2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--10.1.4　概率的基本性质

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第二册
10.1.4　概率的基本性质
基础过关练
题组一　对概率的基本性质的理解
1.(2024江西上饶月考)若事件A和B是互斥事件,且P(A)=0.1,则P(B)的取值范围是(　　)
A.[0,0.9]　　B.[0.1,0.9]　　C.(0,0.9]　　D.[0,1]
2.(多选题)(2024吉林梅河口第五中学开学考试)下列说法正确的是(　　)
A.甲、乙、丙三位同学抽签决定谁去参加某活动,则先抽的人参加活动的概率大些
B.若事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1
C.如果事件A与事件B互斥,那么一定有P(A)+P(B)=1
D.已知事件A发生的概率为P(A)=0.3,则P()=0.7
3.(多选题)(2024湖北武汉外国语学校月考)下列四个命题中,是假命题的有(　　)
A.对立事件一定是互斥事件
B.若A,B为两个事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)
C.若事件A,B,C两两互斥,则P(A)+P(B)+P(C)=1
D.若事件A,B满足P(A)+P(B)=1,则A,B是对立事件
题组二　利用概率的基本性质求概率
4.(2024山东济宁月考)已知随机事件A,B,C中,A与B互斥,B与C对立,且P(A)=0.3,P(C)=0.6,则P(A+B)=(　　)
A.0.3　　B.0.6　　C.0.7　　D.0.9
5.(2024上海杨浦期末)已知事件A与B互斥,它们都不发生的概率为,且P(A)=2P(B),则P()=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024河南郑州月考)根据以往的经验,小张每次考试语文成绩及格的概率为0.8,数学成绩及格的概率为0.9,语文和数学成绩同时及格的概率为0.75,则语言和数学至少有一科成绩及格的概率为　　　　.
7.(2024江西宜春期末)某射击运动员射击一次,其命中环数的概率如下表:
命中环数 10 9 8 7
概率 0.32 0.28 0.18 0.12
求该射击运动员射击一次:
(1)命中9环或10环的概率;
(2)至少命中8环的概率;
(3)命中环数小于8的概率.
8.(2024北京大兴第一中学月考)甲、乙两人参加普法知识竞赛,共有5道题,其中选择题3道,判断题2道,甲、乙两人各抽一题.
(1)甲、乙两人中有一人抽到选择题,另一人抽到判断题的概率是多少
(2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少
能力提升练
题组　利用概率的基本性质求概率
1.(2024吉林长春东北师范大学附属中学期中)已知事件A,B,C两两互斥,若P(A)=,P(C)=,P(A∪B)=,则P(B∪C)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(2023陕西宝鸡统考)已知口袋内有一些大小和质地相同的红球、白球和黄球,从中任意摸出一球,摸出的球是红球或白球的概率为0.4,摸出的球是红球或黄球的概率为0.9,则摸出的球是黄球或白球的概率为(　　)
A.0.7　　B.0.5　　C.0.3　　D.0.6
3.(多选题)(教材习题改编)某学校成立了数学、英语、音乐3个课外兴趣小组,3个小组分别有39,32,33名成员,一些成员参加了不止一个小组,具体情况如图所示.现随机选取一名成员,则　(　　)
A.此人只参加音乐小组的概率为
B.此人只参加英语小组的概率为
C.此人参加至少2个小组的概率为
D.此人参加不超过2个小组的概率为
4.已知随机事件A,B发生的概率满足P(A∪B)=0.9,小华猜测事件∩会发生,小明猜测事件∩不会发生,则以下判断中正确的是　　　　.(填序号)
①小华一定猜错了;
②小华和小明猜对的可能性一样大;
③小明猜对的可能性更大;
④无法判断小华和小明谁猜对的可能性更大.
5.甲、乙、丙、丁四人参加4×100 m接力赛,他们跑每一棒的概率均为,则甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为　　　　.
6.(2024江苏盐城射阳中学月考)袋中有黑球、黄球、绿球共9个,这些球除颜色外完全相同,从中任取1个球,得到黑球或黄球的概率是,得到黄球或绿球的概率是.
