2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.2　事件的关系和运算

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2025人教A版高中数学必修第二册
10.1.2　事件的关系和运算
基础过关练
题组一　事件之间的关系
1.已知事件A,B,C满足A B,B C,则下列说法不正确的是(　　)
A.事件A发生一定导致事件C发生
B.事件B发生一定导致事件C发生
C.事件发生不一定导致事件发生
D.事件发生不一定导致事件发生
2.(2024黑龙江大庆中学月考)某地有甲、乙两个草原供游客休闲旅游,暑假期间龙龙和他的家人打算到该地旅游,记事件E=“只去甲草原”,事件F=“至少去一个草原”,事件G=“至多去一个草原”,事件H=“不去甲草原”,事件I=“一个草原也不去”,下列命题正确的是(　　)
A.E与G是互斥事件　　B.F与I是对立事件
C.F与G是互斥事件　　D.G与I是互斥事件
3.(2024江苏连云港高级中学月考)抛掷一颗质地均匀的骰子,记“朝上的点数是4或5或6”为事件A,“朝上的点数是1或2”为事件B,“朝上的点数是1或2或3”为事件C,“朝上的点数是1或2或3或4”为事件D,下列判断正确的有(　　)
①A与B互斥;②A与B对立;③A与C对立;④A与D互斥;
A.1个　　B.2个　　C.3个　　D.4个
4.(2024福建莆田第五中学月考)从1,2,3,4,5,6,7,8,9这9个数字中任取三个数,下列事件为对立事件的是(　　)
A.恰有一个是奇数和恰有两个是偶数
B.至少有两个是偶数和至少有两个是奇数
C.至多有一个是奇数和恰有一个是偶数
D.至少有一个是奇数和至少有一个是偶数
题组二　事件的运算
5.(2023山西晋中榆次第一中学开学考试)某人射击3次,事件Ai表示“击中i次”,其中i=0,1,2,3,那么A=A1∪A2∪A3表示(　　)
A.全部击中　　B.至少击中1次
C.至少击中2次　　D.以上均不正确
6.(2024上海黄浦期末)掷一颗质地均匀的骰子,观察朝上的点数,若A表示事件“点数大于3”,B表示事件“点数为偶数”,则事件“点数为5”可以表示为(　　)
A.∩B　　B.A∩　　C.∪B　　D.A∪
7.(2024四川雅安名山三中月考)如果事件A,B互斥,记,分别为事件A,B的对立事件,那么　(　　)
A.A+B是必然事件　　B.+是必然事件
C.与一定互斥　　D.与不可能互斥
8.(多选题)(2023江苏南京月考)对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设事件A=“两次都击中飞机”,B=“两次都没击中飞机”,C=“恰有一枚炮弹击中飞机”,D=“至少有一枚炮弹击中飞机”,则下列关系正确的是(　　)
A.A D　　B.B∩D=
C.A∪C=D　　D.A∪B=B∪D
9.(2024四川绵阳南山中学月考)下图是某班级50名学生参加数学、语文、英语兴趣小组的情况,设事件A=“参加数学兴趣小组”,事件B=“参加语文兴趣小组”,事件C=“参加英语兴趣小组”.现从这个班任意选择一名学生,则事件AB所代表的区域是　　　　.
题组三　事件的关系与运算的应用
10.(多选题)(2024河南洛阳强基联盟联考)某商场为促销组织了一场幸运抽奖活动,袋中装有8个大小、形状相同的小球,并分别标有1~8这八个数字,抽奖者从中任取一个球,事件A表示“取出球的编号为奇数”,事件B表示“取出球的编号为偶数”,事件C表示“取出球的编号大于5”,事件D表示“取出球的编号小于5”,则(　　)
A.事件A与C不互斥
B.事件A与B互为对立事件
C.事件B与C互斥
D.事件C与D互为对立事件
11.在甲、乙、丙三人各射击1次,观察中靶的情况的试验中,事件A=“甲中靶”,事件B=“乙中靶”,事件C=“丙中靶”,试用A,B,C的运算表示下列随机事件:
(1)甲未中靶;
(2)甲中靶而乙未中靶;
(3)三人中只有丙未中靶;
(4)三人中至少有一人未中靶;
(5)三人中恰有两人中靶.
12.连续抛掷两枚质地均匀的骰子,观察落地时朝上的点数.记事件A=“两次出现的点数相同”,事件B=“两次出现的点数之和为4”,事件C=“两次出现的点数之差的绝对值为4”,事件D=“两次出现的点数之和为6”.
(1)用集合的形式表示事件C∩D,A∪B;
(2)若E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系
答案与分层梯度式解析
10.1.2　事件的关系和运算
基础过关练
1.D 2.B 3.B 4.B 5.B 6.B 7.B 8.ABC
10.AB
1.D　因为B C,所以事件B发生一定导致事件C发生,因为A B,所以事件A发生一定导致事件B发生,所以事件A发生一定导致事件C发生,A,B中说法正确;
因为A C,所以 ,所以事件发生不一定导致事件发生,C中说法正确;
因为B C,所以 ,所以事件发生一定导致事件发生,D中说法不正确.故选D.
