2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练6　空间几何体的外接球和内切球

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2025人教A版高中数学必修第二册
专题强化练6　空间几何体的外接球和内切球
1.(2023上海嘉定模拟)已知一个棱长为1的正方体,与该正方体每个面都相切的球的半径为R1,与该正方体每条棱都相切的球的半径为R2,过该正方体所有顶点的球的半径为R3,则下列关系正确的是(　　)
A.R1∶R2∶R3=∶∶2
B.R1+R2=R3
C.+=
D.+=
2.(2024广东广州期中)已知圆锥的底面圆周在球O的表面上,顶点为球心O,圆锥的高为3,且圆锥的侧面展开图是一个半圆,则球O的体积为(　　)
A.64π　　B.32π　　C.π　　D.4π
3.(2024安徽六安期中)在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,沿对角线AC将△ACD折起,使点D到达点P(P不在平面ABC内)的位置,连接BP,形成四面体P-ABC,则在折起的过程中,四面体P-ABC的外接球的体积为(　　)
A.π　　B.π　　C.π　　D.π
4.(2024皖豫名校联盟模拟)已知圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,其外接球球心O满足=3,则圆台O1O2的外接球体积与圆台O1O2的体积的比值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(多选题)(2024湖南郴州一中等学校联考)已知三棱锥P-ABC的所有棱长都是6,D,E分别是三棱锥P-ABC外接球和内切球上的点,则(　　)
A.三棱锥P-ABC的体积是18
B.三棱锥P-ABC内切球的半径是
C.DE长度的取值范围是[,2]
D.三棱锥P-ABC外接球的体积是27π
6.(2024江苏南通模拟)已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3,则该正四棱台内半径最大的球的表面积为(　　)
A.12π　　B.27π　　C.　　D.
7.(2024云南昆明期中)已知圆柱的两个底面的圆周都在表面积为24π的球面上,则该圆柱的侧面积的最大值为　　　　.
8.(2024江苏无锡期中)下图是某零件的结构模型,中间最大球为正四面体A-BCD的内切球,中等球与最大球和正四面体三个面均相切,最小球与中等球和正四面体三个面均相切,已知正四面体A-BCD的体积为8,则模型中最大球的体积为　　　　,模型中九个球的表面积之和为　　　　.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　空间几何体的外接球和内切球
解题模板　解决与球相关的切、接问题,其通法是作出截面,将空间几何问题转化为平面几何问题求解,其解题思路如下:
(1)定球心:如果是内切球,球心到切点的距离相等且为球的半径;如果是外接球,球心到接点的距离相等且为半径.
(2)作截面:选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素),达到空间问题平面化的目的.
(3)求半径,下结论:根据截面中的几何元素,建立关于球的半径的关系式,并求解.
1.C 2.B 3.C 4.B 5.ACD 6.D
1.C　与该正方体每个面都相切的球的直径为正方体的棱长,故R1=,
与该正方体每条棱都相切的球的直径为正方体的面对角线长,故R2==,
过该正方体所有顶点的球的直径为正方体的体对角线长,故R3==,
则R1∶R2∶R3=1∶∶,A错误;+=,故C正确,易知B,D错误.故选C.
2.B　设圆锥的底面半径为r,母线长为l,
由圆锥的侧面展开图是一个半圆得πl=2πr,所以l=2r.
由圆锥的高为3,得=3,即=3,解得l=2,
因此球O的半径R=l=2,球O的体积为R3=32π.故选B.
3.C　在原矩形ABCD中,BD=AC=5,设DB与AC交于点O,连接PO,如图,
则OA=OB=OC=OP=,
所以O为四面体P-ABC的外接球的球心,且外接球半径为,
则在折起的过程中,四面体P-ABC的外接球的体积为×π×=.故选C.
方法技巧　三角形三边垂直平分线的交点是三角形外接圆的圆心.同理,分别过多面体每个面的外接圆的圆心且与该面垂直的直线的交点是多面体的外接球球心.
