2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

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2025人教A版高中数学必修第二册
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积
1.(2024浙江杭州期中)已知圆柱的底面直径和高均为2,则该圆柱的表面积为(　　)
A.4π　　B.6π　　C.8π　　D.16π
2.(2024四川内江第六中学月考)等腰直角三角形的直角边长为1,现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周,则所形成的几何体的表面积为(　　)
A.π　　B.π或(1+)π
C.2π　　D.2π或(2+)π
3.(2024江苏南通月考)四等分切割如图所示的圆柱,再将其重新组合成一个新的几何体,若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则原圆柱的侧面积是(　　)
A.10π　　B.20π　　C.10　　D.20
4.(2024山西吕梁模拟)已知圆台O1O2的高为3,中截面(过高的中点且垂直于轴的截面)的半径为3,若中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分,则该圆台的母线长为　　　　.
题组二　圆柱、圆锥、圆台的体积
5.(2024湖南长沙期中)若一个圆台的两个底面半径分别为1和2,侧面积为3π,则它的体积为(　　)
A.3π　　B.　　C.　　D.7π
6.(2023江苏徐州期中)降雨量:从天空降落到地面上的液态或固态(经融化后)水,未经蒸发、渗透、流失,而在水平面上积聚的深度.降雨量以mm为单位,气象观测中一般取一位小数.现某地10 min的降雨量为13.1 mm,小王在此地此时间段内用直径为10 cm的圆柱形量筒收集的雨水的体积约为(参考数据:π≈3.14)　(　　)
A.1.02×103 mm3　　B.1.03×103 mm3
C.1.02×105 mm3　　D.1.03×105 mm3
7.(2024黑龙江哈尔滨第三十二中学期中)《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽之作,第十一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥.若一个直角圆锥的侧面积为9π,则该圆锥的体积为　　　　.
8.(2024山东泰安期中)如图,从底面半径为2a,高为a的圆柱中挖去一个底面半径为a且与圆柱等高的圆锥.
(1)求原圆柱的表面积S1与挖去圆锥后的几何体的表面积S2;
(2)求挖去圆锥后的几何体的体积V.
题组三　球的表面积和体积
9.(多选题)(2024福建福州屏东中学期中)若一个球的直径为2R,一个圆柱和一个圆锥的底面直径、高都与球的直径相等,则下列结论正确的是(　　)
A.圆柱的侧面积为2πR2
B.圆锥的侧面积为2πR2
C.圆柱的侧面积与球的表面积相等
D.圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2
10.(2024天津塘沽一中等十二校联考)圆柱容球定理是古希腊数学家阿基米德发现并证明的.如图,圆柱内有一个内切球,球的直径恰好与圆柱的高相等,在当时并不知道球的表面积和体积公式的情况下,阿基米德用穷竭法解决面积问题,用杠杆法解决体积问题.我们现在来计算一下圆柱与球的表面积的比值和圆柱与球的体积的比值分别为(　　)
A.,　　B.,　　C.,　　D.,
11.(2024黑龙江双鸭山第一中学期中)如图,过球O的半径OP的中点O1,作垂直于该半径的平面,所得截面圆的半径为,则球O的体积是　　　　.
题组四　简单组合体的表面积和体积
12.(2024辽宁大连模拟)一个陀螺的直观图如图,已知圆柱体部分的高BC=6 cm,底面圆的直径AB=12 cm,圆锥体部分的高CD=4 cm,则这个陀螺的表面积(单位:cm2)是(　　)
A.(72+12)π　　B.(84+24)π　　
C.(108+12)π　　D.(108+24)π
13.(2024天津第二南开学校期中)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为3的正方形,EF∥AB,EF=,EF上任意一点到平面ABCD的距离均为2,则该多面体的体积为(　　)
A.　　B.　　C.12　　D.
14.(2024安徽合肥普通高中六校联盟期中)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=4,BC=5,若将该图形中阴影部分(梯形剪去一个扇形)绕AB所在直线旋转一周,求形成的几何体的表面积与体积.
