2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--7.1.1　数系的扩充和复数的概念

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2025人教A版高中数学必修第二册
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
基础过关练
题组一　复数的概念
1.(2024湖南常德津市第一中学月考)复数1-5i的虚部是(　　)
A.5　　B.-5　　C.5i　　D.-5i
2.(2023湖南株洲期中)已知复数x+y+(2-x)i的实部和虚部分别为3和 4,则实数x和y的值分别是(　　)
A.2,-4　　B.2,5　　C.-2,4　　D.-2,5
3.下列命题中,正确的个数是(　　)
①-1没有平方根;②复数5i-1的虚部是5i;③复数2i没有实部;④i表示虚数单位,所以它不是一个复数;⑤若x,y∈C,且x2+y2=0,则x=y=0.
A.0　　B.1　　C.3　　D.5
题组二　复数的分类
4.(2024重庆部分学校月考)若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)是纯虚数,则(　　)
A.a=-1　　B.a≠-1且a≠2　　C.a≠-1　　D.a≠2
5.(2023河北唐山月考)设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},则下列结论正确的是(　　)
A.A∪B=C　　B.A=B C.A∩( CB)= 　　D.( CA)∪( CB)=C
6.(多选题)(2024江苏泰州兴化期中)对于复数z=a+bi(a,b∈R),下列说法中错误的是(　　)
A.若a=0,则a+bi为纯虚数
B.若z=3-2i,则a=3,b=2
C.若b=0,则a+bi为实数
D.若a=b=0,则z不是复数
7.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,若z1>z2,则a=(　　)
A.0　　B.-1　　C.-　　D.
8.(教材习题改编)已知复数z=+(x2-2x-15)i,则实数x取什么值时,z是(1)实数 (2)虚数 (3)纯虚数
题组三　复数相等的充要条件及其应用
9.(2024河南驻马店联考)已知复数z1=2-ai,z2=b-1+2i(a,b∈R,i为虚数单位),且z1=z2,则(　　)
A.a=-1,b=1　　B.a=2,b=-3
C.a=2,b=3　　D.a=-2,b=3
10.若2+ai=b-i,其中a,b∈R,i是虚数单位,则复数z=a+bi的虚部为(　　)
A.-i　　B.-1　　C.2i　　D.2
11.(2024江苏南通模拟)已知m∈R,i为虚数单位,若集合A={1,2m+(m-1)i},B={-2i,1,2},且A B,则m=　　　　.
12.(2023山东菏泽期中)已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+2sin θ+(cos θ-2)i(其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R),若z1为纯虚数,则m=　　　　;若z1=z2,则λ的取值范围为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第七章　复数
7.1　复数的概念
7.1.1　数系的扩充和复数的概念
基础过关练
1.B 2.D 3.A 4.A 5.D 6.ABD 7.A 9.D
10.D
1.B　
2.D　由复数x+y+(2-x)i的实部和虚部分别为3和4,x,y∈R,可得解得故选D.
3.A　i2=-1,所以-1的平方根为±i,①错误;5i-1的虚部为5,②错误;2i的实部为0,③错误;④显然错误;当x=i,y=1时,x2+y2=i2+12=0,但x,y都不为0,⑤错误.
4.A　由题意得a2-a-2=0,且|a-1|-1≠0,解得a=-1.
5.D　集合A,B,C的关系如下图,
由图可知,只有( CA)∪( CB)=C正确.故选D.
6.ABD　对于A,当且仅当a=0,b≠0时,a+bi为纯虚数,故A中说法错误;
对于B,若z=3-2i,则a=3,b=-2,故B中说法错误;
对于C,若b=0,则a+bi为实数,故C中说法正确;
对于D,若a=b=0,则z=0,是复数,故D中说法错误.故选ABD.
7.A　由z1>z2知z1,z2是实数,则解得a=0.
8.解析　(1)当x满足即x=5时,z是实数.
(2)当x满足即x≠-3且x≠5时,z是虚数.
(3)当x满足即x=-2或x=3时,z是纯虚数.
9.D　因为z1=z2,所以2-ai=b-1+2i(a,b∈R),所以解得故选D.
10.D　因为2+ai=b-i,a,b∈R,所以a=-1,b=2,
故复数z=a+bi=-1+2i,其虚部为2,故选D.
11.答案　1
解析　由A B,得2m+(m-1)i=-2i①或2m+(m-1)i=2②,易知①无解,由②可得m=1.故m=1.
12.答案　-2;[2,6]
解析　若z1为纯虚数,则解得m=-2.
若z1=z2,则
∴λ=4-cos2θ-2sin θ=sin2θ-2sin θ+3=(sin θ-1)2+2.
∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=1时,λmin=2,当sin θ=-1时,λmax=6,
∴实数λ的取值范围为[2,6].
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