2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--7.1.2　复数的几何意义

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2025人教A版高中数学必修第二册
7.1.2　复数的几何意义
基础过关练
题组一　复数与复平面内点的对应关系
1.(2024四川平昌中学月考)已知复数z=i2-i,则在复平面内z对应的点Z位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　
C.第三象限　　D.第四象限
2.已知a,b∈R,那么在复平面内复数a-bi,-a-bi对应的点(　　)
A.关于x轴对称　　B.关于y轴对称
C.关于原点对称　　D.关于直线y=x对称
3.(2024浙江培优联盟联考)在复平面内,若复数z=m+1+(m-1)i(m∈Z)对应的点位于第四象限,则m的值为　(　　)
A.-1　　B.0　　C.1　　D.±1
4.(2024湖南衡阳第八中学月考)已知复数z1=1-bi(b∈R)在复平面内对应的点在直线x+y-1=0上,则复数z2=b+i在复平面内对应的点在(　　)
A.实轴正半轴上　　B.实轴负半轴上　　
C.虚轴正半轴上　　D.虚轴负半轴上
5.(多选题)(2024安徽太和中学二检)已知复数z=m2-1+(m+1)i(m∈R),下列说法正确的是(　　)
A.若z为纯虚数,则m=1
B.若z为实数,则z=0
C.若z在复平面内对应的点在直线y=2x上,则m=-1
D.z在复平面内对应的点不可能位于第三象限
6.(2024广东广州番禺中学期中)已知平行四边形ABCD,在复平面内点A,B,C分别对应复数4+i,3+4i,3-5i,则点D对应的复数是　　　　.
7.(教材习题改编)已知i为虚数单位,实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:
(1)位于第三象限
(2)在实轴负半轴上
(3)位于上半平面(含实轴)
题组二　复数与平面向量的对应关系
8.在复平面内,坐标原点为O,向量表示的复数为1+i,将向右平移一个单位后得到向量,则向量与点A'对应的复数分别为(　　)
A.1+i,1+i　　B.2+i,2+i C.1+i,2+i　　D.2+i,1+i
9.(多选题)在复平面内,复数z,(为z的共轭复数)对应的点分别为P,Q,坐标原点为O,则下列命题中正确的有(　　)
A.当z为纯虚数时,P,O,Q三点共线
B.当z=1+i时,△POQ为等腰直角三角形
C.对任意复数z,≠
D.当z为实数时,=
10.(2024山东青岛第二中学模拟)已知复数1+i与3i在复平面内对应的向量分别为和(其中i是虚数单位,O为坐标原点),则与的夹角为　　　　.
11.(2023湖南永州第四中学月考)如图,在复平面内有一个平行四边形ABCD,点A对应的复数为-1,对应的复数为2+2i,对应的复数为z,且=4+4i.
(1)求点D对应的复数;
(2)求平行四边形ABCD的面积.
题组三　复数的模及其应用
12.(2024河南信阳第一高级中学月考)已知z=(2a-1)+(a+1)i(a∈R),则“|z|=”是“a=”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
13.复数z在复平面内对应的点为Z,若1≤|z|≤2,则点Z的集合对应的图形的面积为(　　)
A.π　　B.2π　　C.3π　　D.4π
14.若复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点位于第二象限,则|z|的取值范围是　　　　.
15.(教材习题改编)设z∈C,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的点Z的集合是什么图形
(1)|z|=;
(2)2<|z|≤3.
题组四　共轭复数
16.(2024安徽铜陵期中)若复数z在复平面内对应的点的坐标为(5,12),则z的共轭复数=(　　)
A.5+12i　　B.-5+12i　　C.-5-12i　　D.5-12i
17.(2024广东江门第一中学月考)已知a,b∈R,i是虚数单位,若复数a+i与-1+bi互为共轭复数,则(　　)
A.a=-1,b=1　　B.a=-1,b=-1
C.a=1,b=1　　D.a=1,b=-1
18.(2024湖北荆州月考)复数z在复平面内对应的向量(O为坐标原点)与a=(3,4)共线,对应的点Z位于第三象限,且|z|=10,则=(　　)
A.6+8i　　B.6-8i　　C.-6-8i　　D.-6+8i
19.(多选题)(2024重庆长寿中学月考)欧拉公式exi=cos x+isin x(x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的,该公式将指数函数的定义域扩大到复数集,建立了三角函数与指数函数的关系,在复变函数论里占有非常重要的地位,被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式,下列说法中正确的是(　　)
A.e3i对应的点位于第二象限
B.e2πi为实数
C.exi(x∈R)的模为
D.的共轭复数为+i
答案与分层梯度式解析
7.1.2　复数的几何意义
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.C 5.ABD 8.C 9.ABD 12.B
13.C 16.D 17.B 18.D 19.AB
1.C　因为z=i2-i=-1-i,所以在复平面内z对应的点Z的坐标为(-1,-1),位于第三象限,故选C.
2.B　在复平面内复数a-bi对应的点为(a,-b),-a-bi对应的点为(-a,-b),两点关于y轴对称.
