2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--10.2 事件的相互独立性

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第二册
10.2　事件的相互独立性
基础过关练
题组一　相互独立事件的判断
1.(多选题)(2024河北秦皇岛联考)下列各对事件中,不是相互独立事件的有(　　)
A.运动员甲射击一次,“射中10环”与“射中9环”
B.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲射中10环”与“乙射中9环”
C.甲、乙两名运动员各射击一次,“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”
D.甲、乙两名运动员各射击一次,“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标”
2.(多选题)(2024四川眉山仁寿第一中学月考)设A,B为两个随机事件,以下命题正确的有(　　)
A.若A,B是互斥事件,P(A)=,P(B)=,则P(A∪B)=
B.若A,B是对立事件,则P(A∪B)=1
C.若事件A与事件B相互独立,P(A)=,P(B)=,则P(A)=
D.若P()=,P()=,且P(B)=,则A与B相互独立
3.(2024江苏南京六校联合体期末)从甲、乙两名男生,丙、丁两名女生中随机选两人参加某比赛,事件A表示“甲被选中”,事件B表示“乙没被选中”,事件C表示“被选中的两个人性别相同”,则(　　)
A.A与B互斥　　B.A与B独立　C.A与C互斥　　D.A与C独立
题组二　相互独立事件的概率计算
4.(多选题)(2024辽宁丹东期末)已知事件A,B是相互独立事件,且P(B)=,P(AB)=,则(　　)
A.P(A)=　　B.P(B)= C.P(A)=　　D.P()=
5. (2024黑龙江大庆实验中学月考)如图所示的电路有a,b,c,d四个开关,每个开关断开与闭合的概率均为且是相互独立的,则灯泡甲亮的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(多选题)(2024辽宁县级重点高中协作体期末)已知甲运动员的投篮命中率是0.8,乙运动员的投篮命中率是0.9,甲、乙投篮互不影响.若两人各投篮一次,则(　　)
A.都没有命中的概率是0.02
B.都命中的概率是0.72
C.至少一人命中的概率是0.94
D.恰有一人命中的概率是0.18
7.(2024江西萍乡期末)甲、乙两位选手进行象棋比赛,已知每局比赛甲获胜的概率为0.6,乙获胜的概率为0.4,各局比赛结果互不影响,若采用三局两胜制,则乙最终获胜的概率为(　　)
A.0.36　　B.0.352　　C.0.288　　D.0.648
8.(2024山东省实验中学月考)某班元旦晚会上设置了抽球游戏,盒子中装有除颜色外完全相同的3个白球和3个红球,游戏规则如下:①每次不放回地抽取一个,直至其中一种颜色的球恰好全部取出时游戏结束;②抽取3次结束游戏为一等奖,抽取4次结束游戏为二等奖.则甲同学获得二等奖的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2024山东青岛模拟)某人上楼梯,每步上1阶的概率为,每步上2阶的概率为,设此人从第1阶台阶出发,到达第3阶台阶的概率为　　　　.
10.(2024广西南宁第三中学月考)某田径队有三名短跑运动员,根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100 m跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为,,,若对这三名短跑运动员的100 m跑的成绩进行一次检验,求:
(1)三人都合格的概率;
(2)三人都不合格的概率;
(3)三人中恰有两人合格的概率.
11.某产品在出厂前需要经过质检,质检分为2个过程.第1个过程:将产品交给3位质检员分别进行检验,若3位质检员的检验结果均为合格,则产品不需要进行第2个过程就可以出厂;若3位质检员的检验结果均为不合格,则产品为不合格产品,不可以出厂;若只有1位或2位质检员的检验结果为合格,则需要进行第2个过程.第2个过程:将产品交给第4位和第5位质检员检验,若这2位质检员的检验结果均为合格,则可以出厂,否则视为不合格产品,不可以出厂.设每位质检员的检验结果为合格的概率均为,且每位质检员的检验结果相互独立.
(1)求产品需要进行第2个过程的概率;
(2)求产品不可以出厂的概率.
