2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题

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2025人教A版高中数学必修第二册
专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题
1.(2024河南焦作模拟)已知△ABC内一点D满足++=0,则△ABC的面积是△ABD面积的(　　)
A.5倍　　B.4倍　　C.3倍　　D.2倍
2.(2023浙江金华段考)如图,已知O是△ABC的垂心,且+2+3=0,则tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=(　　)
A.1∶2∶3　　B.1∶2∶4 C.2∶3∶4　　D.2∶3∶6
3.(多选题)(2024重庆育才中学月考)已知点O为△ABC内一点,且2+3+4=0,则下列选项正确的是(　　)
A.=+ B.直线AO过BC边的中点
C.S△AOB∶S△BOC=2∶1 D.若||=||=||=1,则·=-
4.(多选题)(2024广东深圳外国语学校期中)点O在△ABC内,以下说法正确的有(　　)
A.若++=0,则点O为△ABC的重心
B.若||=||=||,则点O为△ABC的外心
C.若(+)·=(+)·=(+)·=0,则点O为△ABC的内心
D.若·=·=·,则点O为△ABC的垂心
5.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学月考)“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰车的标志得来,是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心(重心、内心、外心、垂心)有着神秘的关联,它的具体内容是:已知M是△ABC内一点,△BMC,△AMC,△AMB的面积分别为SA,SB,SC,且SA·+SB·+SC·=0,则以下命题正确的有(　　)
A.若3+4+5=0,则SA∶SB∶SC=5∶4∶3
B.若SA∶SB∶SC=1∶1∶1,则M为△ABC的重心
C.若M为△ABC的内心,则BC·+AC·+AB·=0
D.若∠BAC=45°,∠ABC=60°,M为△ABC的外心,则SA∶SB∶SC=2∶∶1
6.(2024江苏苏州盛泽中学月考)点P是△ABC内一点,若=+,则△ABP与△ACP的面积之比是　　　　.
7.设G为△ABC的重心,且sin A·+sin B·+sin C·=0,则B=　　　　.
8.(2024江西宜春清江中学期中)在△ABC中,E,F分别为AB,AC上靠近B,C的五等分点,P为EF上的任一点,实数x,y满足+x+y=0,设△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面积分别为S,S1,S2,S3,记=λi(i=1,2,3),则λ2·λ3取得最大值时,x,y的值分别为　　　　.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　三角形的奔驰定理和四心问题
1.A 2.A 3.ACD 4.ABD 5.BCD
1.A　由++=0,结合奔驰定理可得S△ABD=S△ABC=S△ABC,
所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.故选A.
一题多解　设AB的中点为M,因为++=0,
所以=2(+),所以=4,
所以点D是线段CM的五等分点(靠近点M),所以==5,所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍.
2.A　延长CO,BO,AO,分别交边AB,AC,BC于点P,M,N,如图,
因为O是△ABC的垂心,所以CP⊥AB,BM⊥AC,AN⊥BC,∠BOP=∠BAC,∠AOP=∠ABC,∠AOM=∠ACB,
因此,===,
同理可得,=,
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=S△BOC∶S△AOC∶S△AOB,
由+2+3=0及奔驰定理可得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶2∶3,
所以tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.故选A.
一题多解　若O为锐角△ABC的垂心,则tan A·+tan B
·+tan C·=0,再结合题目已知条件+2+3=0,可推出tan∠BAC∶tan∠ABC∶tan∠ACB=1∶2∶3.
3.ACD　对于A,∵2+3+4=0,
∴2=3+3+4+4,
∴=+,故A正确;
对于B,若直线AO过BC边的中点D,则=λ=λ×(+)(λ∈R),与A矛盾,故B错误;
对于C,由奔驰定理得S△BOC×+S△AOC×+S△AOB×=0,∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=2∶3∶4,∴S△AOB∶S△BOC=2∶1,故C正确;
对于D,∵2+3+4=0,∴2+3=-4,
∴4||2+12·+9||2=16||2,∴·=,故·=·(-)=-+·=-+×=-,故D正确.故选ACD.
