2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.2.1　向量的加法运算 6.2.2　向量的减法运算

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算　　　　6.2.2　向量的减法运算
基础过关练
题组一　向量的加法运算
1.(2024河北石家庄第二十四中期末)化简:+(+)+=(　　)
A.　　B. C.　　D.
2.(教材习题改编)已知平面内作用于点O的三个力f1,f2,f3,且它们的合力为0,则三个力的分布图可能是(　　)
　　　　 　　　　　
3.(2024辽宁葫芦岛第一高级中学期末)已知等腰Rt△ABC的直角边长为1,E为斜边BC上一动点,则|+|的最小值为(　　)
A.　　B. C.1　　D.
4.如图所示,中心为O的正八边形A1A2…A7A8中,ai=(i=1,2,…,
7),bj=(j=1,2,…,8),则a2+a5+b2+b5+b7=　　　　.(结果用ai或bj表示)
5.如图,E,F,G,H分别是梯形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点,化简下列各式:
(1)++;
(2)+++.
6.(教材习题改编)一艘小船在静水中的航行速度的大小为20 m/min,一小河的水流速度的大小为10 m/min,如果船从河岸出发,沿垂直于水流的航线到达对岸需3 h,求小船的实际航行速度和航程.
题组二　向量的减法运算
7.(2024北京顺义月考)化简:+-=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2023湖北黄冈期中)如图,在正八边形ABCDEFGH中,O为正八边形的中心,则-=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2024江苏南通期中)在△ABC中,O为BC的中点,记=m,=n,则=(　　)
A.-m-n　　B.-m+n　　C.m-n　　D.m+n
10.已知||=a,||=b(a>b),||的取值范围是[5,15],则a=　　　　,b=　　　　.
题组三　向量加、减法的综合运算及应用
11.(2024四川绵阳月考)下列运算结果不正确的是(　　)
A.++=0　　B.--=0
C.-+=0　　D.-+-=0
12.(教材习题改编)已知a,b为非零向量,则下列说法错误的是(　　)
A.若|a|+|b|=|a+b|,则a与b方向相同
B.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b方向相反
C.若|a|+|b|=|a-b|,则a与b的模相等
D.若||a|-|b||=|a-b|,则a与b方向相同
13.(2024辽宁抚顺月考)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是△ABC所在平面内任意一点,则-+=　　　　.
14.(2023浙江杭州期中)如图,在平面直角坐标系Oxy中,两个非零向量,与x轴的非负半轴的夹角分别为和,向量满足++=0,则与x轴的非负半轴的夹角的取值范围是　　　　.
15.(2023河南南阳阶段练习)如图所示,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB和BC的中点,G为AC与BD的交点.
(1)若||=|++|,则四边形ABCD是什么特殊的平行四边形
(2)化简--,并在图中作出化简后的向量.
答案与分层梯度式解析
6.2　平面向量的运算
6.2.1　向量的加法运算
6.2.2　向量的减法运算
基础过关练
1.B 2.D 3.A 7.A 8.B 9.A 11.B 12.C
1.B　+(+)+=+++=.故选B.
2.D　因为f1+f2+f3=0,所以f1+f2=-f3,所以f1与f2的合力的方向与f3的方向相反,长度相等,由向量加法的平行四边形法则可知D正确.故选D.
3.A　易得|+|=||,显然当E为斜边BC的中点时,AE最短,此时AE⊥BC,AE==,即|+|的最小值为.故选A.
4.答案　b6(或-b2)
解析　由题可知,a2+a5+b2+b5+b7
=++++
=(+)+(+)+
=++
=++==b6(或-b2).
5.解析　(1)++=++
=++=+=.
(2)+++=+++=++=+=0.
6.解析　如图,设水流的速度为,小船航行的速度为,以OA,OB为邻边作 AOBC,则表示船实际航行的速度,
由题意可得||=10,||=20,OC⊥OA,
则||==10,
所以船的实际航行速度的大小为10 m/min,方向与水流速度方向间的夹角为90°,
故该船的实际航程是10×3×60=1 800(m).
7.A　+-=-=.故选A.
8.B　-=-=.故选B.
9.A　=+=--=-m-n,故选A.
10.答案　10;5
解析　因为a-b=||-||≤|-|=||≤||+||=a+b,
所以解得
11.B　对于A,++=+=0,故该选项运算结果正确;
对于B,--=-(+)=-=2,故该选项运算结果错误;
对于C,-+=+-=-=0,故该选项运算结果正确;
对于D,-+-=+-(+)=-=0,故该选项运算结果正确.故选B.
12.C　由向量三角不等式可知,当且仅当非零向量a,b同向时,有|a|+|b|=|a+b|,||a|-|b||=|a-b|,故A,D中说法正确;当且仅当非零向量a,b反向时,有|a+b|=||a|-|b||,|a|+|b|=|a-b|,故B中说法正确,C中说法错误.故选C.
13.答案　0
解析　-+=+-=-.
因为D是BC边的中点,所以=.所以-+=0.
14.答案　
解析　由题意得=--=-(+).如图,以OA,OB为邻边作平行四边形OADB,连接OD,则由向量加法的几何意义得=-,所以与x轴的非负半轴的夹角的取值介于-和-与x轴的非负半轴的夹角之间.由题意得,-,-与x轴的非负半轴的夹角分别为和,故与x轴的非负半轴的夹角的取值范围为.
15.解析　(1)||=|++|=||,故平行四边形ABCD是菱形.
(2)因为E为AB的中点,所以=.又F为BC的中点,所以由三角形中位线定理知EF∥AC,EF=AC,故=.所以--=--=-(+)=-=.作出向量,如图所示.
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