2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练2　平面向量的数量积及其应用

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2025人教A版高中数学必修第二册
专题强化练2　平面向量的数量积及其应用
1.(2024江苏苏州月考)单位向量a,b,c满足a-2b+2c=0,则cos=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选题)(2024陕西西安高新第一中学月考)已知平面向量a=
(-2,1),b=(2,t),则下列说法错误的是(　　)
A.若t=6,则向量a与b的夹角为锐角
B.若|a|=|b|,则t=1
C.a方向上的单位向量为
D.若t=3,则向量a在b上的投影向量的模为
3.(2024山东泰安泰山外国语学校期末)围棋棋盘有19×19个交叉点,从上往下、从左往右数,第m行第n列的交叉点记为P(m,n),例如,第3行第2列的交叉点记为P(3,2).在·(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值的个数为(　　)
A.17　　B.18　　C.19　　D.20
4.(2024吉林长春吉大附中实验学校开学考试)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,AB=5,AD=4,DC=1,E是线段AB上一点,且AE=4EB,动点P在以E为圆心,1为半径的圆上,则·的最大值为(　　)
A.-　　B.2-6　　C.-6　　D.-
5.(多选题)(2024福建龙岩月考)如图,在△ABC中,BC=12,D,E是BC的三等分点,则(　　)
A.=+
B.若AB⊥AC,则·=32
C.若·=9,则·=40
D.若·=4,则+=88
6.(2024江苏南京模拟)在边长为3的等边三角形ABC中,D为线段BC上的动点,DE⊥AB,交AB于点E,DF∥AB,交AC于点F,则|2+|=　　　　;(+)·的最小值为　　　　.
7.(2024辽宁沈阳联考)已知点M为△ABC外接圆圆O上的任意一点,∠ACB=30°,AC=2,BC=,则||=　　　　;(-)·的最大值为　　　　.
8.(2024重庆第十一中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥CD,∠DAB=90°,AB=4,AD=CD=2,对角线AC,BD交于点O,点M在AB上,且满足OM⊥BD.
(1)求·的值;
(2)若N为线段AC上任意一点(不含端点),求·的最小值.
答案与分层梯度式解析
专题强化练2　平面向量的数量积及其应用
1.B 2.BC 3.C 4.C 5.ABD
1.B　解法一:由a-2b+2c=0,得a=2b-2c.
因为a,b,c是单位向量,所以设a=(1,0),b=(x1,y1),c=(x2,y2),且+=1,+=1,则(1,0)=(2x1-2x2,2y1-2y2),
解得或y1=y2=±.
不妨取b=,c=,
则b-2c=.
所以a·(b-2c)=1×+0×=,|b-2c|=,
所以cos===.故选B.
解法二:因为a-2b+2c=0,所以a=2b-2c,故a2=4b2+4c2-8b·c.
由a,b,c是单位向量,得a2=b2=c2=1,故b·c=.
所以|b-2c|2=b2-4b·c+4c2=1-+4=,所以|b-2c|=.
因为a·(b-2c)=(2b-2c)·(b-2c)=2b2+4c2-6b·c=6-=,
所以cos==.故选B.
2.BC　对于A,当t=6时,b=(2,6),所以a·b=-2×2+1×6=2>0,且a与b不共线,所以向量a与b的夹角为锐角,故A中说法正确;
对于B,若|a|=|b|,则=,解得t=±1,故B中说法错误;
对于C,因为a=(-2,1),所以|a|==,
所以a方向上的单位向量为=(-2,1)=,故C中说法错误;
对于D,当t=3时,b=(2,3),所以a·b=-2×2+1×3=-1,|b|==,
所以向量a在b上的投影向量的模为=,故D中说法正确.
故选BC.
3.C　将围棋棋盘放在平面直角坐标系中,并使最下面一行在直线y=1上,最左边一列在直线x=1上,如图,
则P(19,1)对应坐标系中的点(1,1)(记为P1),P(1,1)对应坐标系中的点(19,1)(记为P2),点P(m,n)对应坐标系中的点(20-m,n)(记为Pm,n).
