2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第1 课时　余弦定理、正弦定理

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2025人教A版高中数学必修第二册
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理、正弦定理
基础过关练
题组一　利用余弦定理解三角形
1.(2024江苏苏州月考)在△ABC中,若(a+c)·(a-c)=b(b-c),则A=(　　)
A.90°　　B.30°　　C.60°　　D.150°
2.(2024重庆部分学校月考)在△ABC中,==,则△ABC的最大内角与最小内角的和是(　　)
A.60°　　B.90°　　C.120°　　D.135°
3.(2024河北石家庄第十五中学月考)若某锐角三角形的三边长分别为1,2,a,则a的取值范围为(　　)
A.(2,3)　　B.(,3)　　C.(2,)　　D.(,)
4.(2024湖北部分学校期中)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2b2=a2+1,c=1,则角B的最大值为　　　　.
5.(2024江苏苏州昆山中学月考)在△ABC中,a=7,b=8,b>c,sin C=,则c=　　　　.
题组二　利用正弦定理解三角形
6.(2024湖南衡阳三校联考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,B=105°,C=45°,则c=(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.
7.(2024江苏南京师大附中期中)在△ABC中,D为边BC上一点,AD=6,BD=3,∠ABC=45°,则sin∠ADC的值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024上海金山中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=,c-2b+2cos C=0,则该三角形外接圆的半径为(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.2
9.(多选题)(教材习题改编)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列对△ABC解的情况判断正确的是(　　)
A.当a=2,c=4,A=30°时,有两解
B.当a=5,b=7,A=60°时,有一解
C.当a=,b=4,A=30°时,无解
D.当a=6,b=4,A=60°时,有两解
10.(多选题)(2024重庆荣昌中学月考)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C的对边,下面四个结论正确的是(　　)
A.若A>B,则sin A>sin B
B.在锐角△ABC中,不等式sin A>cos B恒成立
C.若sin2A+sin2BD.若B=,a=2,且△ABC有两解,则b的取值范围是[3,2)
11.(2023广东佛山顺德月考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)·(sin A-sin B)+(b-c)sin C=0.
(1)求角A的大小;
(2)设a=5,且sin=,求c.
题组三　利用余弦定理、正弦定理判断三角形的形状
12.(2024天津武清联考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若A+B=2C,且sin2C=sin Asin B,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形　　B.等腰非等边三角形　　
C.等边三角形　　D.钝角三角形
13.(2024安徽合肥中国科学技术大学附属中学月考)在△ABC中,若cos A-cos B+=0,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形　　
B.直角三角形　　
C.等腰直角三角形　　
D.等腰三角形或直角三角形
14.如果将直角三角形的三边增加相同的长度,则新三角形的形状一定是(　　)
A.锐角三角形　　B.直角三角形
C.钝角三角形　　D.由增加的长度确定
15.(多选题)(2024浙江湖州第二中学期中)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中正确的是(　　)
A.若acos A=bcos B,则△ABC一定是等腰三角形
B.若bcos C+ccos B=b,则△ABC一定是等腰三角形
C.若==,则△ABC一定是等边三角形
D.若B=60°,b2=ac,则△ABC一定是直角三角形
题组四　三角形的面积公式
16.(2024安徽淮南第二中学月考)在△ABC中,A=120°,b=5,且△ABC的面积为,则△ABC的周长为(　　)
A.15　　B.12　　C.16　　D.20
17.(教材习题改编)秦九韶是我国南宋时期的著名数学家,他在著作《数书九章》中提出,已知三角形三边长计算三角形面积的一种方法“三斜求积术”,其公式为S△ABC===.若ac=2,cos B=,a>b>c,则△ABC的面积为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
18.(2024广东茂名高州中学月考)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,b)与n=(cos A,sin B)平行.
(1)求A;
(2)若a=,b=2,求△ABC的面积.
19.(2024四川广安模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-ccos B=bcos C.
(1)求角C;
(2)若∠ACB的平分线交AB于点D,CD=4,△ABC的面积为18,求c的值.
