2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--8.5.3　平面与平面平行

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2025人教A版高中数学必修第二册
8.5.3　平面与平面平行
基础过关练
题组一　平面与平面平行的判定
1.(2024吉林洮南第一中学期中)设α,β为两个不同的平面,则α∥β的充要条件是(　　)
A.α内有无数条直线与β平行
B.α内有两条相交直线与β平行
C.α,β平行于同一条直线
D.以上答案都不对
2.(2023安徽马鞍山第二中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,R,Q,M,N,G,H均为所在棱的中点,则阴影平面与平面PQR平行的是(　　)
　　
　　
3.(2024广东深圳高级中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,F为CC1的中点.
(1)求证:BD1∥平面AEC;
(2)求证:平面AEC∥平面BFD1.
题组二　平面与平面平行的性质
4.(2024山东省实验中学月考)设α,β,γ是三个不同的平面,l,m是两条不同的直线,且α∩γ=l,β∩γ=m,则“l∥m”是“α∥β”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.(2024湖南株洲第二中学开学考试)已知正方体ABCD-A1B1C1D1,平面AB1C与平面ADD1A1的交线为l,则(　　)
A.l∥A1D　　B.l∥B1D　　C.l∥C1D　　D.l∥D1D
6.(2024北京理工大学附属中学月考)已知P为△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,且α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C',若PA'∶AA'=2∶3,则S△A'B'C'∶S△ABC=(　　)
A.2∶3　　B.2∶5　　C.4∶9　　D.4∶25
7.(教材习题改编)如图,平面α∥β∥γ,直线l,m分别与α,β,γ相交于点A,B,C和点D,E,F.若=,DF=20,则EF=　　　　.
能力提升练
题组一　平面与平面平行的判定
1.(多选题)(2023安徽马鞍山二中期中)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱与底面垂直,D,E,F,M,N分别是BC,B1C1,AA1,CC1,A1C的中点,则下列判断错误的是(　　)
EF∥平面ADB1
B.A1M∥平面ADB1
平面EMN∥平面ADB1
D.平面A1EN∥平面ADB1
2.(2024四川达州外国语学校月考)如图所示,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,AB=2,PA=4,PB=PD=2,AC与BD相交于点O,E为PD的中点.
(1)求证:EO∥平面PBC;
(2)PA上是否存在点F,使平面OEF∥平面PBC 若存在,请指出F的位置,并给予证明;若不存在,请说明理由.
题组二　平面与平面平行的性质
3.(2024河南郑州外国语学校期中)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是边长为1的正方形,点E是棱PD上一点,PE=PD,若=λ且满足BF∥平面ACE,则实数λ=　　　　.
4.(2024广东东莞实验中学期中)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,当点Q在什么位置时,平面D1BQ与平面PAO平行
题组三　空间直线、平面平行的综合问题
5.(2024四川南充高级中学月考)已知a,b,c为三条不同的直线,α,β,γ为三个不同的平面,则下列说法正确的是(　　)
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a α,b β,a∥b,则α∥β
C.若α∥β,a∥α,则a∥β
D.若α∩β=a,β∩γ=b,α∩γ=c,a∥b,则b∥c
6.(2023河南新乡模拟)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中点,过A,D1,E三点的截面把正方体ABCD-A1B1C1D1分成两部分,则这两部分中大的体积与小的体积的比值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2024山东枣庄期中)如图所示,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,Q是侧面BCC1B1内一点,若A1Q∥平面AEF,则线段A1Q长度的最大值与最小值之和为(　　)
A.+　　B.　　C.　　D.
8.(多选题)(2024福建福州第一中学月考)已知三棱台ABC-A'B'C'的上、下底面边长之比为1∶2,棱AB,BC,AC的中点分别为M,P,N,则下列结论错误的有(　　)
A.A'N∥PC'　　
B.A'P与AC为异面直线
C.AB∥平面A'C'P　　
D.平面A'MN∥平面BCC'B'
9.如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是平行四边形,E,F,G分别为BC,PB,AD的中点.
(1)证明:EF∥平面PAC;
(2)证明:平面PCG∥平面AEF;
(3)在线段BD上找一点H,使得FH∥平面PCG,并说明理由.
10.(2024广东广州七中期中)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P,Q分别为BD,CD1上的点,且==.
(1)求证:PQ∥平面A1D1DA;
(2)若R是AB上的点,的值为多少时,平面PQR∥平面A1D1DA 请给出证明.
答案与分层梯度式解析
8.5.3　平面与平面平行
基础过关练
1.B 2.D 4.B 5.A 6.D
1.B　由面面平行的判定定理知B正确;对于A,若α内的无数条直线均平行,则无法推出α∥β;
对于C,如图,α,β平行于同一条直线m,但α,β不平行.故选B.
2.D　易得经过P,Q,R三点的平面即为平面PSRHNQ(S为AA1的中点),如图所示.
