2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--7.2.2　复数的乘、除运算

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2025人教A版高中数学必修第二册
7.2.2　复数的乘、除运算
基础过关练
题组一　复数的乘、除运算
1.(2024河南开封模拟)设复数z满足(z-1)i=-1,则|z|=(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
2.(2024江苏宿迁中学月考)已知复数z1=1-2i,z2=a+2i(其中i为虚数单位,a∈R),若z1·z2是纯虚数,则a=(　　)
A.-4　　B.-1　　C.1　　D.4
3.(2024四川成都外国语学校月考)定义运算=ad-bc,则满足=0(i为虚数单位)的复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
4.(多选题)(2024河北邯郸期中)已知z=,其中a∈R,i是虚数单位,则下列说法正确的是(　　)
A.若a=1,则=
B.若a=1,则z的虚部为i
C.若z为纯虚数,则a=
D.若|z|=1,则a=2
题组二　in(n∈N)的周期性及其应用
5.(2024河北邢台模拟)若z·(2+i)=3-i2 027,则z的虚部为(　　)
A.-1　　B.　　C.-i　　D.-
6.(多选题)(2024河南济源高级中学月考)已知集合M={m|m=in,n∈N},其中i为虚数单位,则下列属于集合M的元素的有(　　)
A.(1-i)(1+i)　　B.　　C.　　D.(1-i)2
7.(2024湖南常德第一中学月考)已知i为虚数单位,则i2+i3+…+i2 024
=　　　　.
8.(2024湖北武汉育才高中月考)计算:+(2-3i)(1+4i)=
　　　　.
题组三　复数范围内一元二次方程根的问题
9.(2024福建厦门模拟)已知α,β是关于x的实系数方程x2-4x+5=0的两个虚根,则=(　　)
A.　　B.-　　C.　　D.-
10.已知复数z1,z2是方程x2+x+2=0的两个不同的根,则=(　　)
A.-1　　B.-　　C.　　D.1
11.(2024福建福州期中)已知复数z=1+bi(b∈R,i为虚数单位),z在复平面内对应的点位于第四象限,且满足z=4(为z的共轭复数).
(1)求实数b的值;
(2)若复数z是关于x的方程px2+2x+q=0(p≠0,且p,q∈R)的一个复数根,求p+q的值.
能力提升练
题组一　复数运算的综合应用
1.(2024江苏连云港高级中学月考)复数z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023的虚部为(　　)
A.-1 011　　B.-1 012　　C.1 011　　D.1 012
2.(多选题)(2024山东烟台莱阳第一中学月考)已知i是虚数单位,若(1+i)n=(1-i)n(n∈N*),则n的值可以是(　　)
A.102　　B.104　　C.106　　D.108
3.(多选题)(2024广东广州期中)下列说法中正确的是(　　)
A.若复数z=,则复数在复平面内对应的点位于第一象限
B.已知复数z满足(1+2i)z=2+i,则|z|=1
C.若3+2i是关于x的方程2x2+mx+n=0(m,n∈R)在复数集内的一个根,则n=26
D.若z∈C,且|z|=1,则|z-3-4i|的最小值为4
4.(2023重庆缙云教育联盟三诊)已知集合M {x|x=in+i-n,n∈N*}(i为虚数单位),则满足条件的集合M的个数为　　　　.
题组二　复数范围内方程根的问题
5.(多选题)(2024山东省实验中学开学考试)已知z1,z2,z3是关于x的方程(x-i)(x2-2x+4)=0的三个互不相等的复数根,则(　　)
A.z1可能为纯虚数
B.z1,z2,z3的虚部之积为-3
C.|z1|+|z2|+|z3|=6
D.z1,z2,z3的实部之和为2
6.(多选题)(教材深研拓展)早在古巴比伦时期,人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶,数学家们得到了一元三次方程、一元四次方程的解法.研究过程中得到一个代数基本定理:任何一元n(n∈N*)次复系数多项式方程f(x)=0至少有一个复数根.请借助代数基本定理解决下列问题:设实系数一元四次方程ax4+bx3+cx2+dx+e=0(a≠0)在复数集C内的根为x1,x2,x3,x4,则下列结论正确的是(　　)
A.x1+x2+x3+x4=-
B.x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-
C.x1x2x3x4=
D.x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=
7.(2023上海复旦大学附属中学开学考试)已知关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2.
(1)求|x1|的取值范围;
(2)若|x1-x2|=1,求实数a的值.
8.(2024河南濮阳期中)已知z为虚数,且z3=1.
(1)求z的值;
(2)求z2 024+z1 012的值.
答案与分层梯度式解析
7.2.2　复数的乘、除运算
基础过关练
1.B 2.A 3.D 4.AC 5.D 6.BC 9.A 10.A
1.B　由(z-1)i=-1可得zi-i=-1,则z==1-=1+i,所以|z|=.故选B.
2.A　z1·z2=(1-2i)(a+2i)=a+4+(2-2a)i,因为z1·z2是纯虚数,所以解得a=-4.故选A.
3.D　由=0可得-2iz+i(1-i)=0,即-2iz+i+1=0,所以z===-i,
故z在复平面内对应的点为,位于第四象限.故选D.
4.AC　对于A,B,当a=1时,z====-i,则=,z的虚部为-,故A正确,B错误;
z===-i,
若z为纯虚数,则解得a=,故C正确;
若|z|=1,则+=1,解得a=2或a=-2,故D错误.故选AC.
