2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--8.5.1　直线与直线平行

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2025人教A版高中数学必修第二册
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
基础过关练
题组一　基本事实4及其应用
1.(2024上海财经大学附属中学期末)若直线a∥b,c,d为不重合的两条直线,且a∥c,b∥d,则c与d的位置关系是　　　　.
2.(2024广西南宁第四中学开学考试)如图,在正方体中,A,B,C,D分别是顶点或所在棱的中点,则A,B,C,D四点共面的图形是　　　　(填上所有正确答案的序号).
　　　
　　　
3.如图所示,P是△ABC所在平面外一点,D,E分别是△PAB,△PBC的重心,求证:DE∥AC,DE=AC.
题组二　等角定理及其应用
4.已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',则∠B'A'C'的大小为(　　)
A.30°　　B.150° C.30°或150°　　D.大小无法确定
5.(多选题)(2024吉林通化梅河口第五中学期中)下列说法中正确的是(　　)
A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等
B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等
C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等
D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行
6.(2023山东德州月考)如图,在四面体A-BCD中,M,N,P,Q,E分别是AB,BC,CD,AD,AC的中点,则下列说法中不正确的是(　　)
A.M,N,P,Q四点共面　　
B.∠QME=∠CBD
C.△BCD∽△MEQ　　
D.四边形MNPQ为梯形
7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点.求证:
(1)四边形BB1M1M是平行四边形;
(2)∠BMC=∠B1M1C1.
答案与分层梯度式解析
8.5　空间直线、平面的平行
8.5.1　直线与直线平行
基础过关练
4.C 5.BD 6.D
1.答案　c∥d
解析　因为a∥b,且a∥c,
所以b∥c或b与c重合,
又因为b∥d,所以c∥d或c与d重合,
又因为c,d为不重合的两条直线,所以c∥d.
2.答案　①③④
解析　对于题图①,如图a,取GD的中点F,连接BF,EF,
∵B,F均为所在棱的中点,∴BFHG,
又∵HGAE,∴BFAE,
∴四边形ABFE为平行四边形,∴AB∥EF.
同理,CD∥EF,
∴AB∥CD,故A,B,C,D四点共面,题图①符合.
对于题图②,显然AB与CD异面,故题图②不符合.
对于题图③,如图b,连接AC,BD,EF,
∵BEFD,∴四边形BDFE为平行四边形,
∴BD∥EF.
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,
∴BD∥AC,故A,B,C,D四点共面,题图③符合.
对于题图④,如图c,连接AC,BD,EF,GH,
∵GEHF,∴四边形GEFH为平行四边形,
∴GH∥EF,
∵A,C分别为所在棱的中点,∴AC∥EF,∴GH∥AC,
∵B,D分别为所在棱的中点,∴BD∥GH,
∴BD∥AC,故A,B,C,D四点共面,题图④符合.
故答案为①③④.
3.证明　如图,连接PD,PE并延长,分别交AB于点G,交BC于点H,
则G,H分别是AB,BC的中点,
连接GH,则GH∥AC,且GH=AC.
在△PHG中,==,
所以DE∥GH,且DE=GH,
所以DE∥AC,DE=AC.
4.C　若两个角的两边分别对应平行,则这两个角相等或互补,所以∠B'A'C'的大小为30°或150°.故选C.
5.BD　由等角定理可知,A错误,B正确;由基本事实4可知,D正确;对于C,如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但∠A1D1C1=,∠A1BC1=,故C错误.故选BD.
6.D　在△ABC中,由中位线定理得MN∥AC,且MN=AC,同理,在△ADC中,QP∥AC,且QP=AC,
所以MN∥QP,MN=QP,故四边形MNPQ为平行四边形,所以M,N,P,Q四点共面,A中说法正确,D中说法不正确;
在△ABC中,由中位线定理得ME∥BC,
在△ABD中,由中位线定理得MQ∥BD,
所以由等角定理知∠QME=∠DBC,B中说法正确;
在△ADC中,由中位线定理得QE∥DC,所以由等角定理知∠QEM=∠DCB,又∠QME=∠DBC,
所以△BCD∽△MEQ,C中说法正确.故选D.
7.证明　(1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分别是棱AD,A1D1的中点,∴MM1AA1,
又AA1BB1,∴MM1BB1,
∴四边形BB1M1M是平行四边形.
(2)证法一:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,∴B1M1∥BM.
同(1)可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1∥CM,
又∠BMC的两边和∠B1M1C1的两边方向相同,
∴∠BMC=∠B1M1C1.
证法二:由(1)知四边形BB1M1M是平行四边形,
∴B1M1=BM.
同(1)可得四边形CC1M1M是平行四边形,
∴C1M1=CM,
又∵B1C1=BC,∴△BCM≌△B1C1M1(SSS),
∴∠BMC=∠B1M1C1.
方法归纳　证明两个角相等的常用方法:(1)三角形相似;(2)三角形全等;(3)等角定理.
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