能力提升练
题组一　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积
1.(2024河南南阳第一中学月考)如图,已知AC,BD为圆锥SO底面圆的两条互相垂直的直径,若SO=,四棱锥S-ABCD的体积为,则圆锥SO的轴截面面积为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.2
2.(多选题)(2024广东惠州模拟)某班级到一工厂劳动实践,加工出如图所示的圆台O1O2,在轴截面ABCD中,AB=AD=BC=2 cm,且CD=2AB,则(　　)
A.该圆台的高为1 cm
B.该圆台的轴截面面积为3 cm2
C.该圆台的侧面积为6π cm2
D.该圆台的体积为 cm3
3.(多选题)(2024河南郑州月考)如图所示的是底面半径为3的圆锥,将其放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥恰好滚动了3周,则(　　)
A.圆锥的母线长为3
B.圆锥的表面积为36π
C.圆锥的侧面展开图的圆心角为60°
D.若一蚂蚁从点A出发沿圆锥的侧面爬行一周回到点A,则爬行的最短距离为9
4.如图所示,已知母线长为4的圆锥AO,其侧面展开图为半圆,BC为底面圆的直径.
(1)求圆锥的底面积;
(2)在该圆锥内按如图所示的方式放置一个圆柱OO1,当圆柱的侧面积最大时,求圆柱的体积.
题组二　球的表面积和体积
5.(2024河北邢台模拟)如图,正四棱台容器ABCD-A1B1C1D1的高为12 cm,AB=10 cm,A1B1=2 cm,容器中水的高度为6 cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹没),水位上升了3 cm,若忽略该容器壁的厚度,则小铁球的半径为(　　)
A. cm　　B. cm　　C. cm　　D. cm
6.(2024云南昆明模拟)某艺术吊灯如图1所示,图2是其示意图.底座ABCD是边长为4的正方形,垂直于底座且长度为6的四根吊挂线AA1,BB1,CC1,DD1一头连着底座,另一头连在球O的表面上(底座厚度忽略不计),若该艺术吊灯总高度为14,则球O的体积为(　　)
　　
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2024海南海口部分学校期中)球面被平面所截后剩下的曲面叫做球冠(如图1),截得的圆面叫做球冠的底,垂直于圆面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球的半径为R,球冠的高为h,则球冠的表面积为2πRh.某同学制作了一个工艺品,如图2所示,该工艺品可以看作一个球被一个棱长为4的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合),即一个球去掉了6个球冠后剩下的部分.若其中一个截面圆的周长为2π,则该工艺品的表面积为(　　)
　　
A.20π　　B.(24-34)π　　
C.16π　　D.12π
题组三　简单组合体的表面积和体积
8.(多选题)(2024浙江杭州外国语学校期中)《九章算术》中记载了一种称为“曲池”的几何体,该几何体是上、下底面均为扇环形的柱体(扇环是指圆环被扇形截得的部分).现有一个如图所示的曲池,AA1垂直于底面,AA1=5,底面扇环所对的圆心角为,弧AD的长度是弧BC长度的3倍,CD=2,则下列说法正确的是(　　)
A.弧AD的长度为
B.曲池的体积为
C.曲池的表面积为20+14π
D.三棱锥A-CC1D的体积为5
9.(教材深研拓展)我国南北朝时期的数学家祖暅在计算球的体积时,提出了祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”指水平截面的面积,“势”指高,意思是:两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.利用祖暅原理可以将半球的体积转化为与其同底等高的圆柱和圆锥的体积之差,图1是一种“四脚帐篷”的示意图,其中曲线AMC和BMD均是以2为半径的半圆,平面AMC和平面BMD均垂直于平面ABCD,用任意平行于底面ABCD的平面截帐篷,所得截面四边形均为正方形.类比利用祖暅原理求半球的体积的计算方法,可以构造一个与帐篷同底等高的正四棱柱和一个倒放的同底等高的正四棱锥(如图2),则该帐篷的体积为　　　　.
　　
10.(2023浙江杭州第四中学期中)如图所示,以线段AB为直径的半圆上有一点C,且BC=1,AC=,将图中阴影部分绕AB所在直线旋转180°得到一个几何体.
