2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.2.4　向量的数量积

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.2.4　向量的数量积
基础过关练
题组一　向量的数量积
1.给出下列五个命题:
①|a|2=a2;
②=;
③(a·b)2=a2·b2;
④(a-b)2=a2-2a·b+b2;
⑤若a·b=0,则a=0或b=0.
其中正确命题的序号是(　　)
A.①②③　　B.①④ C.②④　　D.②⑤
2.(2024四川绵阳阶段检测)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=5,且a与b夹角的余弦值为,则(a+2b)·(2a-b)=(　　)
A.36　　B.-36　　C.32　　D.-32
3.(2024陕西咸阳模拟)已知在边长为1的菱形ABCD中,点E为线段CD的中点,则·=(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
题组二　向量的投影向量
4.(2024湖北宜昌、荆州、荆门、恩施四地联考)若向量a,b满足|a|=4,|b|=3,且(2a-3b)·(2a+b)=61,则a在b上的投影向量为(　　)
A.-b　　B.-b　　C.b　　D.-b
5.(教材习题改编)已知O是△ABC的外心,且满足2=+,||=3||,则在上的投影向量为(　　)
A.　　B. C.　　D.
6.(2024江苏盐城五校联考)已知b为一个单位向量,a与b的夹角是120°,若a在b上的投影向量为-2b,则|a|=　　　　.
7.下图是由四个边长为1的正方形拼成的一个大正方形,AB是大正方形的一条边,Pi(i=1,2,…,7)是小正方形的各个顶点,则·(i=1,2,…,7)的不同值的个数为　　　　.
题组三　向量的模和夹角
8.(教材习题改编)已知向量a,b满足|2a+b|=2,|a|=1,|b|=2,则向量a与b的夹角为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(多选题)(2024江苏无锡辅仁高级中学开学考试)已知e1,e2是夹角为的单位向量,且a=e1-2e2,b=e1+e2,则(　　)
A.|a|=　　
B.a·b=-
C.a与b的夹角为　　
D.a在b上的投影向量为-b
10.如图,在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,E为边CD的中点,=,若·=-3,则cos∠DAB=　　　　.
11.(2024福建长汀第二中学月考)已知平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,(a+2b)·(2a-b)=-3.
(1)求|a-b|;
(2)若向量b与λa+b的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.
题组四　向量的垂直
12.(2024湖南长沙雅礼中学模拟)已知向量a=,b=(log38,m),若a⊥b,则实数m=(　　)
A.-2　　B.-　　C.2　　D.3
13.(教材习题改编)已知向量a,b满足|a|=5,|b|=4,a与b的夹角为120°,若(ka-2b)⊥(a+b),则实数k=(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.2
14.(2024上海实验中学月考)已知非零向量a,b满足|b|2=3|a|2,且a⊥(3a+2b),则向量a与b的夹角为　　　　.
15.已知向量a,b,c满足a+b+c=0,(a-b)⊥c,a⊥b,若|a|=1,则|a|2+|b|2+|c|2的值是　　　　.
16.(2024江苏无锡联考)已知O为坐标原点,e1,e2是两个夹角为60°的单位向量,=2e1+e2,=-3e1+2e2.
(1)求||;
(2)求与的夹角;
(3)设=te1,若△ABC是以AC为斜边的直角三角形,求实数t的值.
能力提升练
题组一　向量的数量积运算
1.(多选题)设向量a在向量b上的投影向量为m,则下列等式一定成立的是(　　)
A.m=·b　　B.m=·b C.m·b=a·b　　D.m·a=b·a
2.(2024黑龙江齐齐哈尔模拟)C60是一种由60个碳原子构成的分子,形似足球,又名足球烯,其分子结构由12个正五边形和20个正六边形组成.如图,将足球烯上的一个正六边形和相邻正五边形展开放平,若正多边形的边长为1,A,B,C为正多边形的顶点,则·=(　　)
A.1　　B.2　　C.3　　D.4
3.(2024江苏南京第一中学月考)骑自行车是一种环保又健康的运动方式,下图是某自行车的平面结构示意图,已知圆A(前轮),圆D(后轮)的半径均为,△ABE,△BEC,△ECD均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点,则在骑该自行车的过程中,·的最大值为(　　)
A.50　　B.48　　C.60　　D.72
4.(2024河北石家庄二中一调)如图,在△ABC中,AB=2,AC=1,
∠BAC=,O是△ABC的外心,若=x+y,则x=　　　　.
题组二　向量的夹角和模
5.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024北京延庆期末)已知等边△ABC的边长为6,D在AC上且AD=2DC,E为线段AB上的动点,则|+|的取值范围为(　　)
A.[2,4]　　B.[2,2]
C.[4,2]　　D.[4,6]
7.(多选题)(2023浙江高中联盟期中)设e1,e2均为单位向量,且对任意的实数t有≤|e1+te2|恒成立,则(　　)
A.e1与e2的夹角为
B.=
C.|e2-te1|的最小值为
D.|e2+t(e1-e2)|的最小值为
8.已知O为坐标原点,向量,,(点A,B,C不重合)满足||=||=||=1,(-)·(-)=0,若平面内一点P满足||=4,则|++|的取值范围是　　　　.
