，求取走多少个白球．
18.本小题分
已知二次函数顶点为且过点．
求此二次函数的解析式；
当时，求的取值范围．
19.本小题分
在一个不透明的盒子中放有三张卡片，每张卡片上写有一个数字，分别为，，每张卡片除了数字不同外，其余均相同．
先从盒子中随机抽取一张卡片，请直接写出卡片上的数字是的概率；
先从盒子中随机抽取一张卡片，记卡片上的数为，再从剩余的卡片中随机抽取一张，记卡片上的数为，请用列表法或画树状图树形图法求两次抽取的卡片上的数字之积为的倍数的概率．
20.本小题分
如图，二次函数过点，和点．
求该二次函数的表达式及最小值．
点是该二次函数图象上一点．
当时，求的值；
已知点到轴的距离不大于，请根据图象直接写出的取值范围．
21.本小题分
某商场要经营一种新上市的文具，进价为元件，试营业阶段发现：当销售单价是元时，每天的销售量为件；销售单价每上涨元，每天的销售量就减少件．
写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
商场的营销部结合实际情况，决定该文具的销售单价不低于元，且每天的销售量不得少于件，那么该文具如何定价每天的最大销售利润最大，最大利润是多少．
22.本小题分
抛物线的顶点为，与轴交于点．
求的值；
若将该抛物线向右平移个单位，写出平移后的抛物线表达式，并求平移所得抛物线与原抛物线的交点坐标．
23.本小题分
如图，用长为米的篱笆靠一道长为米的墙围一个矩形养鸡场靠墙一面不用篱笆．
求下列情形下养鸡场的面积的最大值；
；
．
若可围成的矩形养鸡场的面积的最大值为平方米，求的值．
24.本小题分
如图，二次函数的图象交轴于点，，交轴于点点是轴上的一动点，轴，交直线于点，交抛物线于点．
求这个二次函数的表达式；
若点仅在线段上运动，如图，求线段的最大值；
若点在轴上运动，则在轴上是否存在点，使以，，，为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案
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17.解：摸到红球与摸到白球的可能性相等，且，
；
设取走个白球，放入个红球，则口袋中现在有白球个，红球个，
根据题意得，，
解得，
答：取走个白球．
18.解：已知抛物线的顶点坐标为，
设此二次函数的解析式为，
把点代入解析式，得：
，即，
此函数的解析式为．
当时，，
解得或，
抛物线与轴的交点为，，
时，函数的图象位于轴的上方，
图象位于轴的上方的自变量的取值范围为或．
19.解：由题意可得，
卡片上的数字是的概率是；
由树状图可知，一共有六种可能性，其中是的倍数的有中可能性，故两次抽取的卡片上的数字之积为的倍数的概率是．
20.解：将点，和点代入，
得：，，，
函数表达式为，
，
，
有最小值，最小值为．
当时，；
点到轴的距离为，
，
，
，
在时，．
21.解：由题意得：；
由题意得：且，解得，
而，
，
而函数的对称轴为，
故当时，随的增大而增大，
故当元时，有最大值为元．
22.解：根据题意得，，
故；
抛物线解析式是，将该抛物线向右平移个单位，
平移后抛物线解析式是，
故平移后抛物线解析式是，
两条抛物线的交点得，
，
解方程组得，，
故交点坐标是．
23.解：设矩形的长为米，则宽为米，由题意可知，
设矩形的面积为，则
，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小；
时，即；
当时，有最大值为平方米；
时，即，
当时，面积的最大值为平方米．
令得：，
解得或，
由可知，当时，，
由知，此时矩形最大值在时取得，面积最大值为平方米，故舍去．
．
24.解：把，代入中，
得
解得
这个二次函数的表达式为；
，
当时，，
点坐标为，
设直线的表达式为，
把，代入，
得
解得
，
点是轴上的一动点，且轴，
点坐标为，点坐标为，
，
，
此函数有最大值，
又点在线段上运动，则，
，
当时，有最大值；
点的坐标为或或．
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