2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.3.1　平面向量基本定理

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
基础过关练
题组一　对平面向量基本定理的理解
1.(2023陕西西安期中){e1,e2}是平面内的一个基底,下面说法正确的是(　　)
A.若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0
B.空间内任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2(λ1,λ2为实数)
C.λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)不一定在该平面内
D.对平面内任一向量a,使a=λ1e1+λ2e2的实数λ1,λ2有无数对
2.(2024广东深圳月考)如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,则下列向量中可构成平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.,　　B.,　　
C.,　　D.,
3.(多选题)(2024福建三明第一中学月考)若{e1,e2}是平面内的一个基底,则下列四组向量中不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.e1-e2,e2-e1　　B.2e1-e2,e1-e2
C.2e1-3e2,6e2-4e1　　D.e1+e2,e1+3e2
题组二　用基底表示向量
4.(2024福建泉州实验中学月考)在平行四边形ABCD中,=a,=b,=,=,则=(　　)
A.a-b　　B.-a-b
C.-a+b　　D.a+b
5.(2024广东东莞外国语学校段考)在△ABC中,D是边BC上一点,且BD=2DC,E是AC的中点,记=m,=n,则=(　　)
A.n-3m　　B.n-3m　　
C.m-3n　　D.m-3n
6.(2024江苏扬州学情调研)在长方形ABCD中,E为边DC的中点,F为边BC上一点,且=,设=a,=b.
(1)试用基底{a,b}表示,,;
(2)若G为长方形ABCD所在平面内一点,且=a-b,求证:E,G,F三点不能构成三角形的三个顶点.
题组三　分点恒等式
7.(教材习题改编)在△ABC中,点D在边BC上,且=5,则=(　　)
A.+　　B.+　　
C.+　　D.+
8.(2023福建泉州期中)在△ABC中,D为AC边的中点,E为线段BD上一点,且满足=-3,若=λ+μ,则+μ=(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
9.在梯形ABCD中,AD∥BC,=3,=3,且=λ+μ,则λμ的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
题组四　平面向量基本定理的应用
10.(2024湘豫名校联考)在平行四边形ABCD中,=,F为CD的中点,G为EF的中点,若=λ+μ,λ∈R,μ∈R,则(　　)
A.λ=,μ=　　B.λ=,μ=
C.λ=,μ=　　D.λ=,μ=
11.(2024河北定州中学月考)如图,在△ABC中,D是BC的中点,G是AD的中点,过点G作直线分别交AB,AC于点M,N,且=x,=y(x,y∈R),则+的最小值为　(　　)
A.1　　B.2　　C.4　　D.
12.(2024天津第五中学月考)如图,在△ABC中,M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,设=a,=b,则=　　　　;=　　　　.(用a和b表示)
13.(2023湖南师大附中阶段练习)如图,在平行四边形ABCD中,AP⊥BD,垂足为P,AC交BD于点O.
(1)若·=8,求AP的长;
(2)若||=6,||=8,∠BAC=,=x+y(x,y∈R),求y-x的值.
能力提升练
题组　平面向量基本定理的应用
1.(2023江苏徐州模拟)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AE=3ED,DF=FC,AF与BE相交于点G,记=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　B.a+b
C.a+b　　D.a+b
2.(2023山东新高考联合质量测评)若点G是△ABC所在平面上一点,且++=0,H是直线BG上一点,=x+y(x,y∈R),则x2+4y2的最小值是(　　)
A.2　　B.1　　C.　　D.
3.(2024陕西咸阳实验中学月考)如图所示,O为线段A0A2 025外一点,若A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,=a,=b,则+++…+=(　　)
A.2 025(a+b)　　B.2 026(a+b)　　
C.1 012(a+b)　　D.1 013(a+b)
4.(2024内蒙古包头模拟)如图,在菱形ABCD中,AB=4,∠ABC=60°,
E,F分别为AB,BC上的点,=3,=3.若线段EF上存在一点M,使得=+x(x∈R),则·=(　　)
A.2　　B.4　　C.6　　D.8
5.(2024重庆巴南部分学校阶段检测)在矩形ABCD中,已知E,F分别是BC,CD上的点,且满足=,=2.若点P在线段BD上运动,且=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的取值范围为(　　)
A.　　B.　　
C.　　D.
6.(2024辽宁部分高中期末)如图,在△ABC中,点P满足=2,O是线段AP的中点,过点O的直线与边AB,AC分别交于点E,F.
(1)若=,求的值;
(2)若=λ(λ>0),=μ(μ>0),求+的最小值.
答案与分层梯度式解析
6.3　平面向量基本定理及坐标表示
6.3.1　平面向量基本定理
基础过关练
1.A 2.B 3.ABC 4.D 5.D 7.A 8.B 9.D
10.D 11.A
1.A　由基底的定义可知,e1和e2是平面内不共线的两个向量,所以若存在实数λ1,λ2使λ1e1+λ2e2=0,则λ1=λ2=0,A正确;易知平面内的任一向量a都可以表示为a=λ1e1+λ2e2,其中实数λ1,λ2有且只有一对,B、D错误;λ1e1+λ2e2(λ1,λ2≠0)一定在该平面内,C错误.故选A.
2.B　由基底的概念可知,构成基底的一组向量不能共线.由题图可知,与共线,与共线,与共线,与不共线,故选B.
3.ABC　对于A,e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1共线,不能作为基底,故A符合题意;
对于B,2e1-e2=2,则2e1-e2与e1-e2共线,不能作为基底,故B符合题意;
对于C,2e1-3e2=-(6e2-4e1),则2e1-3e2与6e2-4e1共线,不能作为基底,故C符合题意;
对于D,若e1+e2与e1+3e2共线,则存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1+3e2),则无解,故两向量不共线,可以作为基底,故D不符合题意.故选ABC.