题组三　数量积的综合应用
9.(2023四川自贡期末)如图,在正方形ABCD中,E是BC的中点,点F在CD边上运动.
(1)若点F是CD上靠近C的三等分点,=λ+μ,求λ+μ的值;
(2)若AB=2,当·=1时,求cos∠EAF的值.
10.(2024江苏常州联盟学校月考)在直角梯形ABCD中,已知=2,AD⊥AB,||=||=1,动点E,F分别在线段DC和BC上,且=λ,=(1-λ).
(1)当λ=时,求·的值;
(2)求向量与的夹角;
(3)求的取值范围.
答案与分层梯度式解析
6.2.4　向量的数量积
基础过关练
1.B 2.B 3.C 4.D 5.C 8.B 9.ABD 12.C
13.A
1.B　
2.B　设a与b的夹角为θ,则cos θ=,故(a+2b)·(2a-b)=2|a|2+3|a||b|cos θ-2|b|2=2×4+3×2×5×-2×25=-36.故选B.
3.C　·=·=||2-=-1=-.故选C.
4.D　由|a|=4,|b|=3,可得(2a-3b)·(2a+b)=4a2-4a·b-3b2=37-4a·b=61,所以a·b=-6,则a在b上的投影向量为·=×b=-b.故选D.
5.C　设BC的中点为M,则+=2,所以=,所以外心O与点M重合,故△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
设||=3x,x>0,则||=x,所以||=x,cos B=,
设e为方向上的单位向量,则e=,
故在上的投影向量为||cos Be=3x··=.故选C.
6.答案　4
解析　由题意得|b|=1,则a·b=|a|·|b|cos 120°=-|a|,因为a在b上的投影向量为-2b,所以·b=-2b,所以=-2,即a·b=-2,所以-|a|=-2,则|a|=4.
7.答案　3
解析　·=||||cos<,>,
结合题图可知,||cos<,>表示(i=1,2,…,7)在上的投影向量的长度,
(i=2,5)在上的投影向量相同,
(i=1,3,6)在上的投影向量相同,
(i=4,7)在上的投影向量相同,
所以·的不同值有3个.
8.B　由|2a+b|=2,得|2a+b|2=4a2+b2+4a·b=12,
又|a|=1,|b|=2,所以a·b=1,
设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π],则a·b=|a||b|cos θ=1×2cos θ=1,
所以cos θ=,故θ=.故选B.
9.ABD　由题得e1·e2=1×1×cos =-,所以|a|===,A正确;
a·b=(e1-2e2)·(e1+e2)=-e1·e2-2=-,B正确;
设a与b的夹角为θ,易得|b|===1,所以cos θ===-,C错误;
a在b上的投影向量为|a|cos θ·=×b=-b,D正确.故选ABD.
10.答案　
解析　∵=,∴=,∴=+=-+.
∵=+=+,
∴·=·
=-·-=×32-×4×3×cos∠DAB-×42=-3,
∴cos∠DAB=.
11.解析　(1)由(a+2b)·(2a-b)=2a2-a·b+4a·b-2b2=3a·b-6=-3,得a·b=1,则|a-b|====.
(2)因为b与λa+b的夹角为锐角,所以b·(λa+b)>0,且b与λa+b不共线,即λ+4>0,且λ≠0,解得λ>-4且λ≠0,
故λ的取值范围为(-4,0)∪(0,+∞).
解题模板　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0且a≠λb(λ∈R),若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0且a≠λb(λ∈R),注意结果要排除两向量共线的情况.
12.C　因为a⊥b,所以a·b=0,即log23×log38+msin =0,所以3-m=0,解得m=2.故选C.
13.A　a·b=|a||b|cos 120°=5×4×=-10.
因为(ka-2b)⊥(a+b),所以(ka-2b)·(a+b)=ka2-2b2+(k-2)a·b=25k-2×16-10(k-2)=15k-12=0,解得k=.故选A.
14.答案　
解析　因为a⊥(3a+2b),所以a·(3a+2b)=3|a|2+2a·b=0,所以a·b=-|a|2.因为|b|2=3|a|2,所以|b|=|a|,
设a与b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则cos θ===-,所以θ=.
15.答案　4
解析　如图,令=a,=b,以AD,AB为邻边作平行四边形ABCD,连接AC,BD,
由a⊥b,可得AD⊥AB,∴四边形ABCD为矩形.
∵a+b+c=0,∴c=-(a+b)=.
∵(a-b)⊥c,=a-b,∴CA⊥BD,
∴四边形ABCD为正方形.
∴|a|=|b|=1,|c|=,∴|a|2+|b|2+|c|2=4.
16.解析　(1)=-=-5e1+e2,
因为|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1||e2|cos 60°=,
所以||===.
(2)·=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6+2+e1·e2=-,
||===,
||===,
所以cos<,>==-,又<,>∈[0,π],所以<,>=.
(3)由题意可知⊥,由(1)知=-5e1+e2,
又=-=(t+3)e1-2e2,所以·=(-5e1+e2)·[(t+3)e1-2e2]=-5(t+3)-2+(t+13)e1·e2=0,即-5(t+3)-2+(t+13)=0,解得t=-.
