2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第2 课时　余弦定理、正弦定理的实际应用

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第二册
第2课时　余弦定理、正弦定理的实际应用
基础过关练
题组一　距离问题
1.(2023北京师范大学第二附属中学期中)某大学校园内有一个湖,湖的两侧有一个音乐教室和一个图书馆,如图,若音乐教室在A处,图书馆在B处,为测量A,B两地之间的距离,甲同学选定了与A,B不共线的C处,构成△ABC,以下是不同的测量方案:①测量∠A,∠B,∠C;②测量∠A,∠B,BC;③测量∠A,AC,BC;④测量∠C,AC,BC.要求能唯一确定A,B两地之间的距离,则甲同学应选择的方案的序号为(　　)
A.①②　　B.②③　　C.②④　　D.③④
2.(2023广西柳州城中期中)如图,为了测量河的宽度,在岸边选定两点A,B望对岸的标记物C,测得∠CAB=45°,∠CBA=60°,AB=60 m,则河的宽度CD=(　　)
A.30(3+)m　　B.30(3-)m C.20(+3)m　　D.30(-1)m
3.(2024山西运城月考)如图,某区域地面有四个5G基站,分别为A,B,C,D.已知C,D两个基站建在河一侧,距离为20 km,基站A,B在河的另一侧,测得∠ACB=60°,∠ACD=105°,∠ADC=30°,∠ADB=60°,则A,B两个基站间的距离为(　　)
A.10 km　　B.30(-1)km　　C.15 km　　D.10 km
4.(2023陕西西安中学模拟)如图,从气球A上测得一河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此时气球距离地面的高度AD=46 m(D在直线BC上),则河流的宽度BC约为　　　　m.(参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,≈1.73)
题组二　高度问题
5.(2024广东汕头潮阳一中期中)岳阳楼与黄鹤楼、滕王阁并称为“江南三大名楼”,是“中国十大历史文化名楼”之一,小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC,如图,测得∠DAC=30°,∠DBC=45°,AB=14 m,则岳阳楼的高度CD约为(≈1.414,≈1.732)(　　)
A.18 m　　B.19 m　　C.20 m　　D.21 m
6.(2024山东菏泽外国语学校月考)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶,到A处时测得公路北侧一山底C在西偏北30°的方向上;行驶600 m后到达B处,测得山底C在西偏北75°的方向上,山顶D的仰角为30°,则此山的高度CD=　　　　m.
7.(2024湖南长沙实验中学月考)圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省哈尔滨市,是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂,距今已有117年的历史,为哈尔滨的标志性建筑.小明同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度,在圣·索菲亚教堂的正东方向找到了一座建筑物AB,高为(15-15)m,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为30°,则小明估算圣·索菲亚教堂的高度为　　　　m.
题组三　角度问题
8.(多选题)(2024山东栖霞第一中学月考)如图,在海面上有两个观测点B,D,B在D的正北方向,距离为2 n mile,在某天10:00观察到某船在C处,此时测得∠CBD=45°,5 min后该船行驶至A处,此时测得∠ABC=30°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则(　　)
A.观测点B位于A的北偏东75°方向
B.当天10:00时,该船到观测点B的距离为 n mile
C.当船行驶至A处时,该船到观测点B的距离为 n mile
D.该船由C行驶至A行驶了 n mile
9.(2024广东六校二联)在一次海上联合作战演习中,红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向,相距12 n mile的水面上,有蓝方一艘小艇正以10 n mile/h的速度沿南偏东75°方向前进,侦察艇以14 n mile/h的速度,沿北偏东45°+α方向拦截蓝方的小艇.若要在最短的时间内拦截住,则红方侦察艇所需的时间为　　　　h,角α的正弦值为　　　　.
10.在灯塔A的正西方向且与A相距(-1)n mile的B处有一艘甲船,需要海上加油.在灯塔A的北偏东45°方向且与A相距 n mile的C处有一乙船,求乙船前往B处支援甲船的航行距离和方向.