(1)袋中黑球、黄球、绿球的个数分别是多少
(2)从所有黑球、黄球中任取2个球,黑球与黄球各1个的概率是多少
(3)从袋中任取2个球,这2个球颜色不相同的概率是多少
答案与分层梯度式解析
10.1.4　概率的基本性质
基础过关练
1.A 2.BD 3.BCD 4.C 5.C
1.A　因为事件A和B是互斥事件,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.1+P(B),又0≤P(A+B)≤1,所以0≤0.1+P(B)≤1,即-0.1≤P(B)≤0.9,又P(B)≥0,所以0≤P(B)≤0.9,故选A.
2.BD　对于A,每位同学被抽到的概率都是,与抽签顺序无关,故A错误;
对于B,由概率的性质知0≤P(A)≤1,故B正确;
对于C,如果事件A与B对立,那么P(A)+P(B)=1,但互斥事件不一定是对立事件,故C错误;
对于D,因为P(A)=0.3,所以P()=1-0.3=0.7,故D正确.
故选BD.
3.BCD　易知A是真命题;
对于B,当A与B为互斥事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B),当A与B为任意两个事件时,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B),B是假命题;
对于C,设事件A,B,C分别表示掷一次骰子试验中的事件“掷出1点”“掷出2点”“掷出3点”,则事件A,B,C两两互斥,但P(A∪B∪C)=,C是假命题;
对于D,例如,袋中有除颜色外完全相同的红、黄、黑、蓝4个球,从袋中任摸一个球,设事件A=“摸到红球或黄球”,事件B=“摸到黄球或黑球”,
则P(A)=,P(B)=,P(A)+P(B)=1,但事件A与B不对立,D是假命题.
故选BCD.
4.C　因为P(C)=0.6,B与C对立,所以P(B)=0.4,又P(A)=0.3,A与B互斥,所以P(A+B)=P(A)+P(B)=0.3+0.4=0.7,故选C.
5.C　由题意得1-P(A)-P(B)=1-2P(B)-P(B)=,解得P(B)=,所以P(A)=2P(B)=,
则P()=1-P(A)=1-=.
故选C.
6.答案　0.95
解析　设事件A=“语文成绩及格”,事件B=“数学成绩及格”,则A∩B=“语文和数学成绩都及格”,A∪B=“语文和数学至少有一科成绩及格”,
由题意知P(A)=0.8,P(B)=0.9,P(A∩B)=0.75,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=0.8+0.9-0.75=0.95.
7.解析　记射击一次,命中10环,9环,8环,7环分别为事件A,B,C,D,则A,B,C,D两两互斥,P(A)=0.32,P(B)=0.28,P(C)=0.18,P(D)=0.12.
(1)命中9环或10环的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.32+0.28=0.60.
(2)至少命中8环的概率为P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.32+0.28+0.18=0.78.
(3)记“射击一次,命中环数小于8”为事件E,
则其对立事件为“射击一次,至少命中8环”,即=A∪B∪C,
根据对立事件的概率公式得P(E)=1-P()=1-P(A∪B∪C)=0.22(注意:P(E)≠P(D),P(A∪B∪C∪D)≠1).
解题模板　一般地,如果事件A1,A2,…,An彼此互斥,那么事件A1+A2+…+An发生(即A1,A2,…,An中有一个发生)的概率,等于这n个事件分别发生的概率的和,即P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
8.解析　记3道选择题分别为x1,x2,x3,2道判断题分别为p1,p2,用x表示甲抽到的题,y表示乙抽到的题,(x,y)表示可能的结果,
则“甲抽到选择题,乙抽到判断题”的情况有(x1,p1),(x1,p2),(x2,p1),(x2,p2),(x3,p1),(x3,p2),共6种;
“甲抽到判断题,乙抽到选择题”的情况有(p1,x1),(p1,x2),(p1,x3),(p2,x1),(p2,x2),(p2,x3),共6种;
“甲、乙两人都抽到选择题”的情况有(x1,x2),(x1,x3),(x2,x1),(x2,x3),(x3,x1),(x3,x2),共6种;
“甲、乙两人都抽到判断题”的情况有(p1,p2),(p2,p1),共2种.
所以样本点总数为6+6+6+2=20.
