2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--10.3.1　频率的稳定性 10.3.2　随机模拟

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2025人教A版高中数学必修第二册
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性　10.3.2　随机模拟
基础过关练
题组一　概率与频率的意义
1.(2023湖北武汉常青联合体期中)在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了1 000次试验,发现有560次正面朝上,那么出现正面朝上的频率和概率分别为(　　)
A.0.56,0.56　　B.0.56,0.5
C.0.5,0.5　　D.0.5,0.56
2.(2024浙江温州期末)气象台预报“本市明天中心城区的降水概率为30%,郊区的降水概率为70%”.则关于该市明天降水情况的描述最为准确的是(　　)
A.整个城市明天的平均降水概率为50%
B.如果住在郊区,明天不带伞出门很可能淋雨
C.只有郊区可能出现降水,而中心城区不会有降水
D.如果明天降水,郊区的降水量一定比中心城区多
3.(2024广东广州华南师范大学附属中学期中)下列命题中正确的是(　　)
A.有一批产品的次品率为0.05,从中任意取出200件产品,则必有10件是次品
B.抛100次硬币,结果有51次正面朝上,则出现正面朝上的概率是0.51
C.随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
D.掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,则出现6点的频率为0.2
题组二　用频率估计概率
4.(2024陕西西北工业大学附属中学月考)两名同学在一次用频率估计概率的试验中统计了某一结果出现的频率,绘制出统计图如图1所示,则符合这一结果的试验是(　　)
　
A.抛一枚质地均匀的硬币,正面朝上的概率
B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率
C.转动如图2所示的转盘,转到数字为奇数的概率
D.从装有2个红球和1个蓝球的口袋中任取一个球恰好是蓝球的概率
5.(2024四川泸州泸县第五中学期末)在某地区进行流行病学调查,随机调查了200位某种疾病患者的年龄,得到了如图所示的频率分布直方图,根据图中信息估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30)的概率为　　　　.
6.如果袋中装有数量差别很大的白球和黄球若干个(只有颜色不同),有放回地从中任取1球,取了10次,有7次是白球,则估计袋中数量较多的是　　　　球.
7.(2024河南焦作期中)某沙漠地区每年有2个月属于雨季,10个月属于旱季.经过初步治理,某年旱季的月降水量(单位:mm)依次达到12.1,12.0,10.4,10.5,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1,记这组数据的第40百分位数与平均数分别为m,.
(1)求m,;
(2)已知雨季的月降水量均大于旱季的月降水量,该沙漠地区人工种植了甲、乙两种植物,当月降水量低于12.0 mm时甲种植物需要浇水,当月降水量低于15.0 mm时乙种植物需要浇水,求这一年的某月甲、乙两种植物都需要浇水的概率及二者中有植物需要浇水的概率.
题组三　用随机模拟的方法估计概率
8.(2024黑龙江哈尔滨师范大学附属中学期末)进入8月份后,某市持续高温,气象局一般会提前发布高温橙色预警信号(高温橙色预警标准为24 h内最高气温将升至37 ℃以上),在今后的3天中,每天最高气温在37 ℃以上的概率是.用计算机生成了20组随机数:
116　785　812　730　134　452　125　689
024　169　334　217　109　361　908　284
044　147　318　027
若用0,1,2,3,4,5表示高温橙色预警,用6,7,8,9表示非高温橙色预警,则估计今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
9.(2024四川雅安名山第三中学月考)已知某种豚鼠感染A病毒的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率:先由计算机产生0~9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示被感染,5,6,7,8,9,0表示没有被感染,再以每三个随机数为一组代表三只豚鼠的感染情况.经随机模拟产生了如下20组随机数:
192　907　966　925　271　932　812　458
569　683　257　393　127　556　488　730
113　537　989　431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为　　(　　)
A.0.25　　B.0.4　　C.0.6　　D.0.75
10.(2022陕西榆林横山中学月考)假定某运动员每次投掷飞镖正中靶心的概率为40%,现采用随机模拟的方法估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次命中靶心的概率:先由计算器产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4表示命中靶心,5,6,7,8,9,0表示未命中靶心;再以每两个随机数为一组代表两次的结果.经随机模拟产生了20组随机数:
93 28 12 45 85 69 68 34 31 25
73 93 02 75 56 48 87 30 11 35
据此估计该运动员两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的概率为　　　　.