(1)求该几何体的体积;
(2)求该几何体的表面积.
答案与分层梯度式解析
8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
基础过关练
1.B 2.B 3.A 5.B 6.D 9.CD 10.C 12.C
13.B
1.B　依题意圆柱的底面半径r=1,高h=2,
所以圆柱的表面积S=2πr2+2πrh=2π×12+2π×1×2=6π.故选B.
2.B　需要分类讨论,一种是绕直角边所在直线旋转,另一种是绕斜边所在直线旋转.
如果绕直角边所在直线旋转,那么形成的几何体是圆锥,圆锥的底面半径r=1,高h=1,母线长l==,
故所形成的几何体的表面积为πrl+πr2=π×1×+π×12=(1+)π;
如果绕斜边所在直线旋转,那么形成的几何体是由两个圆锥组合而成的,每个圆锥的底面半径都等于直角三角形斜边上的高,则半径R=,两个圆锥的母线长都等于直角三角形的直角边长,即母线长L=1,
故所形成的几何体的表面积为2πRL=2π××1=π.
综上所述,所形成的几何体的表面积为π或(1+)π.故选B.
3.A　设原圆柱的底面半径为r,高为h,依题意可得2rh=10,所以原圆柱的侧面积为2πrh=10π.故选A.
4.答案　5
解析　如图,设圆台的上、下底面圆的半径分别为r,R,母线长为l,因为中截面的半径为3,所以r+R=2×3=6.
因为中截面将该圆台的侧面分成了面积比为1∶2的两部分,
所以==,
解得r=1,所以R=5.
又圆台的高为3,所以圆台的母线长为==5.
5.B　设该圆台的母线长为l,高为h,
则其侧面积为π×(1+2)×l=3π,
解得l=,
则h==1,
所以圆台的体积为π×(12+1×2+22)×1=.
故选B.
6.D　直径为10 cm的圆柱形量筒的半径为5 cm=50 mm,
故所收集的雨水的体积V≈3.14×502×13.1=102 835≈1.03×105(mm3).故选D.
7.答案　9π
解析　设该圆锥底面半径为r,高为h,母线长为l,根据直角圆锥的轴截面为等腰直角三角形可得h=r,l=r,
则圆锥的侧面积为πrl=πr2=9π,所以r=3,
所以圆锥的体积为πr2h=π×32×3=9π.
8.解析　(1)由题意知S1=2π×2a×a+2π×(2a)2=(4+8)πa2,
挖去的圆锥的母线长为=a,
所以S2=S1+π×a×a-π(a)2=(4+3+5)πa2.
(2)原圆柱的体积V1=π×(2a)2×a=4πa3,
挖去的圆锥的体积V2=×π××a=πa3,
所以剩余几何体的体积V=4πa3-πa3=3πa3.
9.CD　由题意得圆柱的侧面积为2πR·2R=4πR2,A错误;
圆锥的母线长l==R,则侧面积为πRl=πR2,B错误;
球的表面积为4πR2,故圆柱的侧面积与球的表面积相等,C正确;
∵V圆柱=πR2·2R=2πR3,V圆锥=πR2·2R=πR3,V球=πR3,
∴V圆柱∶V圆锥∶V球=2πR3∶πR3∶πR3=3∶1∶2,D正确.
故选CD.
10.C　设球的半径为R,则圆柱的底面圆的半径为R,高为2R,
所以圆柱的表面积S1=2πR2+2πR·2R=6πR2,体积V1=πR2·2R=2πR3,
球的表面积S2=4πR2,体积V2=πR3,
所以==,==.
11.答案　π
解析　设球O的半径为R,则R2-=()2,解得R=2或R=-2(舍去),
∴球O的体积V=πR3=π.
12.C　由题意可知圆锥体部分的母线长为=2(cm),
所以这个陀螺的表面积是π×62+2π×6×6+π×2×6=(108+12)π(cm2).故选C.
13.B　如图所示,连接EB,EC,AC,
则该多面体的体积V=VE-ABCD+VF-EBC,
易得VE-ABCD=×32×2=6.
