2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年河北省唐山市开滦一中高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的一个方向向量是( )
A. B. C. D.
2.如图，三棱柱中，为棱的中点，若，，，则( )
A.
B.
C.
D.
3.设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是( )
A. B. C. D.
4.若直线与直线的交点在第一象限，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.已知圆的圆心在轴上且经过，两点，则圆的标准方程是( )
A. B.
C. D.
6.已知圆的方程为，若点在圆外，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
7.已知为直线：上的动点，点满足，记的轨迹为，则( )
A. 是一个半径为的圆 B. 是一条与相交的直线
C. 上的点到的距离均为 D. 是两条平行直线
8.已知直线：与直线：交于点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，：互相平行，且，之间的距离为，则( )
A. B. C. D.
10.数学著作圆锥曲线论中给出了圆的一种定义：平面内，到两个定点，距离之比是常数，且的点的轨迹是圆若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹围成区域的面积为
B. 点的轨迹关于直线对称
C. 点到原点的距离的最大值为
D. 面积的最大值为
11.如图，在长方体中，，点为线段上一动点，则下列说法正确的是( )
A. 直线平面
B. 三棱锥的体积为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 直线与平面所成角的正弦值的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：和直线：垂直，则实数 ______．
13.已知是圆上的动点，定点，，则的最大值为______．
14.如图，正方形、的边长都是，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
求过两直线和的交点，且分别满足下列条件的直线的方程．
过点；
和直线垂直．
16.本小题分
平面直角坐标系中有点，，，，这四点能否在同一个圆上？为什么？
17.本小题分
已知动点与两个定点，的距离的比为，求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状．
18.本小题分
已知为任意实数，当变化时，方程．
此方程表示什么图形？图形有什么特点？
求点与此方程所表示的图形的距离的最大值，并求出此时的值．
19.本小题分
如图，四棱锥中，底面，，，．
若，证明：平面；
若，且二面角的正弦值为，求．
参考答案
1.
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15.解：由解得，．
由两点的坐标求得斜率为，由点斜式求得直线方程为，即．
所求直线的斜率为，由点斜式求得直线方程为，即．
16.解：设过的圆的方程为分
将点、、的坐标分别代入圆的方程，
得，
解得：，，，
得圆的方程为分
将点的坐标代入上述所得圆的方程，方程成立
点在该圆上，分
四个点在同一个圆上．分
17.解：设点，
动点与两个定点，的距离的比为，
则，化简整理可得，，
轨迹的形状为以为圆心，为半径的圆．
18.解：令，解得，
故当变化时，方程表示过直线和直线的交点，
除直线以外的所有直线，包括直线．
当过和点的直线与所给方程表示的图形垂直时，此时距离最大，
则最大值为，
此时，
故的斜率为，
故，解得．
19.证明：因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，
因为，，，，所以，
于是，又平面，平面．
所以平面．
因为，以为原点，分别以，，为，轴，过点作的平行线为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，
设平面的一个法向量，因为，，
所以由，即，
可取；
又，，
设平面的一个法向量，所以由
取，
因为二面角的正弦值为，所以余弦值的绝对值为．
所以由，得，，
因此，．
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