2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.3　古典概型

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2025人教A版高中数学必修第二册
10.1.3　古典概型
基础过关练
题组一　对古典概型的理解
1.(多选题)(2024贵州毕节威宁第八中学月考)下列有关古典概型的说法中正确的是(　　)
A.样本空间的样本点总数有限
B.每个事件发生的可能性相等
C.每个样本点发生的可能性相等
D.已知样本点总数为n,若随机事件A包含k个样本点,则事件A发生的概率P(A)=
2.(多选题)(2024浙江杭州期中)下列不是古典概型的是(　　)
A.抛掷两枚大小质地完全相同的骰子,所得点数之和作为样本点
B.求任意一个正整数的平方的个位数字是1的概率,将取出的正整数作为样本点
C.在甲、乙、丙、丁4名志愿者中,任选一名志愿者参加跳高项目,求甲被选中的概率
D.抛掷一枚质地均匀的硬币至首次出现正面为止,抛掷的次数作为样本点
题组二　求古典概型的概率
3.(2023山西太原外国语学校开学考试)在1,2,3,4,6共5个整数中任取2个不同的数,则这2个数互质的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2024陕西西安南开高级中学质量检测)将一枚质地均匀的骰子抛掷两次,朝上的点数分别为m和n,则函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2023河北统考)某校对高一新生进行体能测试(满分100分),高一(1)班恰有40名同学的成绩在[60,90]内,对这40名同学的成绩进行整理,绘制成频率分布直方图(如图所示),从成绩在[60,70)内的同学中任取2人的测试成绩,恰有一人的成绩在[60,65)内的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(多选题)随机排列数字1,5,6得到一个三位数,则　(　　)
A.可以排成9个不同的三位数
B.所得的三位数是奇数的概率为
C.所得的三位数是偶数的概率为
D.所得的三位数大于400的概率为
7.(2024湖南长沙雅礼中学月考)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想如下:每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和,如30=7+23.在不超过25的素数中,随机选取2个不同的数,则这2个数恰好含有这组数的中位数的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024安徽皖北六校期末联考)在某次国际围棋比赛中,中国派出甲、乙等5位棋手参加比赛,他们分成两个小组,其中一个小组有3位,另外一个小组有2位,则甲和乙分在不同小组的概率为　　　　.
9.(2024湖北黄冈黄州中学月考)某机器人兴趣小组有3名男生,记为a1,a2,a3,2名女生,记为b1,b2,从中任意选取2名学生参加机器人大赛.
(1)求参赛学生中恰好有1名女生的概率;
(2)求参赛学生中至少有1名女生的概率.
10.(教材习题改编)一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张标签,随机选取两张标签,一次选取一张.
(1)若标签的选取是不放回的,写出该随机试验的样本空间,并求两张标签上的数字为相邻整数的概率;
(2)若标签的选取是有放回的,写出该随机试验的样本空间,并求两张标签上的数字为相邻整数的概率.
11.(2024江苏南通期末)某班学生日睡眠时间(单位:h)的频率分布表如下:
分组 [7,7.5) [7.5,8) [8,8.5) [8.5,9]
频数 4 x 20 y
频率 a b 0.4 0.12
(1)计算该班学生的平均日睡眠时间(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)用按比例分配的分层随机抽样方法,从该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的学生中抽取5人,再从抽取的5人中随机抽取2人,求2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率.
能力提升练
题组　古典概型概率的求解及其应用
1.(2024四川成都树德中学月考)对数的发明是数学史上的重大事件,它可以改进数字的计算方法、提高计算速度和准确度.已知集合M={1,3},集合N={1,3,5,7},若从集合M,N中各任取一个数x,y,则log3(xy)为整数的概率为　(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2023山东临沂期中)“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠,是数学界尚未解决的三大难题之一.其内容是“任意一个大于2的偶数都可以写成两个素数(质数)之和.”若我们将10拆成两个正整数的和,则拆成的和式中,在加数都大于2的条件下,两个加数均为素数的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
3.(2024福建泉州泉港第二中学月考)甲、乙、丙三人玩传球游戏,每个人都等可能地把球传给另两人,由甲开始传球,作为第一次传球,经过3次传球后,球回到甲手中的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2024湖北鄂州第二中学期中)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次,将得到的点数分别记为m,n,已知向量a=(2m-3,n-1),b=(1,-1),记a,b的夹角为θ,则θ为钝角的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
5.(2023湖北武汉第二十中学月考)算盘是我国一类重要的计算工具.下图是一把算盘的初始状态,自右向左前四位分别表示个位、十位、百位、千位,上面一粒珠子(简称上珠)代表5,下面一粒珠子(简称下珠)代表1,即五粒下珠的代表数值等于同组一粒上珠的代表数值.个位拨动一粒上珠至梁上,十位拨动一粒下珠至梁上,表示数字15.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,设事件A=“表示的四位数大于5 500”,则P(A)=　　　　.