能力提升练
题组一　利用余弦定理、正弦定理解三角形
1.(2024重庆第一中学月考)我国油纸伞的制作工艺巧妙.如图(1),伞不管是张开还是收拢,伞柄AP始终平分同一平面内两条伞骨所成的角∠BAC,且AB=AC,从而保证伞圈D能够沿着伞柄滑动.如图(2),伞完全收拢时,伞圈D滑到D'的位置,且A,B,D'三点共线,AD'=60 cm,B为AD'的中点.伞从完全张开到完全收拢,伞圈D沿着伞柄向下滑动的距离为24 cm,则当伞完全张开时,∠BAC的余弦值是(　　)
　　
A.-　　B.-　　C.-　　D.-
2.(多选题)(2024宁夏石嘴山平罗中学月考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,则下列结论正确的是(　　)
A.sin A∶sin B∶sin C=4∶5∶6
B.△ABC是钝角三角形
C.△ABC的最大内角是最小内角的2倍
D.若c=6,则△ABC外接圆的半径为
3.(2024湖南邵东第三中学月考)以密位作为角的度量单位,这种度量角的单位制叫做角的密位制.在角的密位制中,采用四个数码表示角的大小,单位名称密位二字可以省去不写.密位的写法是在百位数与十位数之间画一条短线,如5密位写成“0-05”,235密位写成“2-35”,1 246密位写成“12-46”.1周角等于6 000密位,写成“60-00”.在△ABC中,点D在边BC上,AD是△ABC的内角A的平分线,CD=AD=2BD=4,则∠ADC的大小用密位制表示为　　　　.
4.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,从下列四个条件:①a=c;②C=;③cos B=-;④b=中选出三个条件,使满足所选条件的△ABC存在且唯一的所有c的值为　　　　.
5.(2024河南开封模拟)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知bcos A=asin B.
(1)求sin A;
(2)若a=,再从条件①,条件②,条件③中选择一个条件作为已知,使其能够确定唯一的三角形,并求△ABC的面积.
条件①:b=c;条件②:b=;条件③:sin C=.
题组二　利用余弦定理、正弦定理求最值或范围问题
6.(2024黑龙江哈尔滨第九中学模拟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且c-b=2bcos A,则的取值范围为　(　　)
A.(1,)　　B.(,)　　C.(,2)　　D.(1,2)
7.(2023福建宁德期末)如图,在扇形OPQ中,半径OP=2,圆心角∠POQ=,A是弧PQ上的动点,B是线段OQ上的动点,AB∥OP,则△OAB面积的最大值为(　　)
A.2-2　　B.-1　　C.　　D.
8.(2024河南郑州外国语学校月考)已知△ABC的外接圆半径R=,c=2,C为锐角,则下列结论正确的是(　　)
A.=
B.△ABC周长的最大值为4
C.的取值范围为
D.·的最大值为2+
9.(2024重庆部分学校月考)在△ABC中,a2-ac+c2=b2.
(1)求B的大小;
(2)求cos A+cos C的取值范围.
10.(2024广西南宁月考)已知三角形ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(2a-b)·cos C-ccos B=0.
(1)求角C;
(2)若c=,求△ABC周长的取值范围;
(3)若c=,求△ABC面积的取值范围.
答案与分层梯度式解析
6.4.3　余弦定理、正弦定理
第1课时　余弦定理、正弦定理
基础过关练
1.B 2.C 3.D 6.B 7.C 8.A 9.AC 10.ABC
12.C 13.D 14.A 15.BC 16.A 17.D
1.B　因为(a+c)(a-c)=b(b-c),所以a2-c2=b2-bc,即b2+c2-a2=bc,
由余弦定理的推论可得cos A===,又0°2.C　由题意不妨设a=5,b=7,c=8,根据大边对大角可知A由余弦定理的推论可得cos B===,
又因为0°所以A+C=180°-B=180°-60°=120°,
所以△ABC的最大内角与最小内角之和为120°.故选C.
3.D　因为1,2,a是三角形的三边长,所以1+2>a且a+1>2,得1因为该三角形为锐角三角形,
所以由余弦定理的推论得
解得所以实数a的取值范围是(,).故选D.
4.答案　
解析　由题意得cos B====≥,当且仅当a=1时,等号成立,
又B∈(0,π),所以05.答案　3
解析　因为b>c,所以B>C,又C是三角形的内角,所以C为锐角,因为sin C=,所以cos C===.由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=72+82-2×7×8×=9,所以c=3(负值舍去).
6.B　易知A=180°-105°-45°=30°,由=,得c==2.故选B.
7.C　在△ABD中,由正弦定理得=,即=,故sin∠BAD=,
因为BD故cos∠BAD=,
所以sin∠ADC=sin(∠BAD+∠ABD)=sin(∠BAD+45°)=×+×=,故选C.
8.A　∵a=,∴c-2b+2acos C=0,
由正弦定理得sin C-2sin B+2sin Acos C=0,
即sin C-2sin(A+C)+2sin Acos C=0,
∴sin C-2sin Acos C-2sin Ccos A+2sin Acos C=0,
∴sin C-2sin Ccos A=0,
又sin C>0,∴cos A=,又A∈(0,π),∴A=,
设该三角形外接圆的半径为r,则2r===2,∴r=1.故选A.