能力提升练
题组　正、余弦定理的实际应用
1.(2024云南昆明模拟)早期天文学家常采用“三角法”测量行星的轨道半径.假设一种理想状态:地球E和某小行星M绕太阳S在同一平面上的运动轨道均为圆,三个星体的位置如图所示.地球在E0位置时,测出∠SE0M=;行星M绕太阳运动一周回到原来位置,地球运动到了E1位置,测出∠SE1M=,∠E1SE0=.若地球的轨道半径为R,则下列选项中与行星M的轨道半径最接近的是(参考数据:≈1.7)(　　)
A.2.1R　　B.2.2R　　C.2.3R　　D.2.4R
2.(2024重庆南开中学月考)某同学为了测量一塔ED的高,他在山下A处测得塔尖D的仰角为45°,再沿AC前进24.4 m到达山脚B处(A,B,C三点共线,D,E,C三点共线),测得塔尖D的仰角为60°,塔底E的仰角为30°,那么该塔的高约为(≈1.7,≈1.4)(　　)
A.37.54 m　　B.38.23 m　　C.39.53 m　　D.40.52 m
3.(2024山东临沂模拟)在同一平面上有相距14 km的A,B两座炮台,A在B的正东方.某次演习时,A向西偏北θ方向发射炮弹,B向东偏北θ方向发射炮弹,其中θ为锐角,观测回报两炮弹皆命中18 km外的同一目标,接着A改向向西偏北方向发射炮弹,弹着点为18 km外的点M,则B炮台与弹着点M的距离为(　　)
A.7 km　　B.8 km　　C.9 km　　D.10 km
4.(2024福建漳州月考)如图,某城市有一条公路从正西方向AO通过路口O后转向西北方向OB,围绕道路OA,OB打造了一个半径为2 km的扇形景区,现要修一条与扇形景区相切的观光道MN,则MN长度的最小值为　　　　km.
5.(2024山西太原师范学院附属中学月考)如图,用无人机测量一座小山的海拔与该山最高处的古塔AB的高度,无人机的航线与塔AB在同一铅垂平面内,无人机飞行的海拔高度为500 m,在C处测得塔底A(即小山的最高处)的俯角为45°,塔顶B的俯角为30°,向山顶方向沿水平线CE飞行50 m到达D处时,测得塔底A的俯角为75°,则该座小山的海拔为　　　　m;古塔AB的高度为　　　　m.
6.(2023山东省实验中学模拟)如图,已知点C为山顶P在水平面上的射影,一辆汽车由南向北沿AD行驶,在水平面上的A处测得∠BAC=15°,匀速向北行驶20 min到达B处,测得∠DBC=60°,山顶P的仰角为60°,已知山高为2 km.
(1)求汽车的行驶速度;
(2)若汽车继续行驶10 min到达D处,此时点C位于D的南偏东多少度方向
7.(2024陕西西安中学月考)在海岸A处发现北偏东45°方向,距离A处(-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A处2 n mile的C处的缉私船奉命以10 n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜.
(1)求BC的长度;
(2)求∠ACB的大小;
(3)缉私船沿北偏东多少度的方向能最快追上走私船 最快需要多长时间
参考数据:sin 15°=,cos 15°=.
答案与分层梯度式解析
第2课时　余弦定理、正弦定理的实际应用
基础过关练
1.C 2.B 3.A 5.B 8.ACD
1.C　①测量∠A,∠B,∠C,即知道三个角的度数,则三角形有无数组解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;②测量∠A,∠B,BC,即已知两角及其中一角的对边,则由正弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离;③测量∠A,AC,BC,即已知两边及其中一边的对角,则由正弦定理可知,三角形可能有2个解,不能唯一确定A,B两地之间的距离;④测量∠C,AC,BC,即已知两边及其夹角,则由余弦定理可知,三角形有唯一的解,能唯一确定A,B两地之间的距离.
综上可得,能唯一确定A,B两地之间距离的方案的序号是②④.
