2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示 6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
基础过关练
题组一　平面向量的正交分解及坐标表示
1.(多选题)下列说法中正确的有(　　)
A.相等向量的坐标相同
B.坐标系中的一个向量对应唯一的坐标
C.坐标系中的一个坐标对应唯一的向量
D.平面上一个点的坐标与以原点为始点、该点为终点的向量的坐标一一对应
2.(2024北京师范大学第二附属中学月考)已知=(-2,4),则下面说法正确的是(　　)
A.点A的坐标是(-2,4)
B.点B的坐标是(-2,4)
C.当B是原点时,点A的坐标是(-2,4)
D.当A是原点时,点B的坐标是(-2,4)
3.(教材习题改编)如图所示,{e1,e2}为单位正交基底,则向量a,b的坐标分别是(　　)
A.(3,4),(2,-2)　　B.(2,3),(-2,-3)
C.(2,3),(2,-2)　　D.(3,4),(-2,-3)
4.已知i, j分别是方向与x轴、y轴正方向相同的单位向量,O为坐标原点,设=(x2+x+1)i-(x2-x+1)j(x∈R),则点A位于第　　　象限.
题组二　平面向量加、减运算的坐标表示
5.(2024陕西咸阳月考)已知向量=(3,5),=(-1,2),则=(　　)
A.(4,3)　　B.(-4,-3)　　
C.(-4,3)　　D.(4,-3)
6.已知O为坐标原点,=(1,0),=(1,2),=(1,-1),则点B的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.
7.(2024江苏盐城五校联盟学情调研)已知向量a=(x+3,x2-3x-4)与相等,其中A(1,2),B(3,2),则x=　　　　.
8.(教材习题改编)已知一平行四边形的三个顶点A,B,C的坐标分别为(3,7),(4,6),(1,-2),求第四个顶点D的坐标.
题组三　平面向量数乘运算的坐标表示
9.(2024天津滨海新区田家炳中学月考)已知向量a=(5,-2),b=(-4,-3),若a-2b+3c=0,则c=(　　)
A.　　B.
C.　　D.
10.(2024河南郑州名校联盟模拟)已知点A,B,C,D为平面内不同的四点,若=2-3,且=(-2,1),则=(　　)
A.(4,-2)　　B.(-4,2)　　C.(6,-3)　　D.(-6,3)
11.(多选题)(2024山东济宁邹城开学考试)已知O为坐标原点,向量=(2,3),=(6,-3),P是线段AB的三等分点,则P的坐标可能为(　　)
A.　　B.
C.　　D.
12.(2024重庆巴南部分学校阶段测试)如图,在矩形ABCD中,点E是线段AB上靠近A的三等分点,点F是线段BC的中点,则=(　　)
A.-　　B.-
C.-+　　D.-+
13.(2024福建宁德古田第一中学月考)分别以直角三角形的三条边为边长作正方形,从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和,这就是著名的毕达哥拉斯定理.现在对直角三角形CDE进行上述操作后,得到如图所示的图形.若=x+y,则x+y=　　　　.
题组四　平面向量共线的坐标表示
14.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟联考)下列各组向量中,能作为基底的是(　　)
A.e1=(0,0),e2=(1,1)
B.e1=(1,2),e2=(-2,1)
C.e1=(-3,4),e2=
D.e1=(2,6),e2=(-1,3)
15.(2024河南郑州外国语学校月考)在平面直角坐标系中,A(1,m),B(-2,2m+1),=(-1,m-1),若A,B,C三点能构成三角形的三个顶点,则实数m的取值范围为　　　　.
16.(2024山西临汾高级中学月考)已知A(2,3),B(4,-3),点M在直线AB上,且||=2||,则点M的坐标为　　　　　.
17.(2024宁夏石嘴山第三中学月考)已知a=(1,0),b=(2,1),c=(3,-4).
(1)若(ka+b)∥c,求实数k的值;
(2)若=2a+3b,=a+mb,且A,B,C三点共线,求实数m的值.
能力提升练
题组一　平面向量线性运算的坐标表示及应用
1.(2024河北沧州十校月考)古希腊数学家特埃特图斯利用如图所示的直角三角形来构造无理数.已知AB=BC=CD=2,AB⊥BC,AC⊥CD,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=(　　)
A.-　　B.　　C.　　D.
2.(2024河南信阳高级中学月考)定义向量的一种运算“ ”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),a b=mq-np,则下列说法错误的是(　　)
A.若a与b共线,则a b=0
B.若a·b=mp+nq,|a|=,则(a b)2+(a·b)2=|a|2·|b|2
C.对任意的λ∈R,有(λa) b=λ(a b)
D.a b=b a
3.(2024安徽合肥期末)如图所示,在同一平面内,向量,,满足:||=||,与的夹角为α,且tan α=7,与的夹角为45°,若=m+n(m,n∈R),则=(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
题组二　平面向量共线的坐标表示及应用
4.(2024天津河北区期中)设=(-2,4),=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b=　　　　,+的最小值为　　　　.