2.B　事件F包含“只去甲草原”“只去乙草原”“甲、乙两个草原都去”三种情况;
事件G包含“只去甲草原”“只去乙草原”“一个草原也不去”三种情况;
事件H包含“只去乙草原”“一个草原也不去”两种情况.
对于A,C,D,两个事件均有可能同时发生,都不是互斥事件;
对于B,事件F与I不可能同时发生,且必有一个发生,是对立事件,故B正确.故选B.
导师点睛　互斥事件与对立事件的关系:对立事件一定是互斥事件,但互斥事件不一定是对立事件,两者所包含的事件都不可能同时发生,但对立事件还需要满足其中必有一个事件发生.
3.B　抛掷一颗质地均匀的骰子,朝上的点数可能为1,2,3,4,5,6,
对于①②,事件A与B不可能同时发生,但可以都不发生,故A与B互斥,但不对立,故①正确,②错误;
对于③,事件A与C不可能同时发生,但一定有一个会发生,故A与C对立,故③正确;
对于④,事件A与D可以同时发生,如出现4点,故A与D不互斥,故④错误.
故正确的有2个.故选B.
4.B　可能出现的情况有0奇3偶,1奇2偶,2奇1偶,3奇0偶,共4种.
对于A,恰有一个是奇数和恰有两个是偶数是同一个事件,故A不符合题意;
对于B,至少有两个是偶数包括0奇3偶,1奇2偶两种情况,至少有两个是奇数包括2奇1偶,3奇0偶两种情况,故两个事件有且仅有一个发生,是对立事件,故B符合题意;
对于C,至多有一个是奇数包括0奇3偶,1奇2偶两种情况,恰有一个是偶数为2奇1偶,故两个事件不能同时发生,但可以同时不发生,是互斥事件但不是对立事件,故C不符合题意;
对于D,至少有一个是奇数包括1奇2偶,2奇1偶,3奇0偶三种情况,至少有一个是偶数包括0奇3偶,1奇2偶,2奇1偶三种情况,故两个事件能同时发生,不是对立事件,故D不符合题意.故选B.
5.B　A=A1∪A2∪A3表示的含义是A1,A2,A3这三个事件至少有一个发生,即可能击中1次、2次或3次,即至少击中1次.故选B.
6.B　∩B表示“点数为2”,A∩表示“点数为5”,∪B表示“点数为1或2或3或4或6”,A∪表示“点数为1或3或4或5或6”,故选B.
7.B　如图所示,集合E表示事件A,集合F表示事件B,集合I表示样本空间.
对于A,E+F不是全集,A错误;
对于B,( IE)∪( IF)=I,即+是必然事件,B正确;
对于C,( IE)∩( IF)不一定是空集,即与可以同时发生,C错误;
对于D,若( IE)∩( IF)= ,则与互斥,D错误.故选B.
8.ABC　“恰有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:第一枚击中且第二枚没击中;第一枚没击中且第二枚击中.“至少有一枚炮弹击中飞机”包含两种情况:恰有一枚炮弹击中;两枚炮弹都击中.故A D,A∪C=D,故A,C正确.易知事件B,D为互斥事件,所以B∩D= ,故B正确.A∪B=“两次都击中飞机或两次都没击中飞机”,B∪D为必然事件,这两者不相等,故D错误.
故选ABC.
9.答案　4
解析　事件AB表示参加数学兴趣小组,且参加语文兴趣小组,但不参加英语兴趣小组,故表示的区域为4.
10.AB　抽奖者从中任取一个球的样本空间Ω={1,2,3,4,5,6,7,8},
则事件A={1,3,5,7},B={2,4,6,8},C={6,7,8},D={1,2,3,4},
所以A∩C={7}≠ ,A∪B=Ω且A∩B= ,B∩C={6,8}≠ ,C∩D= 且C∪D={1,2,3,4,6,7,8}≠Ω,
所以事件A与C不互斥,事件A与B互为对立事件,
事件B与C不互斥,事件C与D互斥但不对立.故选AB.
解题模板　借助集合知识解决事件的关系问题时,可将事件中的样本点列举出来,进而利用集合间的关系判断事件的关系.
11.解析　(1)甲未中靶:.
(2)甲中靶而乙未中靶:A∩,即A.
(3)三人中只有丙未中靶:A∩B∩,即AB.
(4)三人中至少有一人未中靶:.
(5)三人中恰有两人中靶:(AB)∪(AC)∪(BC).
12.解析　由题意得A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},B={(1,3),(2,2),
(3,1)},C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},D={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}.
(1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),
(6,6)}.
(2)E=B∪C.
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