11.某篮球爱好者做投篮练习,假设其每次投中的概率是60%,若该篮球爱好者连续投篮4次,求至少投中3次的概率(用随机模拟的方法估计).
能力提升练
题组　用频率估计概率
1.甲、乙两位同学参加100 m达标训练,下面是这两位同学5次训练的成绩(单位:s):
甲:11.6,12.2,13.2,13.9,12.6;
乙:12.1,11.3,12.0,12.9,12.7.
从甲、乙这5次训练成绩中各随机抽取一次的成绩,则抽取的成绩中仅有一个比12.8大的概率为　　　　.
2.(2024广东揭阳期中)为了解某校中学生遵守《中华人民共和国道路交通安全法》的情况,调查部门在该校进行了如下的随机调查,向被调查者提出两个问题:(1)你的学号是奇数吗 (2)在过路口时你是否闯过红灯 要求被调查者背对着调查人员抛掷一枚硬币,如果出现正面,就回答第一个问题,否则就回答第二个问题.被调查者不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题,只需回答“是”或“不是”,因为只有被调查者本人知道回答了哪一个问题,所以都如实地进行了回答.结果显示被调查的1 200人(学号从1至1 200)中有366人回答了“是”,由此可以估计这1 200人中闯过红灯的人数是　　　　.
3.(2024福建月考)在统计调查中,对一些敏感性问题,要精心设计问卷,设法消除被调查者的顾虑,使他们能够如实回答问题,否则,被调查者往往会拒绝回答或不提供真实情况.某中学为了调查本校学生某不良习惯A的发生情况,对随机抽出的200名学生进行了调查.调查中设置了两个问题:
问题1:你的阳历生日日期是不是偶数
问题2:你是否有A习惯
调查者准备了一个不透明袋子,里面装有大小、形状和质量完全一样的5个白球和5个红球.每个被调查者随机从袋中摸出1个球(摸出的球再放回袋中并搅拌均匀),摸到白球的学生如实回答第一个问题,摸到红球的学生如实回答第二个问题,回答“是”的人往一个盒子中放一个小石子,回答“否”的人什么都不做.已知调查结束后,盒子里共有55个小石子,据此估计此中学学生中有A习惯的人数的百分比为　　　　.(一年按365天计算)
4.(2024贵州贵阳期中)某学会创办了一个微信公众号,设定了一些固定栏目定期发布文章.为了扩大其影响力,后台统计了反映读者阅读情况的一些数据,其中阅读跳转率f(x)记录了在阅读某文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的x%(x=10,20,30,…,100)时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的百分比,例如:阅读跳转率f(20)=5%表示阅读某篇文章的所有读者中,阅读至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读该篇文章的所有读者的5%.现从该公众号某两个栏目中各随机选取一篇文章,分别记为文章M,N,其阅读跳转率的折线图如图所示.用频率来估计概率.
(1)随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率;
(2)现用样本量比例分配的分层随机抽样的方法,在阅读量没有达到30%的文章N的读者中随机抽取6人,任选其中2人进行访谈,求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率.
答案与分层梯度式解析
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
基础过关练
1.B 2.B 3.D 4.D 8.B 9.D
1.B　由题意得出现正面朝上的频率为=0.56,
由于每次抛硬币时,正面朝上和反面朝上的可能性相等,故出现正面朝上的概率为0.5.故选B.
2.B　对于A,中心城区和郊区面积不一定相同,故整个城市明天的平均降水概率不一定为50%,故A错误;
对于B,明天郊区的降水概率较大,所以不带伞出门很可能淋雨,故B正确;
对于C,不管郊区还是中心城区都可能会出现降水,故C错误;
对于D,降水量并不取决于降水概率,故D错误.故选B.
3.D　对于A,产品的次品率指产品中出现次品的可能性大小,200件产品中不一定有10件次品,故A错误;
对于B,0.51是出现正面朝上的频率,不是概率,故B错误;
对于C,随机事件发生的概率不随试验次数的多少而发生变化,而随机事件发生的频率会发生变化,随着试验次数的增加,频率会稳定于概率,但频率只是概率的近似值,故C错误;
易知D正确.故选D.
4.D　根据题图1可知,试验结果的频率在0.33附近波动,则其概率近似为.
