2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第1课时　棱柱、棱锥、棱台

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2025人教A版高中数学必修第二册
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
基础过关练
题组一　棱柱
1.(2024山东烟台莱阳一中月考)下列几何体中棱柱有(　　)
A.3个　　B.4个　　C.5个　　D.6个
2.(2024福建福州八县一中期中)右图是一个正方体的表面展开图,则正方体中“九”的对面是(　　)
A.县　　B.市　　C.联　　D.考
题组二　棱锥
3.下列说法中,正确的是(　　)
①棱锥的各个侧面都是三角形;②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;④棱锥的各侧棱长相等.
A.①②　　B.①③　　C.②③　　D.②④
4.(2023福建三明一中月考)如图所示,在三棱台ABC-A'B'C'中,沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC,则剩余的部分是(　　)
A.三棱锥　　B.四棱锥　　C.三棱柱　　D.组合体
5.(2024云南师范大学附属中学月考)如图,在边长为8的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后的点记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体 这个几何体共有几个面
(2)该几何体每个面的三角形有什么特点 每个面的面积为多少
题组三　棱台
6.(2024海南海口开学考试)棱台不具备的特点是(　　)
A.两底面相似　　B.侧面都是梯形
C.侧棱长都相等　　D.侧棱延长后交于一点
7.(多选题)(2024河北廊坊文安第一中学联考)如图,在四棱台ABCD-A1B1C1D1中,点O,O1分别为四边形ABCD,A1B1C1D1的对角线的交点,则下列结论正确的是(　　)
A.若四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥
B.几何体C1D1D-B1A1A是三棱柱
C.几何体A1C1D1-ACD是三棱台
D.三棱锥O-A1B1C1的高与四棱锥O1-ABCD的高相等
8.(2024山西晋城一模)若一个正n棱台的棱数大于15,且各棱的长度构成的集合为{2,3},则n的最小值为　　　　,该棱台各棱的长度之和的最小值为　　　　.
能力提升练
题组一　多面体中的计算问题
1.(2024天津期中)已知一个正三棱锥的侧棱长为3,其底面是边长为的等边三角形,则此正三棱锥的高为　　　　.
2.(2024山西临汾期中)一个正四棱台的下底面周长与上底面周长之差为16,且侧面梯形的高为2,则该正四棱台的高为　　　　.
3.(2024辽宁抚顺德才高级中学月考)如图,已知四棱锥V-ABCD的底面是面积为16的正方形,侧面是全等的等腰三角形,侧棱长为6.
(1)求四棱锥V-ABCD的高;
(2)求四棱锥V-ABCD的斜高.
题组二　与多面体表面展开图有关的问题
4.(2024上海高桥中学期末)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为4 cm,高为10 cm,则一质点自点A出发,沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为(　　)
A.16 cm　　B.12 cm
C.24 cm　　D.26 cm
5.(2024福建师范大学附属中学期中)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=,AA1=1,P为面对角线A1B上一点,则AP+D1P的最小值为(　　)
A.　　B.1+　　C.2　　D.1
6.如图,正三棱锥A-BCD的底面边长为1,侧棱长为2,E,F分别为AC,AD上的动点,则△BEF周长的最小值为　　　　.
题组三　多面体的截面问题
7.已知正三棱锥P-ABC的底面边长为3,高为1,该三棱锥的一个截面为矩形EFGH,则矩形EFGH面积的最大值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024河南部分学校摸底测试)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=4,点E,F,G分别是AA1,A1B1,B1C1的中点,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面多边形的周长为(　　)
A.2+3　　B.2+3　　
C.2+4　　D.2+4
答案与分层梯度式解析
第八章　立体几何初步
8.1　基本立体图形
第1课时　棱柱、棱锥、棱台
基础过关练
1.C 2.B 3.B 4.B 6.C 7.ACD
1.C　根据棱柱的定义,知①②③④⑤中的几何体是棱柱,共5个.故选C.
方法归纳　判断一个几何体是不是棱柱,关键是看这个几何体是否满足棱柱的定义:①看“面”,即观察这个几何体是否有两个互相平行的面,且其余各面都是四边形;②看“线”,即观察相邻两个四边形的公共边是否都互相平行.
2.B　把正方体还原,如图,故“九”的对面是“市”.故选B.
3.B　由棱锥的定义知①正确;②中没有强调三角形有一个公共顶点,故②错误;四面体是由四个三角形面所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错误.故选B.
4.B　剩余的部分是四棱锥A'-BCC'B'.故选B.
5.解析　(1)折起后的几何体是三棱锥,如图,这个几何体共有4个面.
(2)由题意知AD=CD=8,AE=BE=BF=CF=4,DE=DF=4,EF=4,所以PD=8,PE=PF=4,
易知∠DPE=∠EPF=∠DPF=90°,
所以△PEF为等腰直角三角形,△DEF为等腰三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
则S△PEF=×42=8,S△DPF=S△DPE=×8×4=16,
S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=82-8-2×16=24.
6.C　因为棱锥的侧棱长不一定相等,所以截得的棱台的侧棱也不一定相等.