对于A,MC1与QN相交,所以A不符合;
对于B,C,点N在平面PQR上,所以B,C不符合;
对于D,因为A1C1∥RH,A1C1 平面PQR,RH 平面PQR,所以A1C1∥平面PQR,同理,BC1∥平面PQR,又因为A1C1∩BC1=C1,A1C1,BC1 平面A1C1B,
所以平面A1C1B∥平面PQR,所以D符合.故选D.
3.证明　(1)如图,连接BD,交AC于点O,连接OE,则O为BD的中点.
因为E为DD1的中点,所以BD1∥OE,
又因为BD1 平面AEC,OE 平面AEC,
所以BD1∥平面AEC.
(2)因为CC1∥DD1,且CC1=DD1,E为DD1的中点,F为CC1的中点,所以CF∥D1E,且CF=D1E,
所以四边形CED1F为平行四边形,所以D1F∥CE.
又因为D1F 平面AEC,CE 平面AEC,
所以D1F∥平面AEC.由(1)知BD1∥平面AEC,
又BD1∩D1F=D1,BD1,D1F 平面BFD1,
所以平面AEC∥平面BFD1.
4.B　由α∩γ=l,β∩γ=m,l∥m推不出α∥β,故充分性不成立;由面面平行的性质定理知必要性成立,故“l∥m”是“α∥β”的必要不充分条件.故选B.
5.A　∵平面BCC1B1∥平面ADD1A1,平面BCC1B1∩平面AB1C=B1C,平面AB1C∩平面ADD1A1=l,∴l∥B1C.
对于A,∵A1D∥B1C,l∥B1C,∴l∥A1D,故A正确;
对于B,∵B1D与B1C相交,l∥B1C,∴l与B1D不平行,故B错误;
对于C,∵C1D与B1C不平行,l∥B1C,∴l与C1D不平行,故C错误;
对于D,∵DD1与B1C不平行,l∥B1C,∴l与DD1不平行,故D错误.
故选A.
6.D　∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB,
∴根据面面平行的性质定理可得AB∥A'B',
又PA'∶AA'=2∶3,∴==.
同理可得,BC∥B'C',AC∥A'C'.
根据等角定理可得∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∠A'C'B'=∠ACB,则△ABC∽△A'B'C'.
故S△A'B'C'∶S△ABC=A'B'2∶AB2=4∶25.故选D.
7.答案　15
解析　利用平行平面分线段成比例,得==,又DF=20,所以=,解得EF=15.
能力提升练
1.ABC 5.D 6.A 7.C 8.AC
1.ABC　连接AC1,ED,如图所示,
易得N为AC1的中点,
又E是B1C1的中点,所以EN∥AB1,
又因为AB1 平面ADB1,EN 平面ADB1,
所以EN∥平面ADB1.
易知四边形BCC1B1是平行四边形,又D,E分别为BC,B1C1的中点,所以DEBB1AA1,
所以四边形ADEA1是平行四边形,所以A1E∥AD,
又AD 平面ADB1,A1E 平面ADB1,
所以A1E∥平面ADB1,
又A1E,EN 平面A1EN,A1E∩EN=E,
所以平面A1EN∥平面ADB1,故D中判断正确.
因为EF,A1M,MN均与平面A1EN相交,所以EF,A1M,MN均与平面ADB1相交,所以平面EMN与平面ADB1不平行,故A,B,C中判断不正确.
故选ABC.
2.解析　(1)证明:因为O,E分别是BD,PD的中点,
所以EO∥PB,
又EO 平面PBC,PB 平面PBC,
所以EO∥平面PBC.
(2)存在,点F是PA的中点.连接EF,OF,如图所示,
因为O,F分别是AC,AP的中点,
所以OF∥PC,又OF 平面PBC,PC 平面PBC,
所以OF∥平面PBC,
由(1)可知EO∥平面PBC,又OF∩EO=O,且OF,EO 平面OEF,
所以平面OEF∥平面PBC,
所以PA上存在点F,使平面OEF∥平面PBC,F为PA的中点.
3.答案　
解析　如图,连接BD,交AC于点O,连接OE,
由四边形ABCD是正方形,得BO=OD.
在线段PE上取一点G,使得GE=ED,连接BG,FG,易知BG∥OE,又因为OE 平面ACE,BG 平面ACE,所以BG∥平面ACE,
又BF∥平面ACE,BG∩BF=B,BG,BF 平面BGF,所以平面BGF∥平面ACE,
又平面PCD∩平面ACE=EC,平面PCD∩平面BGF=GF,所以GF∥EC,所以=,
因为GE=ED,PE=PD,所以=,即λ==.
4.解析　如图,设平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,
因为平面D1BQ∩平面BCC1B1=BQ,平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以BQ∥D1M.
假设平面D1BQ∥平面PAO,
则由平面D1BQ∩平面ADD1A1=D1M,平面PAO∩平面ADD1A1=AP,可得AP∥D1M,
所以BQ∥AP,则A,B,Q,P四点共面.
连接PQ,因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABQP∩平面ABB1A1=AB,平面ABQP∩平面CDD1C1=PQ,所以PQ∥AB,
又AB∥CD,所以PQ∥CD.