能力提升练
题组　相互独立事件的概率计算
1.(2023辽宁本溪月考)某中学的信息、足球、摄影三个社团考核挑选新社员,已知高一某新生对这三个社团都很感兴趣,决定三个考核都参加,假设他通过信息、足球、摄影三个社团考核的概率依次为,m,n,且他是否通过每个考核相互独立,若三个社团考核他都通过的概率为,至少通过一个社团考核的概率为,则m+n=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
2.(多选题)(2024湖北鄂州二中期中)甲、乙两人准备各买一部手机,购买A品牌手机的概率分别为0.8,0.9,购买黑色手机的概率分别为0.7,0.5,若甲、乙两人购买哪种品牌、哪种颜色的手机相互独立,则(　　)
A.甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.26
B.甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.24
C.甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3
D.甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为0.758
3.(2024福建莆田一中月考)甲、乙、丙三人进行传球游戏,每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式,当球在甲手中时,若骰子点数大于3,则甲将球传给乙,若点数不大于3,则甲将球保留;当球在乙手中时,若骰子点数大于4,则乙将球传给甲,若点数不大于4,则乙将球传给丙;当球在丙手中时,若骰子点数大于3,则丙将球传给甲,若点数不大于3,则丙将球传给乙.初始时,球在甲手中,投掷3次骰子后,球在甲手中的概率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
4.(2024江苏宿迁期末)如图,用X,Y,Z这3类不同的元件连接成系统N,每个元件是否正常工作不受其他元件的影响,当元件X正常工作且Y,Z中至少有一个正常工作时,系统N正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率分别为0.8,0.7,0.9,则系统N正常工作的概率是　　　　.
5.(2023安徽合肥模拟)甲、乙两位同学组队代表班级参加学校举办的谜语竞猜活动,比赛共两轮,每轮比赛由甲、乙各猜一个谜语.已知甲每轮猜对谜语的概率为,乙每轮猜对谜语的概率为,若甲、乙两人每轮猜对谜语与否互不影响,各轮结果也互不影响,则甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语的概率为　　　　.
6.(2024天津红桥模拟)某同学高考后参加国内3所名牌大学A,B,C的“强基计划”招生考试.已知该同学能通过这3所大学的“强基计划”招生考试的概率分别为x,y,,其中x,y>0,该同学能否通过这3所大学的“强基计划”招生考试相互独立,且该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率为,则该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为　　　　;该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率的最大值为　　　　.
答案与分层梯度式解析
10.2　事件的相互独立性
基础过关练
1.ACD 2.BC 3.D 4.ACD 5.C 6.AB 7.B 8.C
1.ACD　对于A,两个事件不可能同时发生,二者不相互独立;对于B,“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响,二者是相互独立事件;对于C,两事件不可能同时发生,二者不相互独立;对于D,设“至少有1人射中目标”为事件A,“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B,则AB=B,因为P(A)≠1,所以P(AB)≠P(A)P(B),故事件A,B不相互独立.
2.BC　对于A,若A,B是互斥事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=+=,故A错误;
对于B,若A,B是对立事件,则P(A∪B)=P(A)+P(B)=1,故B正确;
对于C,若事件A与B相互独立,则A,也相互独立,易得P()=,则P(A)=P(A)P()=×=,故C正确;
对于D,由P()=,得P(B)=,又P()=,所以P()P(B)=×=≠P(B),则,B不相互独立,故A,B也不相互独立,故D错误.
故选BC.
3.D　随机选两人参加比赛,样本空间Ω={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,丁),(丙,丁)},则n(Ω)=6,
A={(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁)},则n(A)=3,
∴P(A)==,
B={(甲,丙),(甲,丁),(丙,丁)},则n(B)=3,
∴P(B)==,
C={(甲,乙),(丙,丁)},则n(C)=2,
∴P(C)==,
AB={(甲,丙),(甲,丁)},则n(AB)=2,
∴P(AB)==,
AC={(甲,乙)},则n(AC)=1,
∴P(AC)==.
对于A,∵n(AB)=2≠0,∴A与B不互斥,故A错误;
对于B,∵P(AB)≠P(A)P(B),∴A与B不独立,故B错误;
对于C,∵n(AC)≠0,∴A与C不互斥,故C错误;
对于D,∵P(AC)=P(A)P(C),∴A与C独立,故D正确.故选D.
4.ACD　由题意得
解得P(A)=,P(B)=,A正确,B错误;
P(A)=P(A)[1-P(B)]=×=,C正确;
P()=[1-P(A)][1-P(B)]=×=,D正确.
故选ACD.
5.C　记“c,d至少有一个闭合”为事件M,则P(M)=1-=,所以灯泡亮的概率P=××=.故选C.
6.AB　都没有命中的概率为(1-0.8)×(1-0.9)=0.02,A正确;
都命中的概率为0.8×0.9=0.72,B正确;
至少一人命中的概率为1-0.02=0.98,C错误;
恰有一人命中的概率为0.8×(1-0.9)+(1-0.8)×0.9=0.26,D错误.