4.B　设圆台O1O2的高为4h,则由题意得||=3||=3h,作出圆台的轴截面如图:
由圆台O1O2的上、下底面面积分别为4π,36π,得圆O1,O2的半径分别为2,6,
设外接球半径为R,由勾股定理得R2=4+9h2=36+h2,解得h=2,R=2,
故所求体积的比值为=.故选B.
5.ACD　如图,取BC的中点M,连接AM,PM,作P在底面ABC内的射影H,
则H在AM上,且AH=2HM=2,则PH==2,
故三棱锥P-ABC的体积V=××62×2=18,故A正确.
设三棱锥P-ABC内切球的半径为r,则VP-ABC=(S△PAB+S△PAC+S△PBC+S△ABC)·r=S△ABC·r,
所以r===,故B错误.
设三棱锥P-ABC外接球的半径为R,球心为O,
则R2=AH2+OH2,即R2=12+(2-R)2,
解得R=,则三棱锥P-ABC外接球的体积是π×=27π,
显然DE长度的取值范围是[,2],故C,D正确.
6.D　如图1所示,设O,O1分别为正方形ABCD,正方形A1B1C1D1的中心,连接OO1,BO,B1O1,过点O作OE⊥CD于点E,过点O1作O1E1⊥C1D1于点E1,连接EE1,则OO1为正四棱台的高,EE1为其斜高,
因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,8,侧棱长为3,
所以B1O1=,BO=4,OO1==3,
因为OO1=3>=5(5是以正四棱台侧棱中点为顶点的正方形的边长,即若球与棱台的上、下底面均相切,则球面超出了四棱台侧面),所以半径最大的球不与上、下底面同时相切.
易得EE1==6,则sin∠OEE1==,则∠OEE1=.
如图2,过O,E,E1,O1作正四棱台的截面,截面截球得大圆,则该圆与等腰梯形两腰和下底相切,设大圆圆心为O2,则∠O2EO=,
则OO2=OEtan =<=(球与四个侧面及下底面相切,且球面没有超出上底面),故最大内切球与四个侧面及下底面相切,
故该正四棱台内半径最大的球的半径为,其表面积为4π×=.故选D.
7.答案　12π
解析　如图,设球心为O,圆柱下底面圆心为C,B为下底面圆上一点,球的半径为R,圆柱的底面半径为r,母线长为l,
因为球的表面积为24π,所以4πR2=24π,解得R=,
因为圆柱的两个底面的圆周都在球面上,所以OC2+BC2=BO2,即+r2=R2=6,
又+r2≥2×r=lr,所以lr≤6,
当且仅当=r,即r=,l=2时等号成立,
所以圆柱的侧面积S=2πrl≤12π,故圆柱的侧面积的最大值为12π.
8.答案　;9π
解析　设正四面体的棱长为x,高为h,△BCD外接圆的半径为r,
则=2r,故r=x,所以h==x,
所以VA-BCD=S△BCD·h=×x2×sin 60°×x=8,解得x=2.
如图,取BC的中点E,连接DE,AE,
则CE=BE=,AE=DE==3,
取DE的三等分点F,且DF=2EF=2,连接AF,则正四面体的高为AF=x=4,
设最大球的球心为O,半径为R,中间球的球心为K,半径为b,最小球的球心为J,半径为a,三球均与直线AE相切,切点分别为M,G,H,连接OM,KG,JH,
易知Rt△AOM∽Rt△AEF,OF=OM=R,所以=,即=,解得R=1,
所以最大球的体积为πR3=π,且OM=OF=1,
则AO=4-1=3,sin∠EAF==,
则AJ=3HJ=3a,AK=3GK=3b,则JK=AK-AJ=3b-3a,
又JK=a+b,所以3b-3a=a+b,解得b=2a,
因为OK=AO-AK,所以R+b=3-3b,所以4b=3-R=2,解得b=,所以a=,
故模型中九个球的表面积和为4πR2+4πb2×4+4πa2×4=4π+4π+π=9π.
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