2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--6.4.1　平面几何中的向量方法 6.4.2　向量在物理中的应用举例

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法　　　
6.4.2　向量在物理中的应用举例
基础过关练
题组一　向量在平面几何中的应用
1.(2024广东广州华南师范大学附属中学期中)已知△ABC的三个顶点分别是A(-1,0),B(1,0),C,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形　　B.直角三角形
C.斜三角形　　D.等腰直角三角形
2.(多选题)(2024浙江杭州月考)在△ABC中,AB=2,AC=5,∠BAC=60°,
BC,AC边上的两条中线AM,BN相交于点P,则下列结论正确的是(　　)
A.AM=　　
B.BN=
C.∠MPN的余弦值为　　
D.++=0
3.(教材习题改编)如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,则对角线AC的长为　　　　.
4.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是　　　　.
5.(2024山东德州第二中学月考)如图,在△ABC中,AB=2,AC=4,∠BAC=60°,E,F分别为AC,BC上的点,且=,=.
(1)求||;
(2)求证:AF⊥BE;
(3)若线段BE上一动点P满足2++=0,试确定点P的位置.
6.(2023安徽蚌埠期末)如图,在△ABC中,AC=2,AB=4,点D在边BC上,且=t(t∈R).
(1)若t=,∠BAC=,求||;
(2)若t=,AD恰为BC边上的高,求∠BAC;
(3)若AD=3,求t的取值范围.
题组二　向量在物理中的应用
7.(2024河北沧州月考)冰球运动是一种以冰刀和冰球杆为工具在冰上进行的相互对抗的集体性竞技运动,在冰球运动中,冰球运动员脚穿冰鞋,身着防护装备,以球杆击球,球入对方球门多者为胜.小赵同学在练习冰球的过程中,以力F=(6,24)作用于冰球,使冰球从点A(-1,-1)移动到点B(1,-1),则F对冰球所做的功为(　　)
A.-18　　B.18　　C.-12　　D.12
8.(2024广东广州第六十五中学月考)有一条东西方向的小河,一艘小船从河南岸的渡口A出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h,方向为北偏西30°,水流速度的大小为7.5 km/h,方向向东,则小船实际航行速度的大小与方向为(　　)
A. km/h,正北
B. km/h,与水流方向夹角为63.4°
C. km/h,与水流方向夹角为41°
D. km/h,垂直于河岸
9.(2023山东滨州阶段练习)加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的部分.某学生做引体向上运动,当他处于如图所示的平衡状态时,两只胳膊的夹角为60°,每只胳膊的拉力大小均为200 N,则该学生的体重(单位:kg)约为(参考数据:g=10 N/kg)(　　)
A.60　　B.61　　C.75　　D.60
10.(多选题)(教材习题改编)在日常生活中,我们会看到两个人共提一个旅行包的场景,如图所示.已知旅行包所受的重力为G,作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,且|F1|=|F2|,F1与F2的夹角为θ,则下列结论中正确的是(　　)
A.θ越大越费力,θ越小越省力
B.θ的取值范围为
C.当θ=时,|F1|=|G|
D.当θ=时,|F1|=|G|
11.如图,一个力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移s,F的大小为50 N,且与小车的位移方向的夹角为60°,e是与小车位移方向相同的单位向量,则F在小车位移上的投影向量为　　　　,力F做的功为　　　　.
12.已知一条东西方向的小河两岸平行,河的宽度为d m,某人从河的北岸出发到河对岸,河水的流速自西向东,大小为|v0|=1 m/s,设某人在静水中游泳的速度为v1,在流水中的实际速度为v2.
(1)要使此人游的路程最短,且|v1|= m/s,求此人游泳的方向与水流方向的夹角α和v2的大小;
(2)要使此人游的时间最短,且|v1|= m/s,求此人实际前进的方向与水流方向的夹角β和v2的大小.
答案与分层梯度式解析
6.4　平面向量的应用
6.4.1　平面几何中的向量方法
6.4.2　向量在物理中的应用举例
基础过关练
1.B 2.BD 7.D 8.A 9.D 10.AD
1.B　易知=,=,则·=×+×=0,故⊥,又||=≠||=1,所以△ABC是直角三角形.故选B.