故选AB.
7.B　乙最终获胜有两种情况:
①前两局乙获胜,概率为0.4×0.4=0.16,
②前两局乙胜一局,第三局乙获胜,概率为2×0.4×0.6×0.4=0.192.
所以乙最终获胜的概率为0.16+0.192=0.352.故选B.
8.C　记第i次取到的是红球为事件Ai(i=1,2,3,4),
则获得二等奖的概率P=2[P(A2A3A4)+P(A1A3A4)+P(A1A2A4)]=2××××+×××+×××=.故选C.
9.答案　
解析　到达第3阶台阶的方法有两种:
①走两步,每步上一个台阶,其概率为×=;
②只走一步且一步上两个台阶,其概率为.
故到达第3阶台阶的概率为+=.
10.解析　设甲、乙、丙三人100 m跑的成绩合格分别为事件A,B,C,则事件A,B,C相互独立,且P(A)=,P(B)=,P(C)=.
(1)三人都合格的概率为P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=××=.
(2)三人都不合格的概率为P()=P()P()P()=××=.
(3)三人中恰有两人合格的概率为P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=.
11.解析　(1)记事件A为“产品需要进行第2个过程”.
在第1个过程中,只有1位质检员的检验结果为合格的概率P1=××+××+××=,
在第1个过程中,只有2位质检员的检验结果为合格的概率P2=××+××+××=,故P(A)=P1+P2=.
(2)记事件B为“产品不可以出厂”.
在第1个过程中,3位质检员的检验结果均为不合格的概率P3=××=,
产品需要进行第2个过程,且在第2个过程中,产品不可以出厂的概率P4=P(A)×=×=,
故P(B)=P3+P4=.
能力提升练
1.B 2.ABD 3.D
1.B　因为此人至少通过一个社团考核的概率为,
所以三个社团考核都没有通过的概率为,
则
即所以m+n=.故选B.
2.ABD　对于A,甲、乙两人恰有一人购买A品牌手机的概率为0.8×0.1+0.2×0.9=0.26,故A正确;
对于B,甲购买A品牌手机,但不是黑色的概率为0.8×0.3=0.24,故B正确;
对于C,甲、乙两人都没有购买黑色手机的概率为0.3×0.5=0.15,故C错误;
对于D,甲购买A品牌黑色手机的概率为0.8×0.7=0.56,乙购买A品牌黑色手机的概率为0.9×0.5=0.45,则甲、乙两人至少有一人购买A品牌黑色手机的概率为1-(1-0.56)×(1-0.45)=0.758,故D正确.故选ABD.
3.D　投掷3次骰子后,球在甲手中,共有4种情况:
①甲→甲→甲→甲,其概率为××=;
②甲→甲→乙→甲,其概率为××=;
③甲→乙→甲→甲,其概率为××=;
④甲→乙→丙→甲,其概率为××=.
所以投掷3次骰子后,球在甲手中的概率为+++=.故选D.
4.答案　0.776
解析　设元件X,Y,Z正常工作分别为事件A,B,C,则P(A)=0.8,P(B)=0.7,P(C)=0.9,
Y,Z中至少有一个正常工作的概率为1-P()P()=1-0.3×0.1=0.97,
所以系统N正常工作的概率为0.8×0.97=0.776.
5.答案　
解析　设A1,A2分别表示甲两轮猜对1个,2个谜语的事件,B1,B2分别表示乙两轮猜对1个,2个谜语的事件,则P(A1)=×+×=,P(A2)==,P(B1)=×+×=,P(B2)==.
设A=“甲、乙两人在此次比赛中共猜对3个谜语”,则A=A1B2∪A2B1,且A1B2与A2B1互斥,A1与B2,A2与B1分别相互独立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=×+×=.
6.答案　;
解析　该同学恰好能通过其中2所大学的“强基计划”招生考试的概率P=xy+x(1-y)+y(1-x)=x+y-xy=,
∴该同学至少通过1所大学的“强基计划”招生考试的概率为1-(1-x)(1-y)=+x+y-xy=+=.
该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率为xy,
由x+y-xy=,得x+y-xy=,
∴x+y=+xy≥2(当且仅当x=y时,等号成立),即xy-2+≥0,解得xy≤或xy≥,
又∵0∴0∴该同学恰好通过A,B两所大学的“强基计划”招生考试的概率的最大值为.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)