9.AC　解法一:对于A,由=,得=,所以sin C=,又因为0°a,所以C=45°或C=135°,所以三角形有两解,故A正确;
对于B,由正弦定理得sin B===>1,无解,故B错误;
对于C,由正弦定理得sin B===>1,无解,故C正确;
对于D,由正弦定理得sin B===<,因为b解法二:csin A=4×=2,∵csin Absin A=7×=,∵absin A=4×=2,∵a∵a>b,且A为锐角,∴三角形有一解,D错误.故选AC.
解题模板　在△ABC中,已知a,b和A,以角A一边上的点C为圆心,a为半径画弧,此弧与角A另一边的公共点(不包含点A)的个数即为三角形解的个数.解的个数总结如下表:
条件 A为钝角 A为直角 A为锐角
a>b 一解 一解 一解
a=b 无解 无解 一解
absin A 无解 无解 两解
a=bsin A 一解
a10.ABC　对于A,若A>B,则a>b,由正弦定理可得sin A>sin B成立,故A正确;
对于B,因为△ABC为锐角三角形,所以A+B>,0A>-B>0,
由正弦函数y=sin x在上单调递增,得sin A>sin=cos B,故B正确.
对于C,由正弦定理得a2+b2对于D,如图,若△ABC有两解,则asin B所以3故选ABC.
11.解析　(1)∵(a+b)(sin A-sin B)+(b-c)sin C=0,
∴由正弦定理得(a+b)(a-b)+(b-c)c=0,
即b2+c2-a2=bc,∴cos A==,
又∵0(2)∵0由=,得c===.
12.C　由题意可知A+B+C=3C=180°,则C=60°,
因为sin2C=sin Asin B,
所以由正弦定理得c2=ab,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2-ab=ab,则(a-b)2=0,所以a=b,所以a=b=c,故△ABC为等边三角形.
13.D　由cos A-cos B+=0,得a-ccos B=b-ccos A,
由余弦定理的推论得a-c·=b-c·,化简得=.
当a2+b2-c2=0,即a2+b2=c2时,△ABC为直角三角形;
当a2+b2-c2≠0时,a=b,则△ABC为等腰三角形.
故△ABC为等腰三角形或直角三角形,故选D.
14.A　设直角三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,令三边都增加x(x>0),则(a+x)2+(b+x)2-(c+x)2=a2+b2+2x2+2(a+b)x-c2-2cx-x2=2(a+b-c)x
+x2>0,所以由余弦定理的推论可知新三角形中最大边所对的角是锐角,所以新三角形是锐角三角形.故选A.
15.BC　对于A,由正弦定理得sin Acos A=sin Bcos B,
即sin 2A=sin 2B,又A,B∈(0,π),所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=,所以三角形为等腰三角形或直角三角形,故A错误;
对于B,由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,
即sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,
又A,B∈(0,π),所以A=B,所以△ABC是等腰三角形,故B正确;
对于C,由正弦定理得==,即tan A=tan B=tan C,
又A,B,C为三角形的内角,所以A=B=C,所以△ABC是等边三角形,故C正确;
对于D,由余弦定理可得ac=b2=a2+c2-ac,可得(a-c)2=0,解得a=c,又B=60°,所以b=a=c,故△ABC是等边三角形,故D错误.
故选BC.
方法总结　利用正、余弦定理判断三角形的形状一般有两种方法:一是角化边,利用正、余弦定理把条件转化为边的关系,再结合因式分解、配方等方法得到边的相应关系,从而判断三角形的形状;二是边化角,利用正、余弦定理把条件转化为角的关系,再结合三角恒等变换得相应内角的关系,从而判断三角形的形状.
16.A　由题意得S△ABC=bcsin A=×5c×=,解得c=3,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=52+32-2×5×3×=49,所以a=7,
则△ABC的周长为a+b+c=15.故选A.
17.D　因为cos B==,ac=2,所以a2+c2-b2=4×=,
则S△ABC==×=,故选D.
18.解析　(1)因为m∥n,所以asin B-bcos A=0,
由正弦定理得sin Asin B-sin Bcos A=0,
又B∈(0,π),所以sin B≠0,所以sin A-cos A=0,则tan A=,
又A∈(0,π),所以A=.
(2)解法一(余弦定理):由余弦定理可得a2=b2+c2-2bccos A,因为a=,b=2,A=,
所以7=4+c2-2c,解得c=3或c=-1(舍),
所以△ABC的面积S=bcsin A=×2×3×=.
