2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--7.3.1　复数的三角表示式 7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

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2025人教A版高中数学必修第二册
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
基础过关练
题组一　复数的三角形式及其与代数形式的互化
1.(2024福建泉州永春第一中学月考)复数z=-sin +icos 的辐角主值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2024广东华南师范大学附属中学开学考试)若复数z=,则的辐角主值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.-
3.(多选题)(2024山东滨州期末)已知复数z=1+i(i为虚数单位),则下列说法中正确的是(　　)
A.z的共轭复数为=-1+i
B.|z|=
C.z的辐角主值是
D.=1+i
4.已知复数z-1的一个辐角为,z+1的一个辐角为,则复数z等于(　　)
A.+i　　B.-+i
C.±i　　D.-±i
5.把下列复数表示成代数形式.
(1)z1=3;
(2)z2=;
(3)z3=2.
题组二　复数三角形式的乘、除运算
6.已知复数z1=,z2=cos+isin,则z1z2的代数形式是(　　)
A.　　B.
C.-i　 　D.+i
7.(2024江苏徐州第七中学月考)任何一个复数z=a+bi(a,b∈R)都可以表示成z=r(cos θ+isin θ)(r≥0,θ∈R)的形式,通常称之为复数的三角形式.法国数学家棣莫弗发现:[r(cos θ+isin θ)]n=rn(cos nθ+isin nθ)
(n∈N*),我们称这个结论为棣莫弗定理,则=(　　)
A.1　　B.22 022　　C.-22 022　　D.i
8.(多选题)(2022湖北仙桃中学月考)已知单位向量,对应的复数分别为z1,z2,且·=0,则可能为(　　)
A.i　　B.1　　C.-1　　D.-i
9.(2023福建师范大学附属中学期中)设ω=-+i,则ω10=　　　　.
10.复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为　　　　.
11.计算:
(1)8×4;
(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)];
(3)4÷.
12.(1)在复平面内画出复数z=1-i对应的向量,并把z=1-i表示成三角形式;
(2)已知z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,cos(π+θ1+θ2)=,
θ1,θ2∈,试求z1z2.(结果表示为代数形式)
题组三　复数三角形式乘、除运算的几何意义的应用
13.(2024江苏南京师范大学附属中学期中)在复平面内,复数z=a+bi(a,b∈R)和向量=(a,b)一一对应.现把与复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为(　　)
A.-2+i　　B.-2-i　　
C.2+i　　D.2-i
14.(多选题)已知四边形OABC为正方形,O是坐标原点,且点B在x轴的上方,向量对应的复数为2+i,则(　　)
A.点B对应的复数为1+3i
B.向量对应的复数为-1+2i
C.向量对应的复数为1+2i
D.||=
15.(2024上海建平中学期中)在平面直角坐标系中,O是坐标原点,向量=-3cos ,3sin ,将绕点O按顺时针方向旋转得到向量,则点B的坐标是　　　　.
答案与分层梯度式解析
7.3*　复数的三角表示
7.3.1　复数的三角表示式
7.3.2　复数乘、除运算的三角表示及其几何意义
基础过关练
1.C 2.B 3.BCD 4.B 6.D 7.B 8.AD 13.A
14.ABD
1.C　因为z=-sin +icos =cos+isin=cos +isin ,且∈[0,2π),所以复数z的辅角主值为.故选C.
2.B　因为z===2i(1-i)=2+2i,所以=2-2i,
则r==2,cos θ==,
因为2-2i在复平面内对应的点位于第四象限,所以arg(2-2i)=,故选B.
3.BCD　因为z=1+i,所以=1-i,故A错误;
|z|==,故B正确;
z=,所以arg z=,故C正确;
===1+i,故D正确.
故选BCD.
4.B　设z=a+bi(a,b∈R),
∵z-1=a-1+bi的一个辐角为,∴=tan=-,①
∵z+1=a+1+bi的一个辐角为,
∴=tan=,②
联立①②,得∴z=-+i.故选B.
5.解析　(1)z1=3cos+i=+i.
(2)z2=cos+i=--i.
(3)z3=2cos-i=-+i.
6.D　z1z2=×
=
==+i.故选D.
7.B　∵1-i=2=2,
∴=22 022cos+isin=22 022.故选B.
8.AD　设复数z1=cos θ1+isin θ1,z2=cos θ2+isin θ2,θ1,θ2∈R,
因为·=0,所以⊥,即θ1-θ2=±+2kπ,k∈Z,
所以==cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)=cos+isin=±i.故选AD.
9.答案　-+i
解析　因为ω=-+i=cos +isin ,
所以ω10==cos +isin =cos +isin =-+i.
10.答案　
解析　∵z=+i,∴=-i,
∴===cos+isin=cos+isin,
∴复数z=+i与它的共轭复数对应的两个向量的夹角为.
11.解析　(1)8×4
=32cos+isin
=32=32
=32=16+16i.
(2)(cos 225°+isin 225°)÷[(cos 150°+isin 150°)]
=[cos(225°-150°)+isin(225°-150°)]
=(cos 75°+isin 75°)=
=+i.
(3)4÷
=4(cos 0+isin 0)÷
=4=2-2i.
12.解析　(1)z=1-i在复平面内对应的点为(1,-1),
所以z对应的向量如图所示.
易得r==,设z的辐角的主值为θ,<θ<2π,
则tan θ=-1,所以θ=,
所以1-i=.
(2)因为cos(π+θ1+θ2)=-cos(θ1+θ2)=,
所以cos(θ1+θ2)=-.
因为θ1,θ2∈,所以θ1+θ2∈,
所以sin(θ1+θ2)===,
所以z1z2=(cos θ1+isin θ1)(cos θ2+isin θ2)
=cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)=-+i.
13.A　把复数1+2i对应的向量绕原点O按逆时针方向旋转90°,所得的向量对应的复数为(1+2i)·(cos 90°+isin 90°)=(1+2i)i=-2+i.故选A.
14.ABD　把向量绕点O按逆时针方向旋转45°,再把模变为原来的倍即得,
故向量对应的复数为(2+i)(cos 45°+isin 45°)=(2+i)(1+i)=1+3i,故点B对应的复数为1+3i,故A正确;
把向量绕点O按逆时针方向旋转90°即得向量,故对应的复数为(2+i)(cos90°+isin 90°)=(2+i)i=-1+2i,故B正确;
由四边形OABC是正方形可知,对应的复数为对应的复数,即-(2+i)=-2-i,故C不正确;
||=||=,故D正确.
故选ABD.
15.答案　
解析　设向量对应的复数是z,
则z=-3cos +3isin =3,
所以对应的复数是=
=3
=3=-+i,
所以点B的坐标是.
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