6.(2023北京通州期末)齐王与田忌赛马,田忌的上等马优于齐王的中等马,劣于齐王的上等马;田忌的中等马优于齐王的下等马,劣于齐王的中等马;田忌的下等马劣于齐王的下等马.现双方各出上、中、下等马各一匹,分3组各进行一场比赛,胜2场及以上者获胜.若双方均不知对方马的出场顺序,则田忌获胜的概率为　　　　;若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,则田忌获胜的概率为　　　　.
7.(2023江苏扬州中学月考)某校为了选择奥赛培训对象,进行了一次数学竞赛,从参加竞赛的同学中,选取50名同学将其成绩分成六组,第1组:[40,50);第2组:[50,60);第3组:[60,70);第4组:[70,80);第5组:[80,90);第6组:[90,100].得到频率分布直方图(如图),根据图中信息,回答下列问题:
(1)估计本次考试成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)估计样本的第65百分位数;
(3)已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级,其中成绩不低于90分为优秀,若从第5组和第6组学生中,随机抽取2人,求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率.
8.(2024山东青岛胶州实验中学月考)袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中红球1个,黄球1个,蓝球n个,从袋子中随机抽取1个小球,设取到蓝球为事件M,且事件M发生的概率是.
(1)求n的值;
(2)从袋子中不放回地依次随机抽取2个小球,若每次取到红球得0分,取到黄球得1分,取到蓝球得2分,设第一次取出小球后得分为a,第二次取出小球后得分为b,记事件N为“a+b=2”,求事件N发生的概率.
9.(2023河南南阳期末)某商场做促销活动,顾客每购满100元可抽奖一次.在一个口袋内装有除颜色外完全相同的5个小球,其中3个红球、1个黑球、1个黄球.某顾客购满100元,可抽奖一次.
(1)若从中不放回地依次取出2个球,取出的球中有黄球,则送一件价值10元的礼品,求这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率;
(2)若从口袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,当取出的2个球中没有红球时,送一件价值50元的礼品,这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性会超过20%吗
答案与分层梯度式解析
10.1.3　古典概型
基础过关练
1.ACD 2.ABD 3.C 4.B 5.B 6.BD 7.C
1.ACD　由古典概型的概念可知,样本空间的样本点总数有限,且每个样本点发生的可能性相等,故A,C正确;每个事件不一定是一个样本点,可能包含若干个样本点,所以B不正确;根据古典概型的概率计算公式可知D正确.故选ACD.
2.ABD　A,D中不满足“等可能性”,B中不满足“有限性”,C满足“有限性”和“等可能性”,是古典概型.故选ABD.
3.C　在1,2,3,4,6共5个整数中任取2个不同的数,所有的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(2,4),(2,6),(3,4),(3,6),(4,6),共10种,这两个数互质的情况有(1,2),(1,3),(1,4),(1,6),(2,3),(3,4),共6种,故所求概率P==.
故选C.
4.B　由题意可知m,n∈{1,2,3,4,5,6},
若函数y=mx2-4nx+1在[1,+∞)上单调递增,则-≤1,即m≥2n.
以(m,n)表示试验的一个样本点,则共有36个样本点,
满足m≥2n的有(2,1),(3,1),(4,1),(4,2),(5,1),(5,2),(6,1),(6,2),(6,3),共9个,
故所求概率P==.故选B.
5.B　由题中频率分布直方图知,成绩在[60,65)内的有40×0.01×5=2人,不妨记为a,b;成绩在[65,70)内的有40×0.02×5=4人,不妨记为1,2,3,4.从6人中任取2人的样本空间为{(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,4),(b,1),(b,2),(b,3),(b,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},共15个样本点,事件“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点有8个,所以所求的概率为.故选B.
解后反思　在列举样本点时,经常借助字母或数字.此题中成绩在[60,65)内的人用字母表示,在[65,70)内的人用数字表示,不仅方便书写,而且方便查找符合“恰有一人的成绩在[60,65)内”的样本点.
