2024-2025学年江苏省无锡市江阴市长泾中学、洛社高中联考高二（上）段考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省无锡市江阴市长泾中学、洛社高中联考高二（上）段考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知是虚数单位，则等于( )
A. B. C. D.
2.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
3.已知四棱柱的底面是平行四边形，且，，，则( )
A. B. C. D.
4.直线与在同一坐标系中的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.已知，且与夹角为锐角，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知两点，，过点的直线与线段含端点有交点，则直线的斜率的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
7.已知平行六面体中，棱、、两两的夹角均为，，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
8.据记载，欧拉公式是由瑞士著名数学家欧拉发现的，该公式被誉为“数学中的天桥”，特别是当时，得到一令人着迷的优美恒等式，将数学中五个重要的数自然对数的底，圆周率，虚数单位，自然数的单位和零元联系到一起，很多数学家评价它是“最完美的数学公式”，根据欧拉公式，在复平面内，若复数对应的点为，将向量绕原点按逆时针方向旋转，所得向量对应的复
数是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则的虚部为
C. 若，则 D. 若，则
10.下列说法正确的是( )
A. 直线的倾斜角为
B. 方程与方程可表示同一直线
C. 经过点，且在，轴上截距互为相反数的直线方程为
D. 过两点，的直线都可用方程表示
11.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角为
C. 三棱锥体积的最大值是
D. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角逐渐增大
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标为______．
13.已知直线：，：，若，则 ______．
14.定义向量在基底下的坐标如下：若，则叫做在基底下的坐标，已知向量在基底下的坐标为，则在基底下的坐标为______，在基底下的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，，边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线的方程为，点的坐标为．
求直线的方程；
求直线的方程及点的坐标．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，平面，，．
Ⅰ求点到平面的距离；
Ⅱ求二面角的平面角的余弦值．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，是边长为的正三角形，为的中点，为上一点，且平面平面．
求证：平面；
若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
设是虚数，是实数，且，．
求的值以及的实部的取值范围；
求证为纯虚数；
求的最小值，
19.本小题分
如图，在三棱柱中，，，，在底面的射影为的中点，是的中点．
Ⅰ证明：平面；
Ⅱ求直线和平面所成的角的正弦值．
参考答案
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15.解：与互相垂直，且的斜率为，
直线的斜率为，
结合，可得的点斜式方程：，
化简整理得：，
所以直线的方程为．
由和联解，得
由此可得直线方程为：，即，
，关于角平分线轴对称，
直线的方程为：，
直线方程为，
将、方程联解，得，，
因此，可得点的坐标为．
16.解：由题意，得，，两两垂直，
不妨以为坐标原点，，，分别为，，轴，
建立空间直角坐标系，如图示：
则，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，即，
不妨取，则，，
故平面的一个法向量为，
点到平面的距离；
由知，平面的一个法向量为，
由题意知，底面的一个法向量为，
则，，
故二面角的余弦值为．
17.解：证明：因为平面平面，平面平面，
因为为正三角形，为中点，
所以，又平面，
所以平面；
取中点，连接，，
因为为正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，
则，，
因为平面平面，平面平面，
则平面，
即，，
即，，两两垂直，
以，，为空间基底，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，
令，则，，
即，
因为平面，
则为平面的一个法向量，
设平面平面与平面夹角为，
则，
即平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：设，
则，
因为是实数，所以，即，
因为，所以，即，且，
由，得，解得，
即的实部的取值范围为；
证明：，，
，，
为纯虚数，
，
由，
故，当且仅当，即时，
取最小值．
19.证明：，是的中点．
，
，
，
面，，
，
，，
平面
解：
建立坐标系如图
在三棱柱中，，，
，，，
即，，，
设平面的法向量为，
即得出
得出，，
，
，，
可得出直线和平面所成的角的正弦值为

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