7.ACD　若四棱台ABCD-A1B1C1D1是正四棱台,则四边形A1B1C1D1是正方形,O1O是高,所以由正棱锥的定义知棱锥O-A1B1C1D1是正四棱锥,A正确;
几何体C1D1D-B1A1A中不存在两个平面平行,故不是三棱柱,B错误;
几何体A1C1D1-ACD是三棱台,C正确;
三棱锥O-A1B1C1的高和四棱锥O1-ABCD的高都与四棱台ABCD-A1B1C1D1的高相等,D正确.
故选ACD.
8.答案　6;42
解析　因为正n棱台的侧棱有n条,底面有2n条边,所以正n棱台共有3n条棱,
由3n>15,得n>5,又n∈N*,所以n的最小值为6.
当n=6,上底面边长为2,侧棱长为2,下底面边长为3时,该棱台各棱的长度之和取得最小值,为2×12+3×6=42.
能力提升练
4.D 5.A 7.C 8.D
1.答案　2
解析　如图,在正三棱锥P-ABC中,PA=3,AB=,
由正三棱锥的性质可知,顶点P在底面内的射影为正三角形ABC的中心,记为O,
取BC的中点D,连接AD,
则AO=AD=AB·sin 60°=××=1,
所以PO===2.
2.答案　2
解析　如图,在正四棱台ABCD-EFGH中,EQ⊥AB于点Q,EN⊥AC于点N,O,M分别为上、下底面的中心,
设棱台的上、下底面的边长分别为a,b,则4b-4a=16,即b-a=4,由题知EQ=2,则EA====4,
所以OM=EN====2,
故棱台的高为2.
3.解析　(1)由于四棱锥V-ABCD的侧面是全等的等腰三角形,底面为正方形,故该四棱锥是正四棱锥,
如图,连接AC,BD,交于点O,连接VO,
则VO为正四棱锥的高,△VCO为直角三角形,且VO⊥AC,易知正方形ABCD的边长为4,则AC=4,所以OC=2,所以VO==8,
故四棱锥V-ABCD的高为8.
(2)由于正四棱锥的侧面是等腰三角形,
故四棱锥V-ABCD的斜高为=2.
导师点睛　在正棱锥的计算问题中要善于应用由高、斜高、斜高在底面内的射影构成的直角三角形和由高、侧棱、侧棱在底面内的射影构成的直角三角形.
4.D　将正三棱柱ABC-A1B1C1沿侧棱AA1展开,再拼接一次(因为绕行两周,所以需要再拼接一次),如图所示,
所求最短路线的长即为六个小矩形拼成的大矩形的对角线的长度,易得拼成的矩形的长为6×4=24(cm),宽为10 cm,所以最短路线的长为=26(cm).
5.A　连接D1C,将四边形A1BCD1绕A1B旋转至与三角形A1AB在同一平面内(动线段D1P始终在四边形A1BCD1内,将空间问题转化为平面问题),则当且仅当A,P,D1三点共线时,AP+D1P取得最小值,为AD1的长,如图所示:
∵AA1⊥AB,AA1=1,AB=,
∴∠AA1B=,
∴∠AA1D1=+=,
在△A1AD1中,由余弦定理得A=A+A1-2AA1·A1D1cos =7,
∴AD1=,即AP+D1P的最小值为.故选A.
6.答案　
解析　正三棱锥A-BCD的侧面展开图如图所示:
若△BEF的周长最小,则B,E,F,B'共线,即周长的最小值为BB'的长.
易知BB'∥CD,∴∠B'FD=∠ADC=∠ADB',
∴B'F=B'D=1,
同理可得BE=BC=1.
∵∠AB'D=∠ADB'=∠B'FD,∠ADB'=∠B'DF,
∴△ADB'∽△B'DF,
∴==,∴DF=B'D=,∴AF=,
∵EF∥CD,∴=,∴EF=×1=,
∴BB'=BE+EF+B'F=1++1=.
7.C　如图,设P在底面ABC内的射影为O,则O为△ABC的中心,PO=1,取AB的中点D,连接CD,则CO=CD=ACsin 60°=,故PC==2,
设=λ(0<λ<1),则==λ,且==1-λ,所以EH=2λ,EF=3(1-λ),
所以S矩形EFGH=EH·EF=2λ·3(1-λ)=6λ(1-λ)≤6×=,
当且仅当λ=1-λ,即λ=时取等号.
故矩形EFGH面积的最大值为.故选C.
8.D　如图,延长GF,交D1A1的延长线于点M,延长FG,交D1C1的延长线于点N,
连接ME并延长,交AD于点K,交D1D的延长线于点T,
连接TN,分别交CD,CC1于点I,H,连接KI,GH,则过点E,F,G的平面截正四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得的截面为六边形EFGHIK,
易知K,I,H分别为AD,CD,CC1的中点,
因为AA1=2AB=4,所以EF=GH=EK=HI=,FG=KI=,
所以六边形EFGHIK的周长为2+4.故选D.
方法技巧　作截面的步骤:
(1)确定截面与多面体的哪些棱相交;
(2)找到截面与多面体的交点;
(3)将这些点依次连接起来,即得截面.
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