4.D　由题可得M为BC中点,又==,所以=++=+-=+=a+b,故选D.
5.D　=-=-(+)=--3=--3(-)=-3=m-3n,故选D.
6.解析　(1)=+=+=+=a+b,=+=+=+=a+b,
=-=-=a-b.
(2)证明:=-=-=a-b,∴=2,∴∥,
又与有公共点E,∴E,G,F三点共线,
∴E,G,F三点不能构成三角形的三个顶点.
7.A　由=5可得BD∶DC=5∶1,利用分点恒等式,可得=+.故选A.
记忆结论　分点恒等式:在△ABC中,D是BC上的点(不包含端点),若BD∶CD=m∶n,则=+.
8.B　如图所示,
由=-3得BE∶ED=2∶1,∴=+,
∵D是AC的中点,∴=,∴=+.
又=λ+μ,,不共线,
∴λ=,μ=,∴+μ=.
9.D　由题意得AH∶HF=3∶1,∴=+,
由=3,可得=, ∴=+,
又=λ+μ,,不共线,∴λ=,μ=,
∴λμ=×=.故选D.
一题多解　由题意得=+=+=+(-)=+=+,由=λ+μ,结合平面向量基本定理可知λ=,μ=,∴λμ=×=.故选D.
10.D　解法一:因为F为CD的中点,G为EF的中点,
所以==,=,
又=,所以=++=++=++(-)=++=+.
故λ=,μ=.
解法二:=(+)=(+++)=+++
=+,故λ=,μ=.
11.A　因为G是AD的中点,且=x,=y,
所以=×(+)=(x+y).
又因为M,G,N三点共线,所以(x+y)=1(三点共线的结论),易知x>0,y>0,所以+=(x+y)·=≥=1,当且仅当x=y=2时等号成立.故选A.
记忆结论　若,为平面内两个不共线的向量,设=x+y(x,y∈R),则A,B,C三点共线的充要条件是x+y=1.
12.答案　a+b;a+b
解析　=(+)=a+b.
设=λ,λ∈(0,1),
则=+=+λ=+λ(-)=+λ=(1-λ)a+b,
设=μ,μ∈(0,1),则=a+b,
所以解得所以=a+b.
13.解析　(1)由题意得·=·2=2·(+)=2+0=8,
∴==4,解得||=2,故AP的长为2.
(2)∵=x+y=x+2y,且B,P,O三点共线,∴x+2y=1①.
∵||=6,||=8,∠BAC=,
∴·=||·||cos∠BAC=12,
由AP⊥BD可知·=(x+2y)·(-)=0,即2y-x+(x-2y)·=0,∴y=3x②,
联立①②解得x=,y=,故y-x=.
能力提升练
1.D 2.C 3.D 4.A 5.B
1.D　如图,过点F作FN平行于BC,交BE于点M,交AB于点N,
因为DF=FC,所以F为DC的中点,则N为AB的中点,所以MN∥AE且MN=AE=×AD=AD,
易知NF=AD,所以MF=NF-MN=AD-AD=AD,
易知△AEG∽△FMG,所以===,
所以==(+)==+=a+b.故选D.
2.C　因为++=0,所以点G是△ABC的重心,
如图,取AC的中点D,连接GD,易知B,G,D三点共线,
因为=2,所以=x+y=x+2y.
又B,H,D三点共线,所以x+2y=1,
所以x2+4y2=x2+(2y)2≥=,当且仅当x=,y=时取等号,故x2+4y2的最小值是.故选C.
3.D　取A0A2 025的中点A,则+=2=a+b,
因为A0,A1,A2,A3,…,A2 025中任意相邻两点间的距离相等,
所以点A也是A1A2 024,A2A2 023,…,A1 012A1 013的中点,
则+=+=…=+=2=a+b,
则+++…+=(a+b)=1 013(a+b).故选D.
方法技巧　处理多个向量的和的问题,大多是将相关具有对称性的两个向量分别相加,再按规律求所有向量的和,本题中A0,A1,A2,A3,…,
A2 025中任意相邻两点间的距离相等,所以A0A2 025,A1A2 024,A2A2 023,
…,A1 012A1 013的中点相同,再利用向量加法的平行四边形法则求解.
4.A　∵=3,=3,∴=,=,
∴=+x=+x=--x=--,
∴=+=++=+(1-x),
又E,M,F三点共线,∴+(1-x)=1,解得x=,
∴=--,
∴·=·(-)=--·+
=-8-4cos 60°+12=2.故选A.
5.B　设=a,=b,则=+=a-b,=+=a-b,
联立解得
因为点P在线段BD上运动,
所以可设=t+(1-t),0≤t≤1,
则=t+(1-t)=ta-(1-t)b
=t-(1-t)
=+,
又=λ+μ(λ,μ∈R),所以
故λ+μ=-++-=-t,
因为0≤t≤1,所以λ+μ=-t∈.
故选B.
6.解析　(1)因为=2,所以=,
所以=+=+=+(+)=+,
因为O是AP的中点,所以==+,
设=x(x>1),因为=,所以=+,又E,O,F三点共线,所以+=1,解得x=,
故=,所以=.
(2)=+=+λ=(1+λ),=+=+μ=(1+μ),
由(1)可知=+,
所以=+,
又因为E,O,F三点共线,所以+=1,整理得2λ+μ=3,故2λ+μ+1=4,的分母分别为λ和μ+1,要构造对应的形式,
所以+=·(2λ+μ+1)
=≥=,
当且仅当λ=4-2,μ=4-5时取等号,
所以+的最小值为.
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