(1)记“甲抽到选择题,乙抽到判断题”为事件A,则P(A)==.
记“甲抽到判断题,乙抽到选择题”为事件B,
则P(B)==.
显然事件A与事件B互斥,故所求概率为P(A∪B)=+=.
(2)记“甲、乙两人中至少有一人抽到选择题”为事件C,则为“甲、乙两人都抽到判断题”,易得P()==,故P(C)=1-P()=1-=.
解题模板　在求事件的概率时,会遇到含“至少”或“至多”的事件的概率问题,如果从正面考虑比较烦琐或情况比较多,那么可先求事件的对立事件的概率,再用1减去对立事件的概率即为所求概率,这是“正难则反”思想的具体体现.
能力提升练
1.B 2.A 3.CD
1.B　因为事件A,B,C两两互斥,
所以P(B)=P(A∪B)-P(A)=-=,
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=+=.
故选B.
2.A　设事件A=“摸出红球”,事件B=“摸出白球”,事件C=“摸出黄球”,则A,B,C两两互斥,
由题意得,P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.4,P(A∪C)=P(A)+P(C)=0.9,且P(A)+P(B)+P(C)=1,
则P(C)=0.6,P(B)=0.1,
所以P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.7.故选A.
3.CD　由题图知参加兴趣小组的人数为6+7+8+8+10+10+11=60,
只参加数学、英语、音乐小组的人数分别为10,6,8,
故此人只参加音乐小组的概率为=,只参加英语小组的概率为=,
“参加至少2个小组”包含“参加2个小组”和“参加3个小组”两种情况,
故此人参加至少2个小组的概率为=,
“参加不超过2个小组”包含“参加1个小组”和“参加2个小组”两种情况,其对立事件是“参加3个小组”,故此人参加不超过2个小组的概率是1-=.
故选CD.
4.答案　③
解析　易得事件∩与A∪B是对立事件,
则P(∩)=1-P(A∪B)=1-0.9=0.1,
所以事件∩发生的概率为0.1,事件∩不发生的概率为0.9,故小明猜对的可能性更大.
5.答案　
解析　设事件A=“甲跑第一棒”,事件B=“乙跑第四棒”(A与B并不是互斥事件),则P(A)=,P(B)=.
记甲跑第x棒,乙跑第y棒,则可以用(x,y)表示甲、乙的接力情况,所有可能的结果有(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),共12种,
其中甲跑第一棒,乙跑第四棒只有一种结果,即(1,4),故P(A∩B)=,
所以甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率为P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)=+-=.
6.解析　(1)从袋中任取1个球,记得到黑球、黄球、绿球分别为事件A,B,C,则A,B,C两两互斥,
所以
解得P(A)=,P(B)=,P(C)=,
所以袋中黑球的个数为9×=3,黄球的个数为9×=2,绿球的个数为9×=4.
(2)用A1,A2,A3分别表示3个黑球,B1,B2分别表示2个黄球,则从所有黑球、黄球中任取2个球的样本空间Ω1={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2,B1B2},共10个样本点,
记“黑球与黄球各1个”为事件D,则D={A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2},共6个样本点,所以P(D)==.
(3)用C1,C2,C3,C4分别表示4个绿球,则从袋中任取2个球的样本空间Ω2={A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A1C1,A1C2,A1C3,A1C4,A2A3,A2B1,A2B2,A2C1,A2C2,A2C3,A2C4,A3B1,A3B2,A3C1,A3C2,A3C3,A3C4,B1B2,B1C1,B1C2,B1C3,B1C4,B2C1,B2C2,B2C3,B2C4,C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共36个样本点,
记“2个球都是黑球”为事件E,则E={A1A2,A1A3,A2A3},共3个样本点,记“2个球都是黄球”为事件F,则F={B1B2},共1个样本点,记“2个球都是绿球”为事件G,则G={C1C2,C1C3,C1C4,C2C3,C2C4,C3C4},共6个样本点,
则P(E)==,P(F)=,P(G)==,
所以从袋中任取2个球,这2个球颜色相同的概率P=P(E)+P(F)+P(G)=++=,
则这2个球颜色不相同的概率是1-=.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)