∵AB=2EF,EF∥AB,∴S△EAB=2S△BEF,
∴VF-EBC=VC-EFB=VC-ABE=VE-ABC=×VE-ABCD=.
故该多面体的体积V=VE-ABCD+VF-EBC=6+=.
14.解析　由题意知,形成的几何体是一个圆台从上面挖去一个半球,其表面由圆台下底面、侧面和一半球面组成.
在直角梯形ABCD中,过D点作DE⊥BC,垂足为E,
则DE=AB=4,CE=BC-AD=3.
在Rt△DEC中,CD==5,
则S圆台侧=π×(2×5+5×5)=35π,
又S圆台下底面=25π,S半球=×4π×22=8π,
∴所求几何体的表面积为8π+35π+25π=68π.
∵圆台的体积V=π×(22+2×5+52)×4=52π,半球的体积V1=××π×23=π,
∴所求几何体的体积为V-V1=π.
能力提升练
1.A 2.BCD 3.BD 5.A 6.C 7.B 8.ACD
1.A　设圆锥底面圆的半径为R,易知四边形ABCD为正方形,且边长为R,
则四棱锥S-ABCD的体积为×(R)2×=,
解得R=1或R=-1(舍去),
所以圆锥SO的轴截面面积为×2R×=.
故选A.
2.BCD　作BE⊥CD于E,则CE==1(cm),则BE==(cm),故圆台的高为 cm,A错误;
圆台的轴截面面积为×(2+4)×=3(cm2),B正确;
圆台的侧面积为π×(1+2)×2=6π(cm2),C正确;
圆台的体积为××(π+4π+)=(cm3),D正确.
故选BCD.
3.BD　设圆锥的母线长为l,则以S为圆心,SA为半径的圆的面积为πl2,圆锥的侧面积为3πl,
因为圆锥在平面内转回到原位置时,圆锥滚动了3周(相当于侧面展开了3次),
所以圆锥的侧面展开图的圆心角为°=120°,πl2=3×3πl,解得l=9,故A,C错误;
圆锥的表面积为3×π×9+π×32=36π,故B正确;
将圆锥沿SA展开,如图,连接AA',则△ASA'为等腰三角形,
所以蚂蚁爬行的最短距离为AA'=2×9×sin 60°=9,故D正确.故选BD.
4.解析　(1)由题意得圆锥的侧面展开图是以4为半径的半圆,设OB=R,因为半圆的弧长为4π,
所以2πR=4π,所以R=2,
故圆锥的底面积为πR2=12π.
(2)设圆柱的高OO1=h,OD=r,
在Rt△AOB中,AO==6,
易知△AO1D1∽△AOB,
所以=,即=,所以h=6-r,
所以圆柱的侧面积S=2πrh=2πr(6-r)=-2π×(r2-2r)=-2π(r-)2+6π,易得0所以当r=时,圆柱的侧面积最大,
此时h=3,所以V圆柱=πr2h=9π.
5.A　由题意可得未放入小铁球时水面正方形的边长为×(2+10)=6(cm),水的体积V1=×(62+102+)×6=392(cm3),
放入铁球后,水的高度为9 cm,过A1B1作垂直于底面的截面A1B1FE,设水面与A1E交于点M,与B1F交于点N,如图,过B1作B1H⊥EF于H,交MN于G,
则EF=10 cm,B1H=12 cm,GH=9 cm,
所以HF=4 cm,==,可得GN=1 cm,则MN=4 cm,
所以水和57个小球的体积之和为×(42+102+)×9=468(cm3),
故放入的57个小铁球的体积为468-392=76(cm3),
设小铁球的半径为r cm,则57×πr3=76,解得r=.故选A.
6.C　过B,D,O作几何体的截面,如图所示,连接B1D1,
由已知得四边形A1B1C1D1是边长为4的正方形,则B1D1=8,
设正方形A1B1C1D1的外接圆圆心为O1,则D1O1=B1O1=4,
连接O1O并延长,交球面于点E,则OO1⊥B1D1,
因为该艺术吊灯总高度为14,DD1=6,所以O1E=8,
设球O的半径为R,则OO1=8-R,
连接OB1,在Rt△OO1B1中,(8-R)2+42=R2,解得R=5,
所以球O的体积为πR3=π×53=.故选C.