6.BD　随机排列数字1,5,6可以得到的三位数有156,165,516,561,615,651,共6个,故A不正确;
奇数有165,561,615,651,共4个,所以所得的三位数是奇数的概率为=,故B正确;
偶数有156,516,共2个,所以所得的三位数是偶数的概率为=,故C不正确;
大于400的数有516,561,615,651,共4个,所以所得的三位数大于400的概率为=,故D正确.
故选BD.
7.C　不超过25的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,共9个,中位数为11,
随机选取2个不同的数,样本空间Ω={(2,3),(2,5),(2,7),(2,11),(2,13),(2,17),(2,19),(2,23),(3,5),(3,7),(3,11),(3,13),(3,17),(3,19),(3,23),(5,7),(5,11),(5,13),(5,17),(5,19),(5,23),(7,11),(7,13),(7,17),(7,19),(7,23),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23),(13,17),(13,19),(13,23),(17,19),(17,23),(19,23)},共36个样本点,记事件A为“这2个数恰好含有这组数的中位数”,则A={(2,11),(3,11),(5,11),(7,11),(11,13),(11,17),(11,19),(11,23)},共8个样本点,所以P(A)==.
8.答案　
解析　记另外3位棋手分别为A,B,C,则样本空间Ω={(甲乙A,BC),(甲乙B,AC),(甲乙C,AB),(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A),(ABC,甲乙)},共10个样本点,设事件E为“甲和乙分在不同小组”,则E={(甲AB,乙C),(甲AC,乙B),(甲BC,乙A),(乙AB,甲C),(乙AC,甲B),(乙BC,甲A)},共6个样本点,所以P(E)==.
9.解析　从5名学生中任意选取2名学生参加机器人大赛,所包含的样本点有(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10个.
(1)记“参赛学生中恰好有1名女生”为事件A,则事件A包含的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),共6个,
所以P(A)==.
(2)记“参赛学生中至少有1名女生”为事件B,则事件B包含的样本点有(a1,b1),(a1,b2),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共7个,
所以P(B)=.
10.解析　(1)标签的选取是不放回的,则样本空间Ω1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)},共12个样本点,
记“两张标签上的数字为相邻整数”为事件A,则A={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)},共6个样本点,
所以P(A)==.
(2)标签的选取是有放回的,则样本空间Ω2={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点,
记“两张标签上的数字为相邻整数”为事件B,则B={(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3)},共6个样本点,所以P(B)==.
解题模板　“有放回”抽取相当于在相同条件下把一个试验重复进行多次,“不放回”抽取是抽取后不放回,前面的抽取结果会影响后面的抽取结果.解决这类古典概型问题,一定要注意两者的区别,将事件一一列清,再根据公式求解.
11.解析　(1)该班的总人数为20÷0.4=50,
则y=50×0.12=6,x=50-(4+20+6)=20,
所以该班学生的平均日睡眠时间为×(7.25×4+7.75×20+8.25×20+8.75×6)=8.03(h).
(2)结合(1)可得该班日睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的频率比为2∶3,
故从睡眠时间在[7,7.5)和[8.5,9]内的两组学生中分别抽取2人,3人,记在[7,7.5)内抽取的2人为a,b,在[8.5,9]内抽取的3人为c,d,e,
从5人中抽取2人的样本空间Ω={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10个样本点.
设“2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内”为事件A,
则A={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e)},共7个样本点,
所以P(A)=,
所以2人中至少有1人的日睡眠时间在[7,7.5)内的概率为.
能力提升练
1.C 2.B 3.C 4.D
1.C　用(x,y)表示可能的结果,则所有可能情况有(1,1),(1,3),(1,5),(1,7),(3,1),(3,3),(3,5),(3,7),共8种,
其中log3(xy)为整数的情况有(1,1),(1,3),(3,1),(3,3),共4种,
所以log3(xy)为整数的概率P==.故选C.
2.B　记“两个加数都大于2”为事件A,“两个加数都为素数”为事件B,
则A={(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3)},n(A)=5,B={(3,7),(5,5),(7,3)},n(B)=3,故所求概率P==.故选B.
3.C　由题意可知,传球的所有情况如下:
(把球传给下一个人,相邻之间不能重复,适合用树状图来表示)
故所求概率为=.故选C.
解题模板　当样本点个数没有很明显的规律,且涉及的样本点又不是太多时,可借助树状图直观地将其表示出来.树状图可以清晰准确地列出所有的样本点,并且画出一个树枝之后可猜想其余的情况.