4.ABD　设BC,AC,AB的中点分别为D,E,F,连接OD,OE,OF.
对于A,+=2,则+2=0,所以=-2,所以A,O,D三点共线,即点O在中线AD上,同理可得点O在中线BE,CF上,所以点O是△ABC的重心,故A正确;
对于B,若||=||=||,则点O为△ABC的外心,故B正确;
对于C,(+)·=0,则2·=0,所以直线OF为线段AB的垂直平分线,同理可得直线OE,OD分别为线段AC,BC的垂直平分线,所以O为△ABC三边垂直平分线的交点,所以点O为△ABC的外心,故C错误;
对于D,由已知可得·-·=·(-)=·=0,即OB⊥CA,
所以点O在AC边上的高线所在直线上,同理可得O在AB边上的高线所在直线上,O在BC边上的高线所在直线上,所以点O是△ABC的垂心,故D正确.故选ABD.
5.BCD　对于A,由SA·+SB·+SC·=0,3+4+5=0,可得SA∶SB∶SC=3∶4∶5,故A错误;
对于B,由SA∶SB∶SC=1∶1∶1可得++=0①,如图,取BC的中点D,连接MD,则有+=2,代入①式,得=-2,即A,M,D三点共线,且点M是AD上靠近点D的三等分点,同理可知点M也是另两边上的中线的三等分点(靠近各边中点),所以点M是△ABC的重心,故B正确;
对于C,设△ABC的内切圆半径为r,则SA=BC·r,SB=AC·r,SC=AB·r,代入SA·+SB·+SC·=0,可得BC·r·+AC·r·+AB·r·=0,整理得BC·+AC·+AB·=0,故C正确;
对于D,设△ABC的外接圆半径为R,因为M为△ABC的外心,
所以∠BMC=2∠BAC=90°,∠AMC=2∠ABC=120°,∠AMB=360°-120°-90°=150°,
则SA=R2sin 90°=R2,SB=R2sin 120°=R2,SC=R2sin 150°=R2.
故SA∶SB∶SC=∶∶=2∶∶1,故D正确.
故选BCD.
方法技巧　三角形四心的向量统一形式
已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,X是△ABC内一点,且m+n+p=0.
若X为△ABC的重心,则m∶n∶p=1∶1∶1;
若X为△ABC的内心,则m∶n∶p=a∶b∶c;
若X为△ABC的外心,则m∶n∶p=sin 2A∶sin 2B∶sin 2C;
若X为△ABC的垂心,则m∶n∶p=tan A∶tan B∶tan C.
6.答案　5∶6
解析　由题意得=(-)+(-),整理得++=0,由奔驰定理得==.故答案为5∶6.
一题多解　如图,延长AP交BC于点D,
设=λ(λ∈R),则=+,
因为B,C,D三点共线,所以+=1,解得λ=,所以=,=+,
则S△ABP=S△ABD,S△ACP=S△ACD,由=+,得(-)=(-),即=,所以=,所以=,所以==.
故答案为5∶6.
7.答案　60°
解析　∵G是△ABC的重心,∴++=0,即=-(+),将其代入sin A·+sin B·+sin C·=0,得(sin B-sin A)+(sin C-sin A)·=0,又,不共线,∴sin B-sin A=0,sin C-sin A=0,∴sin B=sin A=sin C.结合正弦定理得b=a=c,∴△ABC是等边三角形,故B=60°.
一题多解　∵G为△ABC的重心,∴++=0,
又∵sin A·+sin B·+sin C·=0,
∴sin A=sin B=sin C,∴△ABC是等边三角形,故B=60°.
8.答案　2,2
解析　由题意得EF∥BC,
故点P到BC的距离等于△ABC的边BC上的高的,
则S1=S,所以S2+S3=S,λ2+λ3=,
则λ2λ3≤=,当且仅当λ2=λ3=时取等号,此时P为EF的中点,
延长AP交BC于点D,则D为BC的中点,
则=4=2(+)=2+2,
所以+2+2=0,又+x+y=0,
所以x=y=2,
故当λ2λ3取得最大值时,x,y的值分别为2,2.
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