能力提升练
1.BC 2.B 3.C 5.B 6.B 7.BD
1.BC　设向量a与b的夹角为θ,
则a在b上的投影向量为|a|cos θ·,
故m=|a|cos θ·=|a|··=·b,故A错误,B正确;
m·b=·b·b=·|b|2=a·b,故C正确,D错误.故选BC.
2.B　连接BC,由对称性可知BA=BC,取AC的中点H,连接BH,则AC⊥BH,AH=AC,
因为正六边形的边长为1,所以AC=2,所以·=||·||cos∠BAC=||·||=2,故选B.
方法技巧　若已知向量b的模及a在b上的投影向量c的模,则可根据a·b=|b|·|c|求数量积,这种方法避免了求a与b的夹角.
3.C　连接AC,在△ACE中,AE=CE=4,∠AEC=120°,
则∠CAE=∠ACE=30°,AC=4,由题得AD=8,
则·=·(+)=·+·
=||||cos 30°+||||cos<,>
=4×8×+4×cos<,>
=48+12cos<,>,
易知<,>∈[0,π],所以cos<,>∈[-1,1],所以·∈[36,60],
所以·的最大值为60.故选C.
4.答案　
解析　设圆O的半径为r,过O作OD⊥AB,OE⊥AC,垂足分别为D,E,则AD=AB=1,AE=AC=.
因为=x+y,所以·=x+y·,
与的夹角为∠OAD,且cos∠OAD==,
则r×2×=4x+y×1×2×,即4x-y=2①.
·=x·+y,cos∠OAC=,
则r×1×=x×2×1×+y,即-x+y=②,
联立①②,可得x=,y=.
5.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,
则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,
又c=-a-b,
所以(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=,
易知|a-b|===,
所以cos===.
故选B.
6.B　设=a,=b,则|a|=|b|=6,a·b=6×6×cos 60°=18,
设AE=λAB(0≤λ≤1),则=λ=λa,
因为AD=2DC,所以==b,
则=-=b-a,所以+=(λ-1)a+b,
则==(λ-1)2a2+(λ-1)a·b+b2=36(λ-1)2+24(λ-1)+16=4(3λ-2)2+12,
所以当λ=时,取得最小值,为12,当λ=0时,取得最大值,为28,
所以|+|的取值范围为[2,2].故选B.
7.BD　设e1与e2的夹角为θ,≤|e1+te2|两边平方,可得+cos θ≤t2+2tcos θ+1,即t2+2tcos θ--cos θ≥0①,由题知,不等式①对任意的实数t都成立,
所以4cos2θ+4cos θ+1≤0,即(2cos θ+1)2≤0,
则cos θ=-,又θ∈[0,π],所以θ=,故A错误;
====,故B正确;
|e2-te1|==
=≥,当且仅当t=-时取等号,故C错误;
|e2+t(e1-e2)|=
==≥,当且仅当t=时取等号,故|e2+t(e1-e2)|的最小值为,故D正确.
故选BD.
8.答案　[11,13]
解析　因为||=||=||=1,
所以A,B,C三点在以O为圆心,1为半径的圆上,
因为(-)·(-)=0,
所以·=0,所以BA⊥CB,
所以AC是圆O的直径,所以=-,
所以|++|=|-+-+-|=|-3|,
设与的夹角为θ,θ∈[0,π],
则|-3|=
=
==,
因为θ∈[0,π],所以cos θ∈[-1,1],
所以145-24cos θ∈[121,169],
所以|-3|∈[11,13],
即|++|的取值范围是[11,13].
9.解析　(1)∵E是BC的中点,点F是CD上靠近C的三等分点,
∴==,=-=-,
∴=+=-,
又=λ+μ,∴=,
又,不共线,∴λ+=-μ=0,
∴λ=-,μ=,故λ+μ=-+=.
(2)设=m(0≤m≤1),则=+=-m,
又=+=+,·=0,
∴·=·(-m)
=-m+=-4m+2=1,故m=.
∴·=·
=+=3+2=5,
易得||=,||=,
∴cos∠EAF===.
10.解析　(1)当λ=时,=,=.
由题知=,所以=+=+,
则=-=-.
所以=+=+=+=(+),
又=+=+=+,
所以=-=-+.
因此·=·=-++·.
因为=2,||=1,AD⊥AB,
所以||=2,·=0,
所以·=.
(2)由(1)知=-.
因为=λ,=(1-λ),
所以=+=+(1-λ)=+,
=+=+λ=+λ=λ+.
则=-=(λ-1)+.
因为||=2,||=1,·=0,
所以·=(λ-1)+=λ-1+1-λ=0,所以⊥,故向量与的夹角为90°.
(3)由(2)可知=+,=λ+,
所以+=+用已知长度和夹角的,表示出+.
因为||=2,||=1,·=0,
所以=+
=+×4=λ2-5λ+5=(λ-1)2+(利用模长计算公式转化为关于λ的一元二次函数),
由题意知λ∈[0,1],
所以的取值范围是,
故的取值范围是.
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