2.BD　由题可知M,N分别为BC,AC的中点,则=(+),所以=(++2·)=(++2||·||cos∠BAC)=×4+25+2×2×5×=,则||=,故A错误;
=-,则==+-2·=+4-2××2×=,则||=,故B正确;
由题可知P为△ABC的重心,
则cos∠MPN====×
=×=,故C错误;
++=-+(-)+(-)=+-3=+-3×=+-3××(+)=0,故D正确.故选BD.
3.答案　
解析　设=a,=b,则=a-b,=a+b,
∴||=|a-b|====2,则a·b=,
∴||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=|a|2+2a·b+|b|2=1+4+2a·b=6,∴||=,即AC=.
4.答案　30
解析　易得=-=(3,6)=,所以四边形ABCD为平行四边形.因为·=(4,-2)·(3,6)=0,所以⊥,所以四边形ABCD为矩形,
易得||==2,||==3,
所以S四边形ABCD=||||=2×3=30.
5.解析　(1)记=a,=b,则|a|=2,|b|=4,a·b=2×4cos 60°=4,因为=,
所以=+=+=+(-)=+=a+b,
则==a2+a·b+b2=×4+×4+×16=,故||=.
(2)证明:因为=,所以=+=-+=-a+b,
所以·=·=-a2+b2=-×4+×16=0,则⊥,即AF⊥BE.
(3)因为=,所以E是AC的中点,
故+=2,
因为2++=0,所以2+2=0,即=-,
所以P是线段BE的中点.
6.解析　(1)若t=,则=,即D为BC的中点,
所以=(+),
因为∠BAC=,AC=2,AB=4,
所以||=
==.
(2)若t=,则==(-),
因为AD恰为BC边上的高,所以⊥,
因为=+=+(-)=+,=-,
所以·=·(-)
=-·-
=×22-×2×4×cos∠BAC-×42=0,
所以cos∠BAC=0,则∠BAC=.
(3)由题意得=+=+t=+t(-)=t+(1-t),
所以=t2+(1-t)2+2t(1-t)·,
即9=16t2+4(1-2t+t2)+(16t-16t2)cos∠BAC,
易知0因为∠BAC∈(0,π),所以-1所以t的取值范围是.
7.D　因为A(-1,-1),B(1,-1),所以=(2,0),又F=(6,24),所以力F对冰球所做的功为F·=12.故选D.
8.A　如图,为水流速度,为小船航行速度,以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,则为小船实际的航行速度,
易知∠ADC=90°,∠CAD=30°,||=15,||=7.5,
∴||==.∴小船实际航行的速度的大小为 km/h,方向为正北.
9.D　如图,||=||=200,∠AOB=60°,作平行四边形OACB,则平行四边形OACB是菱形,=+,
||=2||sin 60°=600,
所以|G|=||=600,
因此该学生的体重为=60(kg).故选D.
10.AD　根据题意得|G|=|F1+F2|,
所以|G|2=|F1|2+|F2|2+2|F1||F2|cos θ=2|F1|2(1+cos θ),易知θ∈(0,π),
解得|F1|2=,当θ∈(0,π)时,y=cos θ单调递减,所以|F1|2随θ的增大而增大,故θ越大越费力,θ越小越省力,故A正确,B错误;
当θ=时,|F1|2=,所以|F1|=|G|,故C错误;
当θ=时,|F1|2=|G|2,所以|F1|=|G|,故D正确.
故选AD.
11.答案　25e;1 000 J
解析　∵|F|=50,且F与小车位移方向的夹角为60°,∴F在小车位移上的投影向量为|F|cos 60°e=25e.
∵力F作用于小车G,使小车G发生了40 m的位移,∴力F做的功为25×40=1 000(J).
12.解析　(1)要使此人游的路程最短,只需此人的游泳速度与水流速度的和速度与对岸垂直,如图1.
此人游泳的方向与水流方向的夹角α=∠ACB,此时|v2|==1 m/s,α=∠ACB=.
　
(2)如图2,由题意知v0与v2的夹角为β,设v0与v1的夹角为θ,实际游泳的路程为s m,
则|v1|sin(π-θ)=|v2|sin β,即|v1|sin θ=|v2|sin β,sin β=,(过v1,v2的终点作v0所在直线的垂线,构造直角三角形即可得到)
∴=,为实际的路程除以实际的速度,即所用的时间,当sin θ最大时,时间最短
∴当θ=时,此人游到对岸用时最短,
此时|v2|==2 m/s,tan β=,故β=.
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