5.(2022江西九校期中联考)已知向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数,若a=2b,则的取值范围是　　　　.
6.(2024福建厦门第一中学月考)已知坐标平面内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1).
(1)若A,B,C,D可以构成平行四边形,且点D在第一象限,求点D的坐标;
(2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求(m-2)2+n2的取值范围.
7.(2023河北石家庄月考)已知A,B,C的坐标分别为(0,0),(-1,1),(cos α,sin α),α∈(0,π).
(1)若A,B,C三点共线,求角α的值;
(2)若D(s,t),且四边形ABCD为平行四边形,求s+t的取值范围.
答案与分层梯度式解析
6.3.2　平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3　平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4　平面向量数乘运算的坐标表示
基础过关练
1.ABD 2.D 3.C 5.A 9.D 10.D 11.AC 12.A
14.BCD
1.ABD　由向量坐标的定义可得一个坐标可对应无数个相等的向量,故C错误.易知A,B,D正确.
2.D　
3.C　由题图可知a=2e1+3e2,b=2e1-2e2,∴a=(2,3),b=(2,-2).故选C.
4.答案　四
解析　由题意得A(x2+x+1,-x2+x-1).
∵x2+x+1=+>0,-x2+x-1=--<0,∴点A位于第四象限.
5.A　=-=(3,5)-(-1,2)=(4,3).故选A.
6.答案　(2,2);(0,3)
解析　由题意得=+=(1,0)+(1,2)=(2,2),∴点B的坐标为(2,2).
=-=(1,2)-(1,-1)=(0,3).
7.答案　-1
解析　因为A(1,2),B(3,2),所以=(3,2)-(1,2)=(2,0),
又=a=(x+3,x2-3x-4),所以解得x=-1.
解题模板　坐标形式下向量相等,可以通过对应坐标相等建立等量关系,由此可求出参数的值或点的坐标.
8.解析　设点D的坐标为(x,y),
当平行四边形为ABCD时,=,∴(4,6)-(3,7)=(1,-2)-(x,y),
即(1,-1)=(1-x,-2-y),
∴解得∴D(0,-1).
当平行四边形为ABDC时,=,∴(4,6)-(3,7)=(x,y)-(1,-2),
即(1,-1)=(x-1,y+2),∴解得∴D(2,-3).
当平行四边形为ADBC时,=,∴(x,y)-(3,7)=(4,6)-(1,-2),
即(x-3,y-7)=(3,8),∴解得∴D(6,15).
综上,点D的坐标为(0,-1)或(2,-3)或(6,15).
9.D　设c=(x,y),∵a-2b+3c=0,
∴(5,-2)-2(-4,-3)+3(x,y)=(0,0),
即(13+3x,4+3y)=(0,0),∴
解得∴c=.故选D.
10.D　由=2-3,得+=3-3,即=3,即=3,
又=(-2,1),所以=3=(-6,3).故选D.
11.AC　因为=(2,3),=(6,-3),
所以=-=(4,-6),
因为P是线段AB的三等分点,
所以=或=.
当=时,=,所以=+=,
则点P的坐标为;
当=时,=,所以=+=,
则点P的坐标为.
综上,点P的坐标为或.
故选AC.
易错警示　若P是线段AB的三等分点,则P有两种可能:一种是靠近A的三等分点,一种是靠近B的三等分点.
12.A　解法一:建立平面直角坐标系,转化为坐标运算.
以D为原点,DC,DA所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图,
设DC=a,DA=b,a,b>0,则D(0,0),E,F,A(0,b),C(a,0),
设=λ1+λ2(λ1,λ2∈R),
则=λ1+λ2(a,-b),
所以解得
故=-.故选A.
解法二:利用平面向量基本定理求解.
依题意得=+①,=+②,=-③,
由②③得=-,=+,
将这两个式子代入①,得=-.
13.答案　
解析　以A为原点建立平面直角坐标系,如图,
设正方形ABCD的边长为2a(a>0),则正方形DEHI的边长为a,正方形EFGC的边长为a,
故A(0,0),B(2a,0),D(0,2a),DF=(+1)a,
则xF=(+1)a·cos 30°=a,yF=(+1)a·sin 30°+2a=a,即F.
∵=x+y,
∴=x(2a,0)+y(0,2a)=(2ax,2ay),
∴∴∴x+y=.
14.BCD　对于A,零向量与任意向量共线,所以e1与e2共线,不能作为基底,故A不符合题意;
对于B,由1×1-2×(-2)=5≠0,得e1与e2不共线,能作为基底,故B符合题意;
对于C,由-3×-4×=-≠0,得e1与e2不共线,能作为基底,故C符合题意;
对于D,由2×3-6×(-1)=12≠0,得e1与e2不共线,能作为基底,故D符合题意.
故选BCD.
15.答案　{m|m≠2}
解析　由题知A,B,C三点不共线,即,不共线,易得=(-3,m+1),又=(-1,m-1),所以-(m+1)≠-3(m-1),所以m≠2.
