2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.2.3　向量的数乘运算

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.2.3　向量的数乘运算
基础过关练
题组一　向量的数乘运算
1.若a=-b(b≠0),则(　　)
A.a和b方向相同,|a|=2|b|
B.a和b方向相同,|b|=2|a|
C.a和b方向相反,|a|=2|b|
D.a和b方向相反,|b|=2|a|
2.已知λ∈R,则下列命题正确的是(　　)
A.|λa|=λ|a|　　B.|λa|=|λ|a C.|λa|=|λ||a|　　D.|λa|>0
3.(多选题)(教材习题改编)如图,若P,Q两点把线段AB三等分,则下列关系中正确的是(　　)
A.=　　B.= C.=-　　D.=
4.(2024重庆南开中学阶段测试)已知向量a,b满足|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ的值是　　　　.
题组二　向量的线性运算
5.(2024湖南岳阳平江多校联考)已知向量a,b,则2(a+b)-(a-b)=(　　)
A.a+b　　B.a-b C.3a+b　　D.a+3b
6.(2024北京朝阳期中)已知平面内四个不同的点A,B,C,D满足=2-2,则=(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.3
7.(多选题)(2024陕西西安中学模拟)已知点P是△ABC的重心,则=(　　)
A.+　　B.+ C.-　　D.+
8.(多选题)(2024辽宁丹东期末)在△ABC中,D在边AB上,=2,E是CD的中点,则(　　)
A.=-　　B.=+
C.=+　　D.=2-3
9.(2024辽宁沈阳外国语学校月考)在梯形ABCD中,=4,+=x+y,则x-y=　　　　.
10.(2024山东莱州第一中学收心考试)如图所示,在平行四边形AOBD中,C为AB与OD的交点,设向量=a,=b,且=,=,用a,b表示,,.
题组三　向量共线定理及其应用
11.(2024安徽阜阳月考)给出下列命题:
①若两个向量相等,则表示它们的有向线段的起点和终点都相同;
②若a与b共线,b与c共线,则a与c也共线;
③若与共线,则A,B,C三点共线;
④a与b是非零向量,若a与b同向,则a与-b反向;
⑤已知λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中真命题的序号为(　　)
A.③④　　B.②③　　C.②④　　D.④⑤
12.(教材习题改编)已知a,b是两个不共线的向量,在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是(　　)
A.矩形　　B.非特殊平行四边形 C.梯形　　D.以上都不对
13.(2024辽宁县级重点高中协作体期末)已知a与b为不共线的向量,=a+b,=2a-b,=λa+μb(λ,μ∈R),若A,B,C三点共线,则2λ+μ=(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
14.(2023重庆部分学校大联考)已知向量m,n不共线,且=3m-2n,=m-3n,=2m+λn.
(1)用m,n表示;
(2)若∥,求实数λ的值.
15.(2024浙江杭州四中期末)设a,b是两个不共线的向量.
(1)若=4a-2b,=6a+2b,=2a-6b,求证:A,B,C三点共线;
(2)若4a+kb与ka+b共线,求实数k的值.
能力提升练
题组一　向量的线性运算
1.(多选题)(2024黑龙江龙东五地市期中)如图,四边形ABCD为梯形,AB∥CD,AB=2CD,M,N分别为AB,CD的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.=+　　B.=+
C.=-　　D.=+
2.(2024江西丰城中学段考)如图,A,B,C三点在半径为1的圆O上运动,且AC⊥BC,M是圆O外一点,OM=2,则|++2|的最大值是(　　)
A.5　　B.8　　C.10　　D.12
3.(2024福建泉州月考)正五角星是一个非常优美的几何图形,且与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以A,B,C,D,E为顶点的多边形为正五边形,且=.下列关系中正确的是(　　)
A.-=
B.+=
C.-=
D.+=
题组二　向量共线定理及其应用
4.(多选题)(2023山东泰安阶段练习)已知P为△ABC所在平面内一点,且+2+3=0,若E为AC的中点,F为BC的中点,则下列结论正确的是(　　)
A.向量与可能平行
B.点P在线段EF的延长线上
C.点P在线段EF上
D.PE∶PF=2∶1
5.(2024黑龙江双鸭山一中月考)如图,在△ABC中,=,E为线段AD上不含端点的动点,且=x+y,则+的最小值为(　　)
A.8　　B.12　　C.32　　D.16
6.设P为△ABC所在平面内一点,且满足3+4=m(m>0).若△ABP的面积为8,则△ABC的面积为　　　　.
7.如图,点C和点B关于点A对称,点D是线段OB上靠近点B的三等分点,设=a,=b.
(1)用向量a与b表示向量,;
(2)若=,求证:C,D,E三点共线.
答案与分层梯度式解析
6.2.3　向量的数乘运算
基础过关练
1.D 2.C 3.ABC 5.D 6.D 7.CD 8.BCD 11.A
12.C 13.D
1.D　∵a=-b(b≠0),-<0,∴a和b方向相反,且|a|==|b|,∴|b|=2|a|.故选D.
2.C　当λ<0时,|λa|=λ|a|不成立,故A错误;|λa|是一个非负实数,而|λ|a是一个向量,故B错误;当λ=0或a=0时,|λa|=0,故D错误.故选C.