5.D　因为i2 027=(i4)506·i3=-i,
所以z·(2+i)=3-i2 027=3+i,
所以z===-i,
所以z的虚部为-.故选D.
6.BC　依题意得M={1,i,-1,-i}.
(1-i)(1+i)=1+1=2 M,A错误;
===-i∈M,B正确;
===i∈M,C正确;
(1-i)2=-2i M,D错误.故选BC.
7.答案　-i
解析　∵i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N,
∴i2+i3+…+i2 024=(-1-i+1)+(i-1-i+1)+…+(i-1-i+1)=-i.
8.答案　14+6i
解析　因为===i,且i4=1,
所以=i2 021=·i=i,
所以+(2-3i)(1+4i)=i+(14+5i)=14+6i.
9.A　对于方程x2-4x+5=0,Δ=(-4)2-4×1×5=-4<0,
∴方程x2-4x+5=0的两个虚根为=2+i,=2-i,
不妨取α=2+i,β=2-i,则|α|==,|β|==,
∴==.故选A.
10.A　解法一:由方程x2+x+2=0得Δ=1-4×2=-7<0,
所以x=.
不妨设z1=,z2=,则=,=,所以==-1.故选A.
解法二:由题意得z1+z2=-1,且z1=,z2=,所以==-1.
方法技巧　如果实系数一元二次方程有虚根,那么(1)虚根以共轭复数的形式成对出现;(2)根与系数的关系仍然成立.
11.解析　(1)z=1+bi在复平面内对应的点为(1,b),因为该点位于第四象限,所以b<0,
由z=4,得(1+bi)(1-bi)=4,即b2=3,
所以b=-.
(2)由(1)知z=1-i,
因为复数z是关于x的方程px2+2x+q=0的一个根,
所以p(1-i)2+2(1-i)+q=0,
整理得(-2p+q+2)+(-2p-2)i=0,又p,q∈R,
所以解得所以p+q=-5.
能力提升练
1.B 2.BD 3.BCD 5.ABD 6.AC
1.B　z=1+2i+3i2+4i3+…+2 024i2 023
=(1+2i-3-4i)+(5+6i-7-8i)+…+(2 021+2 022i-2 023-2 024i)
==-1 012-1 012i,
其虚部为-1 012.故选B.
2.BD　∵(1+i)2=1+2i-1=2i,(1-i)2=1-2i-1=-2i,
∴(1+i)n=[(1+i)2=(2i,(1-i)n=[(1-i)2=(-2i,
若(1+i)n=(1-i)n,则(2i=(-2i,
∴为偶数.故选BD.
3.BCD　对于A,z====+i,则=-i,其在复平面内对应的点为,位于第四象限,A错误.
对于B,z====-i,
所以|z|==1,B正确.
对于C,因为3+2i是方程2x2+mx+n=0的一个复数根,所以方程的另一个复数根为3-2i,则=(3+2i)·(3-2i)=13,解得n=26,C正确.
对于D,由|z|=1得复数z在复平面内对应的点的集合是以原点为圆心,1为半径的圆,
|z-3-4i|表示圆上的点到点(3,4)的距离,则|z-3-4i|min=-1=4,D正确.
故选BCD.
4.答案　8
解析　对于x=in+i-n,n∈N*,当n=1时,x=i+i-1=0;当n=2时,x=i2+i-2=-2;当n=3时,x=i3+i-3=0;当n=4时,x=i4+i-4=2.
结合in的周期性,可知x=in+i-n,n∈N*以4为周期,所以{x|x=in+i-n,n∈N*}
={-2,0,2},其子集个数为23=8.故满足条件的集合M的个数为8.
5.ABD　易得(x-i)(x2-2x+4)=0的三个复数根分别为i,1-i,1+i.
当z1=i时,z1为纯虚数,故A正确;
三个根的虚部分别为1,-,,它们的乘积为-3,故B正确;
|z1|+|z2|+|z3|=++=5,故C不正确;
三个根的实部分别为0,1,1,它们的和为2,故D正确.故选ABD.
6.AC　由题设知ax4+bx3+cx2+dx+e=a(x-x1)(x-x2)·(x-x3)(x-x4),
∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x2-(x1+x2)x+x1x2][x2-(x3+x4)x+x3x4],
∴ax4+bx3+cx2+dx+e=a[x4-(x1+x2+x3+x4)x3+(x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x2-(x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x+x1x2x3x4],
∴x1+x2+x3+x4=-,x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=,x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=-,x1x2x3x4=.故选AC.
7.解析　(1)因为关于x的方程x2-3ax-3a=0(a∈R)的两个虚数根分别为x1,x2,
所以Δ=9a2+12a<0,解得-则|x1|=,
因为-所以|x1|的取值范围是(0,2).
(2)=||=|-4x1x2|=|9a2+12a|=1,
因为9a2+12a<0,所以9a2+12a=-1,
所以a=-±.
8.解析　(1)因为z3=1,所以z3-1=0,由立方差公式得(z-1)(z2+z+1)=0,由于z为虚数,故z-1≠0,
所以z2+z+1=0,即=-,所以z+=±i,所以z=-±i.
(2)z2 024+z1 012=(z3)674·z2+(z3)337·z=z2+z,
由(1)知z2+z+1=0,所以z2+z=-1,故z2 024+z1 012=-1.
常用结论　在复数相关计算中,熟记一些常用结论能简化运算过程,如=i,=-i,=-i,=1等.
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