2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.1.1　向量的实际背景与概念 6.1.2　向量的几何表示 6.1.3　相等向量与共线向量

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2025人教A版高中数学必修第二册
第六章　平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
6.1.1　向量的实际背景与概念　　6.1.2　向量的几何表示
6.1.3　相等向量与共线向量
基础过关练
题组一　向量的概念及几何表示
1.给出下列物理量:①密度;②路程;③速度;④质量;⑤功;⑥位移.下列说法正确的是(　　)
A.①②③是数量,④⑤⑥是向量
B.②④⑥是数量,①③⑤是向量
C.①④是数量,②③⑤⑥是向量
D.①②④⑤是数量,③⑥是向量
2.(2024山东泰安宁阳第一中学开学考试)下列说法正确的个数是(　　)
(1)有共同起点,且长度相等的两个向量,它们的终点相同;
(2)零向量没有方向;
(3)向量的模一定是正数;
(4)与任意非零向量共线的单位向量是唯一的.
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
3.(2024广东佛山南海中学月考)下列说法错误的是(　　)
A.||=||
B.若e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2|
C.若||>||,则>
D.任一非零向量都可以平行移动
4.如图,已知正方形ABCD的边长为2,O为其中心,则||=　　　　.
5.中国象棋的半个棋盘如图所示,“马走日”是象棋中马的走法.此图中,马可以从A处跳到A1处,也可以跳到A2处,用向量或者表示马走了“一步”.请在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
6.(教材习题改编)如图所示的方格纸中每个小正方形的边长为1.
(1)画出下列向量:
①||=3,点A在点O的正西方向;
②||=3,点B在点O的北偏西45°方向;
(2)求||.
题组二　相等向量与共线向量
7.(2024广东湛江期中)下列命题正确的是(　　)
A.若a≠b,则|a|≠|b|
B.若|a|=|b|,则a=b
C.若a=b,b=c,则a=c
D.若a∥b,b∥c,则a∥c
8.(2024江苏南京师大附中期末)设点O是正三角形ABC的中心,则向量,,是(　　)
A.相等向量　　B.模相等的向量
C.共起点的向量　　D.共线向量
9.如图,在四边形ABCD中,AC与BD交于O,若∥,∥,则下列各组向量相等的是(　　)
A.与　　B.与
C.与　　D.与
10.(2024河南许平联考)已知四边形ABCD,下列说法正确的是(　　)
A.若||=||,且∥,则四边形ABCD为梯形
B.若||=||,则四边形ABCD为矩形
C.若∥,且||=||,则四边形ABCD为矩形
D.若=,则四边形ABCD为平行四边形
11.(多选题)已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系中正确的是(　　)
A.C A　　B.A∩B={a}
C.C B　　D.(A∩B) {a}
12.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=　　　　.
13.如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列关系中正确的是　　　　(填序号).
①||=||;②∥;③∥;④=.
14.(教材习题改编)已知O为正六边形ABCDEF的中心,在图中所标出的向量中:
(1)试找出与共线的向量;
(2)确定与相等的向量;
(3)与相等吗
答案与分层梯度式解析
第六章　平面向量及其应用
6.1　平面向量的概念
6.1.1　向量的实际背景与概念
6.1.2　向量的几何表示
6.1.3　相等向量与共线向量
基础过关练
1.D 2.A 3.C 7.C 8.B 9.C 10.D 11.AC
1.D　
2.A　对于(1),若两向量方向不同,则终点不同,(1)错误;
对于(2),零向量的方向是任意的,(2)错误;
对于(3),零向量的模为0,不是正数,(3)错误;
对于(4),与任意非零向量共线的单位向量有两个,它们的方向相反,(4)错误.
故选A.
3.C　对于A,因为=-,所以||=||,故A中说法正确;
对于B,由单位向量的定义知|e1|=|e2|=1,故B中说法正确;
对于C,向量不能比较大小,故C中说法错误;
对于D,非零向量可以自由移动,故D中说法正确.
故选C.
4.答案　
解析　由正方形ABCD的边长为2,得其对角线长为2,所以||=.
5.解析　如图所示.
6.解析　(1)①向量如图所示.
②向量如图所示.
(2)向量如图所示.易知∠BAO=90°,故||===3.
7.C　对于A,B,若a=-b,则a≠b,|a|=|b|,A,B错误;对于C,D,向量相等具有传递性,但平行不具有传递性(考虑b=0),C正确,D错误.故选C.
8.B　因为O是正三角形ABC的中心,所以||=||=||,所以向量,,是模相等的向量,但方向不同.故选B.
9.C　由∥,∥,可得四边形ABCD为平行四边形,则=,=,=,≠.故选C.
10.D　对于A,四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,A错误;
对于B,四边形ABCD的对角线相等不能保证四边形为矩形,B错误;
对于C,四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,C错误;
对于D,若=,则||=||且∥,则四边形ABCD为平行四边形,D正确.故选D.
11.AC　因为A∩B除了包含a,还包含与a长度相等且方向相反的向量,所以B,D中的关系错误.易知A,C正确.
12.答案　0
解析　由题意知与不共线,且m∥,m∥,所以m=0.(零向量的方向是任意的,它与任意向量平行,所以唯有零向量才能同时与两个不共线向量平行)
13.答案　①②
解析　∵四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,∴AB=EF,即||=||,①正确;
由题意知∥∥∥,②正确;
若∥,则BD∥EH,∴∠BDC=∠DEH,而当四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的正方形时,tan∠BDC=1,tan∠DEH=,∠BDC≠∠DEH,③错误;
易知||=||,∥,但,的方向不同,④错误.
故答案为①②.
14.解析　(1)与共线的向量有,.
(2)由于与长度相等且方向相同,所以=.
(3)显然∥,且||=||,但与的方向相反,所以这两个向量不相等.
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