所以实数m的取值范围为{m|m≠2}.
16.答案　(6,-9)或(-2,15)
解析　解法一:由题意得=(2,-6),
设M(x,y),可得=(x-2,y-3),
因为点M在直线AB上,且||=2||,
所以=±2,
当=2时,解得即点M(6,-9);
当=-2时,解得即点M(-2,15).
综上,点M的坐标为(6,-9)或(-2,15).
解法二:设M(x,y),因为点M在直线AB上,且||=2||,所以=±2,
当=2时,=-2,由定比分点坐标公式可知x=×2+×4=6,y=×3+×(-3)=-9,所以点M(6,-9);
当=-2时,=-,由定比分点坐标公式可知x=×2+×4=-2,y=×3+×(-3)=15,所以点M(-2,15).
综上,点M的坐标为(6,-9)或(-2,15).
记忆结论　定比分点的坐标表示
已知A(x1,y1),B(x2,y2),若存在一个实数λ(λ≠-1),使=λ,O为坐标原点,则有=+,点M的坐标为.
17.解析　(1)因为a=(1,0),b=(2,1),所以ka+b=(k+2,1),又(ka+b)∥c,c=(3,-4),所以-4(k+2)=3,解得k=-.
(2)易得=2a+3b=(8,3),=a+mb=(1+2m,m),
因为A,B,C三点共线,所以∥,
所以8m=3(1+2m),解得m=.
能力提升练
1.B 2.D 3.C
1.B　以C为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立直角坐标系(图略),
则A(0,2),B(,),C(0,0),D(-2,0),所以=(,-),=(0,-2),=(+2,).
因为=λ+μ,所以
解得所以λ+μ=.故选B.
2.D　对于A,若a与b共线,则mq=np,所以a b=mq-np=0,故A中说法正确;
对于B,a b=mq-np,a·b=mp+nq,则(a b)2+(a·b)2=(mq-np)2+(mp+nq)2=(mq)2+(np)2-2mnqp+(mp)2+(nq)2+2mnqp=m2(q2+p2)+n2(q2+p2)=(m2+n2)(q2+p2)=|a|2·|b|2,故B中说法正确;
对于C,(λa) b=λmq-λnp=λ(a b),故C中说法正确;
对于D,a b=mq-np,b a=pn-qm,不一定相等,故D中说法错误.故选D.
3.C　不妨设||=||=1,||=t(t>0),以O为原点建立平面直角坐标系,如图所示,
则A(1,0),由tan α=7可得cos α=,sin α=,
则C,
cos(α+45°)=cos αcos 45°-sin αsin 45°=-,
sin(α+45°)=sin αcos 45°+cos αsin 45°=,
∴B,
∵=m+n,∴=m(1,0)+n=,∴m-n=,=,解得m=,n=,∴=.故选C.
4.答案　2;+
解析　由题意得=-=(-a+2,-2),=-=(b+2,-4),若A,B,C三点共线,则与共线,所以(-a+2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2,则+=(2a+b)=≥=+,
当且仅当即时取等号.
5.答案　[-6,1]
解析　易知2b=(2m,m+2sin α),
又a=(λ+2,λ2-cos2α),a=2b,
∴
∴(2m-2)2-m=cos2α+2sin α,
即4m2-9m+4=1-sin2α+2sin α,
∵1-sin2α+2sin α=-(sin α-1)2+2,sin α∈[-1,1],∴-(sin α-1)2+2∈[-2,2],
∴-2≤4m2-9m+4≤2,解得≤m≤2,
∴≤≤4,∵λ=2m-2,∴=2-,
∴-6≤≤1,即的取值范围是[-6,1].
6.解析　(1)设D(x,y)(x,y>0),依题意可得=,
=(4,4),=(x+1,y-1),
所以解得即D(3,5).
(2)设=λ,λ∈[0,1],则(m+2,n+4)=λ(1,5),
所以则
所以(m-2)2+n2=(λ-4)2+(5λ-4)2=26λ2-48λ+32=26+,
因为λ∈[0,1],所以当λ=时,(m-2)2+n2取得最小值,为,当λ=0时,(m-2)2+n2取得最大值,为32,
所以(m-2)2+n2的取值范围为.
7.解析　(1)易得=(-1,1),=(cos α,sin α).
∵A,B,C三点共线,∴∥,
∴-sin α-cos α=0,即tan α=-1,
又α∈(0,π),∴α=.
(2)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴=,且与不共线.
易知=(-1,1),=(cos α-s,sin α-t),
∴cos α-s=-1,sin α-t=1,
∴s=cos α+1,t=sin α-1,
∴s+t=sin α+cos α=sin.
∵α∈(0,π),∴α+∈,
∴sin∈,
∴sin∈(-1,],
结合(1)可知,α≠,∴s+t≠0.
故s+t的取值范围是(-1,0)∪(0,].
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