2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二（下）第二次段考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省深圳市育才中学高二（下）第二次段考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B. C. D.
2.对于相关系数下列描述正确的是( )
A. 两个变量相关则
B. 两个变量无关则
C. 越小，表明两个变量线性相关性越弱
D. 越接近于，表明两个变量线性相关性越强
3.已知随机变量的概率分布如表则( )
A. B. C. D.
4.由，，，，，组成没有重复数字且，不相邻的六位数的个数是( )
A. B. C. D.
5.某市教育局为了解高三学生的学习情况，组织了一次摸底考试，共有名考生参加这次考试，数学成绩近似服从正态分布，其正态密度函数为且，则该市这次考试数学成绩超过分的考生人数约为( )
A. B. C. D.
6.已知，则被除所得的余数为( )
A. B. C. D.
7.将名志愿者分配到三个社区协助开展活动，每个社区至少名，则不同的分配方法数是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，其中，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在经验回归方程中，当解释变量每增加个单位时，响应变量平均减少个单位
B. 在经验回归方程中，相对于样本点的残差为
C. 在残差图中，残差分布的水平带状区域的宽度越宽，其模型的拟合效果越差
D. 若两个变量的决定系数越大，表示残差平方和越小，即模型的拟合效果越好
10.下列说法正确的是( )
A. 若随机变量服从两点分布且，则
B. 服从，若，，则
C. 有名学生，其中名男生，从中选出名学生，选出的学生中男生人数为，则其数学期望
D. 某物理量的测量结果服从正态分布，若越大，则该物理量在一次测量中在的概率越小
11.已知直线与曲线相交于不同两点，，曲线在点处的切线与在点处的切线相交于点，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中，项的系数为______．
13.已知，分别为直线和曲线上的点，则的最小值为______．
14.小蒋同学喜欢吃饺子，某日他前往食堂购买个饺子，其中有个为香菇肉馅，其余为玉米肉馅，且，，，，在小蒋吃到的前个饺子均为玉米肉馅的条件下，这个饺子全部为玉米肉馅的概率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知过抛物线：的焦点的直线交抛物线于，两点，当直线垂直于轴时，．
求抛物线方程；
若，为坐标原点，求的面积．
16.本小题分
近年来我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表：
年份
销量万台
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
求氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程；
为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各名，得到如右上表所示的数据：
根据已知条件，填写上述列联表；
依据的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？
参考公式：
回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为，；
，．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，与交于点，底面，，点，分别是棱，的中点，连接，，．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
18.本小题分
某素质训练营设计了一项闯关比赛规定：三人组队参赛，每次只派一个人，且每人只派一次：如果一个人闯关失败，再派下一个人重新闯关；三人中只要有人闯关成功即视作比赛胜利，无需继续闯关现有甲、乙、丙三人组队参赛，他们各自闯关成功的概率分别为、、，假定、、互不相等，且每人能否闯关成功的事件相互独立．
计划依次派甲乙丙进行闯关，若，，，求该小组比赛胜利的概率；
若依次派甲乙丙进行闯关，则写出所需派出的人员数目的分布，并求的期望；
已知，若乙只能安排在第二个派出，要使派出人员数目的期望较小，试确定甲、丙谁先派出．
19.本小题分
设函数，．
若，求函数的单调区间；
若，试判断函数在区间内的极值点的个数，并说明理由；
求证：对任意的正数，都存在实数，满足：对任意的，．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：抛物线：的焦点为，
令，
解得：，
，
解得：，
抛物线的方程为：；
依题意．设直线方程为，
设，，
则，
得，，
又恒成立．
，
则．
得，
则直线方程为，
则点到直线的距离为，
即的面积．
16.解：根据题意可得：年份的平均数，
销量的平均数，
所以，
，
所以，
所以，
所以氢能源乘用车的销量关于年份的线性回归方程为；
根据男生和女生各名，补全列联表为：
了解 不了解 合计
男生
女生
合计
零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，
根据列联表中的数据可得，
依据的独立性检验，可以推断不成立，
即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关．
17.Ⅰ证明：因为底面是矩形，与交于点，所以为中点，
因为点是棱的中点，是棱的中点，
所以，，
又，，平面，，，平面，
所以平面平面．
Ⅱ解：分别取，的中点、，
因为四边形为矩形，平面，所以，，两两互相垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
所以，
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
18.解：设事件表示“该小组比赛胜利”，
则；
由题意可知，的所有可能取值为，，，
则，，，
所以的分布为：，
所以；
若依次派甲乙丙进行闯关，设派出人员数目的期望为，
由可知，，
若依次派丙乙甲进行闯关，设派出人员数目的期望为，
则，
所以，
因为，所以，，
所以，即，
所以要使派出人员数目的期望较小，先派出甲．
19.解：当时，，，
令，，列表分析
单调递减 单调递增
故的单调递减区间为，单调递增区间为．
，，其中，
令，分析的零点情况．，令，，
列表分析：
单调递减 单调递增
，
而，，，
若，则，，，
因此在有一个零点，在内有一个极值点．
猜想：，恒成立．
证明如下：
由得在上单调递增，且，．
因为当时，，所以．
故在上存在唯一的零点，设为由
单调递减 单调递增
知，，．
又，而时，，
所以．
即，．
所以对任意的正数，都存在实数，使对任意的，使 ．
补充证明：
令，，
所以在上单调递增．
所以时，，即．
补充证明
令，，
所以在上单调递减．
所以时，，即．
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