3.ABC　由题图可知,与方向相同,且||=||,||=||,故=,=,故A,B正确;
,方向相反,且||=||,故=-,故C正确;
,大小相等,方向相反,故=-,故D错误.
故选ABC.
4.答案　±
解析　由a=λb得|a|=|λb|=|λ||b|,因为|a|=3,|b|=5,所以|λ|=,即λ=±.
5.D　2(a+b)-(a-b)=2a+2b-a+b=a+3b.故选D.
6.D　∵=2-2,∴+=2(+)-2,即3=,∴3||=||,∴=3.故选D.
7.CD　设BC的中点为D,连接AD,因为点P是△ABC的重心,所以==×(+)=+=+(+)=+=(+)+=-.故选CD.
8.BCD　对于A,=-,故A错误;
对于B,=+=+=+(-)=+,故B正确;
对于C,=+=+=++=+,故C正确;
对于D,=-=-3=-3(-)=2-3,故D正确.
故选BCD.
9.答案　6
解析　易得+=++4=-5,
又+=x+y,所以x=1,y=-5,所以x-y=1-(-5)=6.
10.解析　∵=-=a-b,
∴=+=+=+=b+(a-b)=a+b.
∵=a+b,∴=+=+=+==a+b,
∴=-=a+b-a-b=a-b.
11.A　对于①,在 ABCD中,=,但是它们的起点、终点均不相同,故①错误;
对于②,若b=0,则a与c不一定共线,故②错误;
对于③,因为与共线,且有公共点B,所以A,B,C三点共线,故③正确;
易知④正确;
对于⑤,若λ=μ=0,则λa=μb=0,但a与b不一定共线,故⑤错误.
故选A.
12.C　由题意可得=++=-8a-2b,则=2,故与共线,且||=2||,∴四边形ABCD是梯形.故选C.
13.D　∵A,B,C三点共线,∴,共线,故设=k(k≠0),
由题意得=-=a-2b,
=-=(λ-2)a+(μ+1)b,
则a-2b=k(λ-2)a+k(μ+1)·b,
即[1-k(λ-2)]a=[k(μ+1)+2]b,
∴则λ-2=,故2λ+μ=3,
故选D.
14.解析　(1)=-=m-3n-(3m-2n)=-2m-n.
(2)因为∥,所以 t∈R,使得=t,
即3m-2n=t(2m+λn),所以(3-2t)m=(tλ+2)n,
又m,n不共线,所以解得
故λ的值为-.
15.解析　(1)证明:由题意得=-=6a+2b-(4a-2b)=2a+4b,
=-=2a-6b-(6a+2b)=-4a-8b=-2,
所以∥,又,有公共点B,
所以A,B,C三点共线.
(2)因为4a+kb与ka+b共线,
所以存在实数λ,使得4a+kb=λ,
即a=b,
又a,b是两个不共线的向量,
所以解得或
故实数k的值是±4.
能力提升练
1.AC 2.C 3.A 4.CD 5.C
1.AC　=+=+,故A正确;
=+=+=(+)+=+,故B错误;
=++=-++=-,故C正确;
=++=-++=-,故D错误.故选AC.
2.C　连接AB,CO,如图所示,
因为AC⊥BC,所以AB为圆O的直径,故O为AB的中点,所以+=2,
所以|++2|=|2+2(+)|=|4+2|≤4||+2||=
4×2+2×1=10,
当且仅当M,O,C三点共线且,同向时,等号成立,
因此|++2|的最大值是10.故选C.
3.A　-=-==,故A正确;
+=+==,故B错误;
-=-==,故C错误;
+=+,==-,若+=,则=0,不合题意,故D错误.故选A.
4.CD　因为P为△ABC所在平面内一点,E为AC的中点,F为BC的中点,
所以+=2,+=2,
又+2+3=0即(+)+2(+)=0,
所以2+4=0,即=2,所以点P在线段EF上,且PE∶PF=2∶1,故B错误,C,D正确;
易知P,A,C三点不共线,则向量与不可能平行,故A错误.故选CD.
5.C　因为=,所以=,
因为=x+y,所以=x+3y,
由题意知 λ∈(0,1),使=λ,
即-=λ(-),即=λ+(1-λ),
所以x+3y=λ+(1-λ),
即(3y-λ)=(1-λ-x),
又,不共线,
所以即x+3y=1,x>0,y>0,
所以+=·(x+3y)=20++≥20+2=20+12=32,
当且仅当=,即x=y=时取等号,
所以+的最小值是32.故选C.
6.答案　14
解析　由3+4=m,可得+=,
令=+,则=,且-=-,即3=4,则PH∥AB,H在线段AC上,且=,所以S△ABP=S△ABH,=,
所以S△ABC=S△ABH=S△ABP=14.
7.解析　(1)由题可得==a,
又=b,∴=+=-b-a,
=+=2+=2+(+)
=2a+(-a+b)=a+b.
(2)证明:∵=-=-b+a+b=a+b=,∴与平行,
又∵与有公共点C,∴C,D,E三点共线.
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