3.B　由题意得解得-14.C　复数z1=1-bi在复平面内对应的点为(1,-b),因为该点在直线x+y-1=0上,所以1-b-1=0,解得b=0,则z2=b+i=i,其在复平面内对应的点为(0,1),在虚轴正半轴上.故选C.
5.ABD　若z为纯虚数,则解得m=1,故A中说法正确;
若z为实数,则m+1=0,解得m=-1,则z=0,故B中说法正确;
z在复平面内对应的点的坐标为(m2-1,m+1),若该点在直线y=2x上,则m+1=2(m2-1),解得m=-1或m=,故C中说法错误;
令得无解,所以z在复平面内对应的点不可能位于第三象限,故D中说法正确.
6.答案　4-8i
解析　由题意可得A(4,1),B(3,4),C(3,-5),
设平行四边形ABCD的对角线的交点为M(xM,yM),点D(x,y),
结合中点坐标公式可得解得
即点D(4,-8),故点D对应的复数是4-8i.
7.解析　(1)要使复数z在复平面内对应的点位于第三象限,需满足即∴3(2)要使复数z在复平面内对应的点在实轴负半轴上,需满足即
∴m=4.
(3)要使复数z在复平面内对应的点位于上半平面(含实轴),需满足m2+3m-28≥0,解得m≥4或m≤-7.
8.C　由题意可得O'(1,0),==(1,1),∴对应的复数为1+i,=+=(1,0)+(1,1)=(2,1),∴点A'对应的复数为2+i.故选C.
9.ABD　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi.
对于A,当z为纯虚数时,z=bi(b≠0),=-bi,则z,对应的点分别为P(0,b),Q(0,-b),O,P,Q均在虚轴上,∴P,O,Q三点共线,故A正确;
对于B,当z=1+i时,=1-i,∴=(1,1),=(1,-1),∴·=0,且||=||=,∴△POQ为等腰直角三角形,故B正确;
对于C,=(a,b),=(a,-b),当b=0时,=,故C错误;
对于D,当z为实数时,z==a,==(a,0),故D正确.故选ABD.
10.答案　
解析　根据题意得=(1,1),=(0,3),
∴cos<,>===,
又0≤<,>≤π,∴向量与的夹角为.
11.解析　(1)因为点A对应的复数为-1,所以A(-1,0).
因为=4+4i,所以z=4-4i,所以=(4,-4).
设D(x,y),则=(x+1,y).
因为四边形ABCD为平行四边形,所以=,即(x+1,y)=(4,-4),解得x=3,y=-4,即D(3,-4),
故点D对应的复数为3-4i.
(2)由题意及(1)可知=(2,2),=(4,-4),
所以·=0,故⊥,
则平行四边形ABCD为矩形.
易得||=2,||=4,
故平行四边形ABCD的面积为2×4=16.
12.B　若|z|=,则=,化简得5a2-2a=0,解得a=0或a=,故“|z|=”是“a=”的必要不充分条件.故选B.
13.C　由题意知点Z的集合对应的图形是以原点为圆心,1和2为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环边界),所以所求面积为π×22-π×12=3π,故选C.
14.答案　
解析　易知复数z=(a-2)+(a+1)i(a∈R)在复平面内对应的点为(a-2,a+1),
因为该点位于第二象限,所以解得-1|z|==
=,
因为-115.解析　(1)因为|z|=,所以||=(O为原点),所以满足|z|=的点Z的集合是以O为圆心,为半径的圆,如图①.
(2)2<|z|≤3可化为不等式组|z|>2的解集是以原点为圆心,2为半径的圆的外部所有的点组成的集合;|z|≤3的解集是以原点为圆心,3为半径的圆的内部及圆上所有的点组成的集合,这两个集合的交集就是不等式组的解集.
因此,满足2<|z|≤3的点Z的集合是以原点为圆心,2和3为半径的两个圆所夹的圆环,包括圆环的外边界但不包括内边界,如图②.
　　
16.D　由题可知z=5+12i,所以=5-12i.故选D.
17.B　因为复数a+i与-1+bi互为共轭复数,
所以故选B.
18.D　设复数z=x+yi,x,y∈R,则=(x,y),
∵与a=(3,4)共线,∴4x-3y=0①,
由|z|=10得x2+y2=100②,
由①②可得x=6,y=8或x=-6,y=-8.
∵z对应的点Z位于第三象限,
∴x=-6,y=-8,∴z=-6-8i,∴=-6+8i.故选D.
19.AB　对于A,e3i=cos 3+isin 3,则e3i对应的点为(cos 3,sin 3),∵3∈,∴cos 3<0,sin 3>0,
∴e3i对应的点位于第二象限,故A正确;
对于B,e2πi=cos 2π+isin 2π=1,为实数,故B正确;
对于C,∵exi=cos x+isin x,∴|exi|==1,故C错误;
对于D,=cos +isin =+i,则的共轭复数为-i,故D错误.故选AB.
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