故选C.
2.B　由题意得∠ACB=180°-45°-60°=75°,
在△ABC中,由正弦定理得=,
∴BC===60(-1)(m).
故CD=BCsin∠CBA=60(-1)×=30(3-)(m).
故选B.
3.A　在△ACD中,∠CAD=180°-105°-30°=45°,
由正弦定理得=,
则AD===10(+1),
在△BCD中,易知∠BCD=45°,∠BDC=90°,
所以∠CBD=45°,所以BD=CD=20,
在△ABD中,由余弦定理得AB===10.
故A,B两个基站间的距离为10 km.
故选A.
规律总结　1.当A,B两点不相通,但均可到达时,选取点C,测出AC,BC,∠ACB,用余弦定理求解AB;
2.当A,B两点间可视,但有一点B不可到达时,选取点C,测出∠CAB,∠ACB和AC,用正弦定理求解AB;
3.当A,B两点都不可到达时,选取对A,B可视的点C,D,测出∠BCA,∠BDA,∠ACD,∠BDC和CD,用正弦定理和余弦定理求解AB.
4.答案　60
解析　由题意得AD=46 m,∠ACD=30°,∠BAC=37°,∠ABC=113°.
在Rt△ACD中,因为∠ACD=30°,所以AC=2AD=92 m,
在△ABC中,由正弦定理可得=,即=,
所以BC==≈=60(m),
所以河流的宽度BC约为60 m.
5.B　在Rt△ADC中,∠DAC=30°,∠DCA=90°,则AC=CD,
在Rt△BDC中,∠DBC=45°,∠DCB=90°,则BC=CD,
由AC-BC=AB,得CD-CD=14,所以CD==7(+1)≈19.124(m),所以岳阳楼的高度CD约为19 m.故选B.
6.答案　100
解析　由题可得∠CAB=30°,∠CBA=180°-75°=105°,则∠BCA=45°.
在△ABC中,由正弦定理得=,则CB===300(m).
在Rt△CBD中,∠CBD=30°,∠DCB=90°,
所以tan∠CBD==,则CD=CB=100(m).
7.答案　30
解析　由题意知∠CAM=45°,∠AMC=180°-15°-60°=105°,所以∠ACM=180°-105°-45°=30°,
在Rt△ABM中,AM==,
在△ACM中,由正弦定理得=,
所以CM==,
在Rt△DCM中,CD=CM·sin 60°
===30(m),
所以小明估算圣·索菲亚教堂的高度为30 m.
8.ACD　A中,∠ABD=∠ABC+∠CBD=30°+45°=75°,
因为B在D的正北方向,所以B位于A的北偏东75°方向,故A正确.
B中,在△BCD中,
∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°,∠CBD=45°,BD=2 n mile,所以BC=2 n mile,故B错误.
C中,在△ABD中,∠ADB=60°,∠BAD=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得=,即AB== n mile,故C正确.
D中,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+BC2-2AB·BC·
cos∠ABC=6+8-2××2×=2,则AC= n mile,故D正确.
故选ACD.
9.答案　2;
解析　设红方侦察艇经过x h后在C处追上蓝方的小艇,
则AC=14x n mile,BC=10x n mile,
易知∠ABC=120°.
在△ABC中,根据余弦定理得(14x)2=122+(10x)2-240x×cos 120°,解得x=2(负值舍去),
故AC=28 n mile,BC=20 n mile.
根据正弦定理得=,解得sin α==.
10.解析　根据题意,画出示意图如图,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 135°=(-1)2+()2-2×(-1)××=4,所以BC=2 n mile,
由正弦定理得=,即=,
所以sin C=,
易知C为锐角,
又sin 15°=sin(45°-30°)=sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°=,
所以C=15°.
故乙船的航行距离为2 n mile,方向为南偏西15°+45°=60°.