又因为P为DD1的中点,
所以Q为CC1的中点.
故当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.
5.D　若a∥b,b α,则a∥α或a α,故A错误;
若a α,b β,a∥b,则α∥β或α与β相交,故B错误;
若α∥β,a∥α,则a∥β或a β,故C错误;
对于D,∵a∥b,a γ,b γ,∴a∥γ,
又a α,且α∩γ=c,∴a∥c,∴b∥c,故D正确.
故选D.
6.A　如图,连接BC1,设平面AD1E与BC交于点F,连接EF,则平面AD1E∩平面BCC1B1=EF,
因为平面BCC1B1∥平面ADD1A1,平面AD1E∩平面ADD1A1=AD1,所以EF∥AD1,
又AD1∥BC1,所以EF∥BC1,
又E是棱CC1的中点,
所以F是BC的中点,则截面为梯形AD1EF.
易知几何体ADD1-FCE为棱台,S△CEF=×1×1=,=×2×2=2,
故=××2=,
V剩余=V正方体-=8-=,故所求体积的比值为.
故选A.
7.C　分别取棱BB1,B1C1的中点M,N,连接A1M,A1N,MN,BC1,NE,如图所示,
则MN∥BC1,EF∥BC1,∴MN∥EF,
又MN 平面AEF,EF 平面AEF,∴MN∥平面AEF.
易知AA1∥NE,AA1=NE,∴四边形AENA1为平行四边形,∴A1N∥AE,
又A1N 平面AEF,AE 平面AEF,
∴A1N∥平面AEF,
又A1N∩MN=N,A1N,MN 平面A1MN,
∴平面A1MN∥平面AEF,
∵Q是侧面BCC1B1内一点,且A1Q∥平面AEF,
∴Q必在线段MN上,
易得A1N=A1M==,
故△A1MN为等腰三角形,
则当Q为MN的中点时,A1Q⊥MN,A1Q最短,此时A1Q===,
当Q在M或N处时,A1Q最长,此时A1Q=A1M=A1N=,
所以线段A1Q长度的最大值与最小值之和为+=.故选C.
8.AC　对于A,因为A'N 平面A'C'CA,C'∈平面A'C'CA,
P 平面A'C'CA,且C' A'N,所以A'N,PC'是异面直线,故A中结论错误;
对于B,因为AC 平面A'C'CA,A'∈平面A'C'CA,P 平面A'C'CA,且A' AC,所以A'P与AC为异面直线,故B中结论正确;
对于C,连接MP,因为M,P分别为AB,BC的中点,所以AC∥MP,又AC∥A'C',所以MP∥A'C',所以点M在平面A'C'P内,则AB∩平面A'C'P=M,故C中结论错误;
对于D,因为点M,N分别为AB,AC的中点,所以MN∥BC,又因为MN 平面BCC'B',BC 平面BCC'B',所以MN∥平面BCC'B',
因为NC∥A'C',A'C'=AC=NC,所以四边形A'C'CN为平行四边形,所以A'N∥C'C,
又因为A'N 平面BCC'B',C'C 平面BCC'B',
所以A'N∥平面BCC'B',
又因为MN∩A'N=N,MN,A'N 平面A'MN,所以平面A'MN∥平面BCC'B',故D中结论正确.
故选AC.
9.解析　(1)证明:∵E,F分别是BC,PB的中点,
∴EF∥PC.
∵PC 平面PAC,EF 平面PAC,
∴EF∥平面PAC.
(2)证明:∵E,G分别是BC,AD的中点,AD BC,
∴AG CE,
∴四边形AECG为平行四边形,∴AE∥CG.
∵AE 平面PCG,CG 平面PCG,∴AE∥平面PCG.
∵EF∥PC,PC 平面PCG,EF 平面PCG,
∴EF∥平面PCG.
∵AE∩EF=E,AE,EF 平面AEF,
∴平面PCG∥平面AEF.
(3)H为BD与AE的交点,理由如下:
如图,设BD与AE交于点N,连接FN.
由(2)知平面AEF∥平面PCG,∵FN 平面AEF,
∴FN∥平面PCG,∴点N即为所找的点H.
10.解析　(1)证明:如图,连接CP并延长,与DA的延长线交于点M,连接D1M.
因为四边形ABCD为正方形,所以BC∥AD,
所以△PBC∽△PDM,所以=.
又因为=,所以=,
所以PQ∥MD1.
又MD1 平面A1D1DA,PQ 平面A1D1DA,
所以PQ∥平面A1D1DA.
(2)当=时,平面PQR∥平面A1D1DA.
证明如下:连接PR,RQ.因为=,所以=,
故=,所以PR∥DA.
又因为DA 平面A1D1DA,PR 平面A1D1DA,
所以PR∥平面A1D1DA.
由(1)知PQ∥平面A1D1DA,又因为PQ∩PR=P,PQ,PR 平面PQR,
所以平面PQR∥平面A1D1DA.
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