7.B　设截面圆的半径为r,球的半径为R,球冠的高为h,
易知球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半,即为2,
因为截面圆的周长为2π,所以2πr=2π,解得r=1,故R2=22+12=5,得R=,
所以球的表面积S=20π,h=R-2=-2,
则所截的一个球冠的表面积S1=2πRh=2π××(-2)=10π-4π,
又一个截面圆的面积为π×12=π,
所以工艺品的表面积S'=S-6S1+6π=20π-60π+24π+6π=(24-34)π.故选B.
8.ACD　设弧AD所在圆的半径为R,弧BC所在圆的半径为r,
∵弧AD的长度是弧BC长度的3倍,∴R=3×r,即R=3r,∴CD=R-r=2r=2,∴r=1,R=3,
∴弧AD的长度为,故A正确;
曲池的体积为×AA1=π×32-π×12×5=10π,故B错误;
曲池的表面积为×2+×5+2×5×2=×2+×3+×1×5+20=20+14π,故C正确;
==××2×3×5=5,故D正确.
故选ACD.
9.答案　
解析　设平面截帐篷所得截面为四边形A'B'C'D',截面与底面的距离为h,正方形ABCD的中心为O,正方形A'B'C'D'的中心为O',连接OO',OC',A'C',如图①,则OC'=2,O'C'=,B'C'=,
所以截面A'B'C'D'的面积为2(4-h2).
如图②,设平面截正四棱柱所得截面为四边形A1B1C1D1,截正四棱锥所得截面为四边形A2B2C2D2,正四棱柱的底面中心为O1,四边形A2B2C2D2的中心为O2,O1O2=h,
在正四棱柱中,底面正方形A0B0C0D0的边长为2,高为2,A0O1=2,
所以∠A0O1A2=∠C0O1C2=45°,所以∠A2O1C2=90°,则△A2O1C2为等腰直角三角形,
所以A2C2=2O1O2=2h,所以四边形A2B2C2D2的边长为h,所以四边形A2B2C2D2的面积为2h2,
所以图②中阴影部分的面积为-=8-2h2,与截面A'B'C'D'的面积相等,
(先证明等高处的水平截面截两个几何体的截面面积相等,再利用祖暅原理得帐篷的体积为正四棱柱的体积减去正四棱锥的体积)
故V帐篷=V正四棱柱-V正四棱锥=(2)2×2-×(2)2×2=.
10.解析　(1)所得几何体为半球挖掉两个半圆锥,过点C作CO1⊥AB,垂足为O1,如图.
因为AC=,BC=1,所以AB=2,故CO1=.
以AB所在直线为轴将Rt△AO1C旋转180°得到一个半圆锥,其体积V1=×π×C×AO1,
以AB所在直线为轴将Rt△BO1C旋转180°得到一个半圆锥,其体积V2=×π×C×BO1,
则V1+V2=π×C×AO1+π×C×BO1=π×C×AB=π××2=,
以AB所在直线为轴将半圆旋转180°得到一个半球,其体积V3=×π×13=π,
故V几何体=V3-V1-V2=π-=π.
(2)以AB所在直线为轴将Rt△AO1C旋转180°得到一个半圆锥,其侧面积S1=×π××=π,
以AB所在直线为轴将Rt△BO1C旋转180°得到一个半圆锥,其侧面积S2=×π××1=π,
以AB所在直线为轴将半圆旋转180°得到一个半球,其表面积S3=×4π×12=2π,
该几何体的表面中非曲面的部分为一个圆去掉两个三角形,其面积S4=π×12-2××1×=π-,
故S几何体=S1+S2+S3+S4=π+π+2π+π-=π-.
易错警示　这个几何体是旋转180°得到的,在计算体积的时候,不要忘记乘;在求表面积的时候,需要求四个部分,即两个半圆锥的侧面积S1、S2,半球的表面积S3,圆挖掉两个三角形后的面积S4,在计算的时候S4容易被忽略,需要注意.
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