4.D　若θ为钝角,则a·b<0,且a,b不共线,
所以
即n>2m-2,且n≠4-2m.
当m=1时,n>0且n≠2,所以n可取1,3,4,5,6;
当m=2时,n>2,所以n可取3,4,5,6;
当m=3时,n>4,所以n可取5,6;
当m=4,5,6时,n>2m-2≥6,无解.
综上所述,满足条件的(m,n)有11种可能.
易知先后抛掷两次得到的样本点个数为36,
所以θ为钝角的概率P=.故选D.
5.答案　
解析　将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上,表示出四位数,
则样本空间Ω={1 111,1 115,1 151,1 155,1 511,1 515,1 551,1 555,
5 111,5 115,5 151,5 155,5 511,5 515,5 551,5 555},n(Ω)=16,
则A={5 511,5 515,5 551,5 555},n(A)=4,
所以P(A)===.
6.答案　;
解析　设齐王的上、中、下等马分别为a1,a2,a3,田忌的上、中、下等马分别为b1,b2,b3,
齐王与田忌赛马,双方对阵的情况如下:
(a1,b1),(a2,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a1,b1),(a2,b3),(a3,b2),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3),齐王获胜;
(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),田忌获胜;
(a3,b1),(a1,b2),(a2,b3),齐王获胜;
(a3,b1),(a2,b2),(a1,b3),齐王获胜,共6种.
其中田忌获胜的情况只有1种,
所以田忌获胜的概率为.
若已知田忌的上等马与齐王的中等马分在一组,
则双方对阵的情况为(a2,b1),(a1,b2),(a3,b3)和(a2,b1),(a1,b3),(a3,b2),共2种,
其中田忌获胜的情况只有1种,
所以田忌获胜的概率为.
7.解析　(1)估计本次考试成绩的平均数=(45×0.01+55×0.026
+65×0.02+75×0.03+85×0.008+95×0.006)×10=66.8(分).
(2)∵成绩在[40,70)内的频率为(0.01+0.026+0.02)×10=0.56,成绩在[40,80)内的频率为0.56+0.03×10=0.86,
∴第65百分位数在[70,80)内,设其为x,
则0.56+(x-70)×0.03=0.65,解得x=73,
∴估计样本的第65百分位数为73.
(3)第5组有50×0.008×10=4人,分别记为A,B,C,D;第6组有50×0.006×10=3人,分别记为a,b,c.
从中随机抽取2人,所有的情况有(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(A,c),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(B,c),(C,D),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共21种,
其中至少1人成绩优秀的情况有(A,a),(A,b),(A,c),(B,a),(B,b),(B,c),(C,a),(C,b),(C,c),(D,a),(D,b),(D,c),(a,b),(a,c),(b,c),共15种,
∴至少1人成绩优秀的概率P==.
8.解析　(1)从袋子中随机抽取1个小球,共有(n+2)种结果,每种结果出现的可能性相同,其中事件M发生有n种结果,所以P(M)==,解得n=2.
(2)记红球为A,黄球为B,蓝球分别为C1,C2,
则不放回地取出2个小球的可能情况如下:
第一次 第二次
A B C1 C2
A × (A,B) (A,C1) (A,C2)
B (B,A) × (B,C1) (B,C2)
C1 (C1,A) (C1,B) × (C1,C2)
C2 (C2,A) (C2,B) (C2,C1) ×
共12种,其中事件N包含的情况有(A,C1),(A,C2),(C1,A),(C2,A),共4种,
所以P(N)==.
9.解析　3个红球分别记为1,2,3,1个黑球记为a,1个黄球记为b.
(1)从袋中不放回地依次取出2个球,所包含的样本点为(1,2),(1,3),
(2,3),(1,a),(2,a),(3,a),(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(2,1),(3,1),(3,2),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),共20个,
取出的两个球中有黄球的样本点为(1,b),(2,b),(3,b),(a,b),(b,1),(b,2),
(b,3),(b,a),共8个,所以这位顾客能获得一件价值10元的礼品的概率为=.
(2)从袋中连续取两次球,每次取1个球后放回,所包含的样本点为(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(2,b),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(3,b),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a),(a,b),(b,1),(b,2),(b,3),(b,a),(b,b),共25个,
取出的2个球中没有红球的样本点为(a,a),(a,b),(b,a),(b,b),共4个,
所以这位顾客能获得一件价值50元的礼品的概率为.因为×100%=16%<20%,
所以这位顾客获得一件价值50元的礼品的可能性不会超过20%.
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