解法二(正弦定理):由=,得=,所以sin B=.
由a>b,知A>B,所以cos B==,
故sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=,
所以△ABC的面积S=absin C=××2×=.
19.解析　(1)由题意及正弦定理得2sin Acos C-sin Ccos B=sin Bcos C,
所以2sin Acos C=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,
易知sin A≠0,所以cos C=,又C∈(0,π),所以C=.
(2)由S△ABC=absin =ab=18,得ab=72,
因为CD平分∠ACB,∠ACB=,所以∠ACD=∠BCD=,
则S△ABC=S△ACD+S△BCD=b·CDsin +a·CDsin =×4×(a+b)×=(a+b)=18,所以a+b=18,
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos =(a+b)2-3ab=182-3×72=108,
所以c=6.
能力提升练
1.A 2.ACD 6.B 7.B 8.D
1.A　
信息提取　当伞完全收拢时,AB=BD=AD';
当伞完全张开时,AD=AD'-24,∠BAC=2∠BAD.
解析　依题意知AD'=60 cm,当伞完全张开时,AD=60-24=36(cm),
当伞完全收拢时,B为AD'的中点,故AB=AC=BD=AD'=30(cm).
当伞完全张开时,在△ABD中,cos∠BAD===,
故cos∠BAC=cos 2∠BAD=2cos2∠BAD-1=2×-1=-,故选A.
2.ACD　因为(a+b)∶(a+c)∶(b+c)=9∶10∶11,所以可设解得所以由正弦定理可得sin A∶sin B∶sin C=a∶b∶c=4∶5∶6,故A正确.
易知c最大,所以△ABC中角C最大,又cos C===>0,所以C为锐角,所以△ABC为锐角三角形,故B错误.
易知a最小,所以△ABC中角A最小,
又cos A===,
所以cos 2A=2cos2A-1=,所以cos 2A=cos C,
由△ABC中角C最大且C为锐角可得2A∈(0,π),C∈,所以2A=C,故C正确.
设△ABC外接圆的半径为R,则2R=,又c=6,sin C==,所以2R=,解得R=,故D正确.故选ACD.
3.答案　20-00
思路点拨　(1)根据角平分线的性质得到==2;
(2)在△ABD,△ACD中分别利用余弦定理表示出cos∠ADB,cos∠ADC;
(3)由cos∠ADB+cos∠ADC=0解方程,求出AB2;
(4)求出cos∠ADC,从而得到∠ADC的大小,再化成密位制.
解析　因为AD是△ABC的内角A的平分线,所以∠BAD=∠CAD,
所以====2,
设AB=m(m>0),则AC=2m,
在△ABD中,由余弦定理可得m2=AD2+BD2-2AD·BDcos∠ADB,即m2=42+22-2×4×2cos∠ADB,
所以cos∠ADB=,
在△ACD中,由余弦定理可得4m2=AD2+CD2-2AD·CDcos∠ADC,即4m2=42+42-2×4×4cos∠ADC,
所以cos∠ADC=,
因为∠ADB+∠ADC=π,
所以cos∠ADB+cos∠ADC=0,
所以+=0,解得m2=12,所以cos∠ADC=-,
又0<∠ADC<π,所以∠ADC=,
易得×=2 000,所以∠ADC的大小用密位制表示为20-00.
4.答案　,
解析　由①②结合正弦定理可得sin A=sin C=,此时A=或.
若选①②③,则由cos B=-<0知B为钝角,故A=,此时B=π-A-C=,cos B=≠-,矛盾,∴△ABC不存在,不符合题意.
若选①②④,则A有两解,不符合题意.
若选①③④,则由余弦定理的推论得-=,解得c=(负值舍去).
若选②③④,∵cos B=-,B∈(0,π),
∴sin B===,
由=,得c===.
故满足条件的所有c的值为,.
5.解析　(1)由bcos A=asin B得sin Bcos A=sin Asin B,又sin B≠0,所以cos A=sin A>0,所以A为锐角,又sin2A+cos2A=1,所以sin A=.
(2)若选条件①,由(1)可得cos A=sin A=,
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,又a=,b=c,所以3=6c2+c2-4c2,所以c=1,所以b=,
所以△ABC唯一确定,S△ABC=bcsin A=.
若选条件②,由=,得sin B==,由b=>a=,得B>A,
因此角B有两解,分别对应两个三角形,不符合题意.