所以=,=,
所以·=·=||||cos<,>.
||cos<,>为在上的投影向量的长度,共有19个不同数值,
所以在·(1≤m≤19,1≤n≤19,m,n∈N)中,不同值有19个.故选C.
4.C　过点D作DO⊥AB,垂足为O,以O为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,连接DE,EP,
则A(-2,0),C(1,2),D(0,2),E(2,0).
·=(+)·=·+·,
易得·=(2,-2)·(3,2)=6-12=-6,
·=||||cos<,>=1×cos<,>=cos<,>(利用数量积的定义计算,避免了设动点P的坐标),
因为cos<,>∈[-1,1],所以·∈[-,],所以·的最大值为-6.故选C.
解题技法　向量数量积的运算一般有两种方法,一种是基底法,选取适当的基底(基底中的向量尽量已知模或夹角),将题中涉及的向量用基底表示,利用向量的数量积计算;另一种是坐标法,通过建立恰当的平面直角坐标系,利用坐标运算解决数量积问题.
5.ABD　对于A,=+=+=+(-)=+,故A正确;
对于B,若AB⊥AC,则·=0,
易知=+=+=+(-)=+,=+,
所以·=·=(+)=×122=32,故B正确;
对于C,易得·=·=++
·=++5,
因为=-,所以=+-2·=144,
所以+=2·+144=162,故·=×162+5=41,故C错误;
对于D,·=++·=4,
由C中分析知+-2·=144,
所以++=4,
则+=88,故D正确.
故选ABD.
6.答案　3;
解析　如图,设BE=x,x∈,
∵△ABC是边长为3的等边三角形,DE⊥AB,
∴∠BDE=30°,BD=2x,DE=x,DC=3-2x.
∵DF∥AB,∴△DFC是边长为3-2x的等边三角形,DE⊥DF,
∴(2+)2=4+4·+=4x2+4x(3-2x)+(3-2x)2=9,
∴|2+|=3.
(+)·=(+)·(+)=+·=(x)2+(3-2x)(3-x)=5x2-9x+9=5+,
所以当x=时,(+)·取得最小值,为.
7.答案　1;
解析　=-,则||=
=
=
==1.
∵(-)·=·=||||cos∠ABM=||cos∠ABM,显然∠ABM为锐角时||cos∠ABM存在最大值,||cos∠ABM是向量在上的投影向量的长度,
易得△ABC为直角三角形,O为AC的中点,如图,过点M作圆的切线,当切线与BA垂直且∠ABM为锐角时,在上的投影向量的长度最大,设切线交BA的延长线于D,则||cos∠ABM=||,
连接MO,MA,由MD与圆相切,且MD⊥AB得OM∥AB,
易得OM=OB=AB=1,所以四边形OMAB是菱形.
由同弧所对的圆周角相等知∠AMB=∠ACB=30°,所以∠ABM=30°,BM=2ABcos 30°=,故||=||cos 30°=.
故(-)·的最大值为.
8.解析　解法一:(1)因为AB∥CD,AB=2CD,
所以AO=2OC,
则·=(+)·=·+·
=·=·=(+)·(-)
=(-·)=×(4-2×4×1)=-.
(2)设=λ(0<λ<1),
由(1)可得·=λ·=λ·(-)=-λ=-16λ=-,解得λ=,即=.
易知∠CAB=45°,
所以·=·(-)=-·
=-||×||×cos∠CAB
=-×||×||×cos 45°
=||2-||.
令||=t,则0则·=t2-t=-,
所以当t=时,·有最小值,为-.
解法二:(1)以A为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系(图略),则A(0,0),B(4,0),C(2,2),D(0,2),
所以=(-4,2),因为AB∥CD,AB=2CD,所以AO=2OC,所以=2,易得O.
设M(m,0),0因为OM⊥BD,所以·=×(-4)+×2=-4m+=0,解得m=,
所以=,所以·=×(-4)+0×2=-.
(2)易知∠CAB=45°,故可设N(a,a),0则·=(a,a)·
=2a2-a=2-,
所以当a=时,·有最小值,为-.
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