2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

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2025人教A版高中数学必修第二册
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
基础过关练
题组一　复数的加、减运算
1.(2024山东省实验中学月考)已知a,b∈R,(a+3i)+(-1+bi)=0,则(　　)
A.a=1,b=-3　　B.a=-1,b=3　　
C.a=-1,b=-3　　D.a=1,b=3
2.(2024内蒙古包头期末)复数z1=a+3i,z2=-4+bi,其中a,b∈R,若z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,则a+b=(　　)
A.-7　　B.-6　　C.6　　D.7
3.(2024吉林长春外国语学校月考)欧拉公式eiθ=cos θ+isin θ(e是自然对数的底数,i是虚数单位,θ∈R)是由瑞士著名数学家欧拉提出的,它将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关系,则|eiθ-3|的最小值为　(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
4.(多选题)(2024湖南衡阳三校联考)已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列说法正确的是(　　)
A.的虚部为-2
B.z-2为纯虚数
C.若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,则a=1
D.z在复平面内对应的点位于第一象限
5.(2024北京第八十中学月考)复数z=x+yi(x,y∈R)满足|z-4i|=|z+2|,则2x+4y的最小值为(　　)
A.2　　B.4　　C.4　　D.16
6.(2024河北邯郸期中)已知m∈R,复数z1=(m2+m)+(m2-1)i,z2=2m+i.
(1)若z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,求m的取值范围;
(2)设O为坐标原点,z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B(不与O重合),若·=0,求|z1-|.
题组二　复数加、减法的几何意义
7.(2024广东广州中学期中)在复平面内,对应的复数为1-i,对应的复数为1+i,则点B,D之间的距离为(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.3
8.△ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1,z2,z3,复数z满足|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,则z对应的点是△ABC的(　　)
A.外心　　B.内心　　C.重心　　D.垂心
9.(2024广东惠州第一中学月考)已知复数z满足|z+i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.
10.已知|z1|=1,|z2|=,|z1-z2|=2,则|z1+z2|=　　　　.
11.(2024河南濮阳期中)已知复数z满足|z-1-i|=2,i为虚数单位,z在复平面内对应的点为Z,点M(-1,0),O为坐标原点,则·的最小值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
7.2　复数的四则运算
7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义
基础过关练
1.A 2.A 3.C 4.AD 5.C 7.B 8.A 9.B
1.A　(a+3i)+(-1+bi)=0即(a-1)+(3+b)i=0,
则解得故选A.
2.A　由题意得z1+z2=a-4+(3+b)i,z1-z2=a+4+(3-b)i,
因为z1+z2为实数,z1-z2为纯虚数,所以
解得所以a+b=-7.故选A.
C　由题意得eiθ-3=cos θ-3+isin θ,
故|eiθ-3|==,
又cos θ∈[-1,1],所以∈[2,4],
故|eiθ-3|的最小值为2.故选C.
4.AD　因为z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,
所以=4-2i,则的虚部为-2,故A正确;
z-2=2+2i,不是纯虚数,故B错误;
若z与复数a2+3a+(a2+5a+6)i(a∈R)相等,
则解得a=-4,故C错误;
复数z在复平面内对应的点为(4,2),位于第一象限,故D正确.故选AD.
5.C　由z=x+yi(x,y∈R)且|z-4i|=|z+2|,得|x+(y-4)i|=|x+2+yi|,
∴x2+(y-4)2=(x+2)2+y2,整理得x+2y=3,
∴2x+4y=2x+22y≥2=2=4,
当且仅当2x=22y,即x=,y=时,等号成立,
∴2x+4y的最小值为4.故选C.
6.解析　(1)易得z1-z2=(m2-m)+(m2-2)i,
因为z1-z2在复平面内对应的点位于第三象限,
所以解得0所以m的取值范围为(0,1).
(2)由题意得=(m2+m,m2-1),=(2m,1),
因为·=0,所以2m(m2+m)+m2-1=0,
即(m+1)2(2m-1)=0,解得m=-1或m=,
当m=-1时,A(0,0),与O重合,不符合题意,
当m=时,A,B(1,1),符合题意,
此时z1=-i,z2=1+i,故=1-i,
所以|z1-|==.
7.B　因为=-,所以对应的复数为1+i-(1-i)=2i,故B,D之间的距离为||=2.故选B.
8.A　∵|z-z1|=|z-z2|=|z-z3|,
∴z对应的点到△ABC的三个顶点的距离相等,
∴z对应的点是△ABC的外心,故选A.
9.B　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为复数z满足|z+i|=|z-i|,所以由复数加、减法的几何意义可知,点Z到点(0,-1)和(0,1)的距离相等,所以点Z的轨迹为x轴,
又|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)(记为P)的距离,
所以问题转化为求x轴上的动点Z到定点P(-1,-2)的距离的最小值,易知|PZ|min=2,所以|z+1+2i|的最小值为2.故选B.
10.答案　2
解析　设z1对应的向量为,z2对应的向量为,则z1-z2对应的向量为,
以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则z1+z2对应的向量为,
则由题意可得||2+||2=||2,∴⊥,
∴平行四边形OACB为矩形,∴||=||,故|z1+z2|=|z1-z2|=2.
11.答案　-3
解析　|z-1-i|=2表示点Z到点(1,1)的距离恒为2,故点Z的轨迹是以点(1,1)(记为Q)为圆心,2为半径的圆,如图,
·=(+)·=·+·,
又·=(1,1)·(-1,0)=-1,
·=||||cos<,>=2cos<,>∈[-2,2],
所以·∈[-3,1],故·的最小值为-3.
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