若选条件③,由(1)可得cos A=sin A=,
因为sin A=>sin C=,所以a>c,
所以A>C,则cos C=,
因此sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=,△ABC唯一确定,
由=,得c==1,所以S△ABC=acsin B=.
6.B　由c-b=2bcos A,结合正弦定理得sin C-sin B=2sin Bcos A,
又sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B,
所以sin Acos B+cos Asin B-sin B=2sin Bcos A,
则sin B=sin Acos B-sin Bcos A=sin(A-B),
因为△ABC是锐角三角形,所以0则-所以B=A-B,即A=2B,则C=π-A-B=π-3B,
所以解得所以===2cos B∈(,).
故选B.
7.B　设∠AOP=θ,则0<θ<,
∵AB∥OP,∠POQ=,
∴∠ABO=,∠OAB=θ,∠AOB=-θ,
在△OAB中,由正弦定理得OB===2sin θ,
∴S△OAB=OA·OBsin∠AOB=2sin θsin
=2sin θ=2sin θcos θ-2sin2θ
=sin 2θ-1+cos 2θ=sin-1,
∵θ∈,∴2θ+∈,
∴当2θ+=,
即θ=时,S△OAB取得最大值-1.故选B.
解后反思　本题考查几何图形中面积最值的求解,解题关键是能够将所求三角形面积表示为关于变量θ的函数,结合三角恒等变换和三角函数的性质得到最值.
8.D　对于A,由余弦定理的推论得bcos A+acos B=
+==c,
则==2R=,故A错误;
对于B,由=2R得=,解得sin C=,又C为锐角,所以C=,
则△ABC的周长为a+b+c=2R+2
=sin A+cos A+sin A+2=sin A+cos A+2
=4sin+2,
因为0对于C,===-+tan A,A∈∪,
故tan A∈(-∞,-)∪(0,+∞),
所以的取值范围为(-∞,-2)∪,故C错误;
对于D,由正弦定理得===,所以b=sin,
则·=2bcos A=2×sincos A
=sin Acos A+cos2A=sin 2A+=sin+2,
因为0则当2A+=时,=+2,故D正确.
故选D.
9.解析　(1)由a2-ac+c2=b2及余弦定理得2accos B=ac,
所以cos B=,又B∈(0,π),所以B=.
(2)因为B=,所以cos A+cos C=cos A+cos
=sin A+cos A=sin,
因为0所以sin∈(0,1],
所以cos A+cos C∈(0,1],
故cos A+cos C的取值范围为(0,1].
10.解析　(1)由(2a-b)·cos C-ccos B=0及正弦定理得
(2sin A-sin B)cos C-sin Ccos B=0,
则2sin Acos C-sin(B+C)=0,
∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sin(π-A)=sin A,则有2sin Acos C-sin A=0,
∵A∈(0,π),
∴sin A>0,∴cos C=,
又C∈(0,π),∴C=.
(2)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即(a+b)2-3ab=7,即ab=,
∵ab≤,当且仅当a=b时等号成立,[建立关于(a+b)2和ab的不等式]
∴≤,[变形为关于(a+b)2的不等式,通过解不等式求(a+b)2的最大值]
解得0又∵a+b>c=,∴∴△ABC的周长的取值范围为(2,3].
解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====,
∴a=sin A,b=sin B,
由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0∴a+b=(sin A+sin B)=×
=sin A+cos A+sin A=sin A+cos A
=2×sin A+cos A=2sin.(利用三角恒等变换,将a+b的范围问题转化为三角函数的值域问题)
∵0∴∴△ABC的周长的取值范围为(2,3].
(3)解法一(余弦定理+不等式):由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即a2+b2=ab+7,
∵a2+b2≥2ab,当且仅当a=b时等号成立,(建立关于a2+b2和ab的不等式)
∴ab+7≥2ab,∴0又∵S△ABC=absin C=ab×=ab,
∴S△ABC∈.
解法二(正弦定理+三角函数):由正弦定理得====,
∴a=sin A,b=sin B,
由A+B+C=π,C=,得A+B=,即B=-A,且0∴ab=sin Asin B=sin Asin
=sin A=sin Acos A+sin2A==sin2A-+.(利用三角恒等变换,将ab的范围问题转化为三角函数的值域问题)
∵0∴0又∵S△ABC=absin C=ab×=ab,
∴S△ABC∈.
导师点睛　解三角形中的最值或范围问题,一般采用以下两种方法:①余弦定理结合基本不等式构造不等关系求解;②先利用正弦定理将边化为角,再利用三角函数的性质求出最值或范围,如果三角形为锐角三角形或角有其他的限制条件,通常采用这种方法.
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