对于A,抛一枚质地均匀的硬币,出现正面朝上的概率为,不符合题意;
对于B,掷一枚质地均匀的正六面体骰子,出现1点的概率为,不符合题意;
对于C,转动转盘,转到数字为奇数的概率为,不符合题意;
对于D,任取一个球恰好是蓝球的概率为,符合题意.
故选D.
5.答案　0.14
解析　由题意得a=0.1-(0.001+0.002×2+0.006+0.017×2+0.020+0.023)
=0.012,故估计该地区这种疾病患者的年龄位于[10,30)的概率为(0.002+0.012)×10=0.14.
6.答案　白
解析　取了10次,有7次是白球,则取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约为0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球.
7.解析　(1)将数据从小到大排列为10.4,10.5,12.0,12.1,12.5,14.1,14.3,14.3,16.7,18.1,
又10×40%=4,所以第40百分位数m==12.3(mm),
平均数=×(10.4+10.5+12.0+12.1+12.5+14.1+14.3+14.3+16.7+18.1)
=13.5(mm).
(2)由题知12个月中降水量低于12.0 mm的有2个月,低于15.0 mm的有8个月,
所以甲、乙两种植物都需要浇水的概率为=,二者中有植物需要浇水的概率为=.
8.B　由题意可知表示今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的随机数组有116,812,730,217,109,361,284,147,318,027,共10组,故所求概率约为=,故选B.
9.D　事件“三只豚鼠中至少一只被感染”的对立事件为“三只豚鼠都没被感染”,随机数组中满足三只豚鼠都没被感染的有907,966,569,556,989,共5组,故三只豚鼠都没被感染的概率为=0.25,则三只豚鼠中至少一只被感染的概率约为1-0.25=0.75,故选D.
10.答案　
解析　表示两次投掷飞镖恰有一次正中靶心的随机数组是93,28,45,25,73,93,02,48,30,35,共10组,因此所求的概率约为=.
11.解析　利用计算机或计算器产生0~9之间的整数随机数,用1,2,3,4,5,6表示投中,7,8,9,0表示未投中,这样可以体现投中的概率是60%,因为投篮4次,所以每4个随机数为一组,例如5727,7895,0123,…,4560,4581,4698,共100组这样的随机数,若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为n,则至少投中3次的概率的近似值为.
能力提升练
1.答案　
解析　甲的这5次训练成绩中比12.8大的有2个,则抽取的甲的成绩大于12.8的概率P1=,
乙的这5次训练成绩中比12.8大的有1个,则抽取的乙的成绩大于12.8的概率P2=,
故抽取的成绩中仅有一个比12.8大的概率P=P1+P2=×+×=.
2.答案　132
解析　调查的学生有1 200名,在准备的两个问题中每一个问题被问到的概率相同,∴第一个问题被询问了600次,
∵在被询问的600人中有300人的学号是奇数,而有366人回答了“是”,
∴估计有366-300=66名学生闯过红灯,即600名学生中有66名学生闯过红灯,
∴估计这1 200人中闯过红灯的人数是1 200×=132.
3.答案　6%
解析　被调查者回答两个问题的概率均为=,所以随机抽出的200名学生中,回答两个问题的人数均为200×=100,
一年365天中,阳历日期是偶数的有179天,
所以第一个问题回答为“是”的概率为≈0.49,
故200人中摸到白球并回答第一个问题为“是”的学生有100×0.49=49(人),
所以摸到红球并回答第二个问题为“是”的学生有55-49=6(人),
由此估计此中学学生中有A习惯的人数的百分比为×100%=6%.
4.解析　(1)由题中折线图可知,对于文章M的读者,f(90)+f(100)=0.3+0.1=0.4,
所以随机选取一名文章M的读者,估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.4.
(2)阅读量没有达到30%的文章N的读者,即阅读量为该篇文章总量的10%和20%时退出该页面的读者,易得阅读跳转率均为0.05,所以抽取的6人中有3人阅读至文章总量的10%时退出,分别记为A,B,C,有3人阅读至文章总量的20%时退出,分别记为a,b,c,
则任取2人的样本空间Ω={AB,AC,Aa,Ab,Ac,BC,Ba,Bb,Bc,Ca,Cb,Cc,ab,ac,bc},共15个样本点,且每个样本点是等可能发生的,其中两个都阅读至文章总量的10%时退出的有AB,AC,BC,共3个样本点,
由古典概型的概率公式可得所求概率为=,
故这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为.
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