能力提升练
1.A 2.B 3.D
1.A　连接E0E1,在△SE0E1中,SE0=SE1=R,又∠E1SE0=,所以△SE0E1是正三角形,E0E1=R,
由∠SE0M=,∠SE1M=,得∠E1E0M=,∠E0E1M=,
在△ME0E1中,易得∠E0ME1=,
由正弦定理得=,则E1M==R,
在△SME1中,由余弦定理得SM==≈R≈2.05R.故最接近的是A选项.
故选A.
2.B　在△ABD中,∠BAD=45°,∠ABD=120°,
则∠ADB=15°,由题意知AB=24.4,
在△ABD中,由正弦定理得=,
则AD===AB,
在Rt△ACD中,DC⊥AC,∠DAC=45°,
则DC=AC=AD=AB,
在Rt△BCD中,∠CBD=60°,则BC==·AB,在Rt△BCE中,∠CBE=30°,则CE=BC·tan 30°=AB,所以DE=DC-CE=AB≈×24.4≈38.23(m),
所以该塔的高约为38.23 m.
故选B.
3.D　设A炮台第一次发射炮弹命中点为C,依题意AB=14,AC=BC=AM=18,∠CBA=∠CAB=θ,∠MAB=,
在△ABC中,由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AC·ABcos θ,即182=182+142-2×18×14cos θ,
解得cos θ=,所以cos θ=2cos2-1=,又θ为锐角,所以cos =,
在△ABM中,由余弦定理得BM2=AM2+AB2-2AM·ABcos =182+142-2×18×14×=100,
所以BM=10,即B炮台与弹着点M的距离为10 km.
故选D.
4.答案　4+4
解析　如图,设MN与扇形的切点为P,连接OP.
由题意得∠MON=135°,设OM=a km,ON=b km,
在△OMN中,MN2=a2+b2-2abcos 135°=a2+b2+ab≥(2+)ab,当且仅当a=b时取等号.
设∠OMN=α,则∠ONM=45°-α,
所以a=,b=,
故ab==≥,当且仅当α=22.5°时取等号,
所以MN2≥=16(+1)2,解得MN≥4(+1),所以MN的最小值为(4+4)km.
5.答案　475-25;
解析　如图,在△ACD中,CD=50 m,∠ACD=45°,∠ADC=105°,
∠CAD=30°,
由正弦定理得==,
又sin 105°=sin 75°=sin(45°+30°)=×+×=,
所以AC=×=25(+)(m),
延长AB交CE于H,
则AH=ACsin∠ACD=25(+)×=25(+1)(m),
又无人机飞行的海拔高度为500 m,所以该座小山的海拔为500-25(+1)=(475-25)m.
在△ABC中,∠ACB=45°-30°=15°,∠ABC=120°,
且sin∠ACB=sin(45°-30°)=×-×=,
由正弦定理得=,则AB=×=(m).
6.解析　(1)由题意知∠BCP=90°,∠PBC=60°,PC=2,
在Rt△BCP中,tan∠PBC=,则BC==2,
在△ABC中,∠BCA=60°-15°=45°,
由正弦定理得=,
即=,所以AB==2(+1),
故汽车的行驶速度是=6(+1)(km/h).
(2)易得BD=+1,在△BCD中,由余弦定理得CD2=BC2+BD2-2BC×BDcos∠DBC=22+(+1)2-2×2×(+1)×=6,故CD=,
在△BCD中,由正弦定理得=,即=,解得sin∠CDB=,
因为CD>BC,所以∠CDB为锐角,所以∠CDB=45°,
故点C位于D的南偏东45°方向.
7.解析　(1)在△ABC中,∠CAB=45°+75°=120°,
由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠CAB=(-1)2+22-2×(-1)×2×=6,所以BC= n mile.
(2)在△ABC中,由正弦定理得=,
所以sin∠ACB===.
易知0°<∠ACB<60°,所以∠ACB=15°.
(3)设缉私船用t h在D处追上走私船,如图,
则有CD=10t n mile,BD=10t n mile.
在△BCD中,∠CBD=90°+30°=120°,由正弦定理得sin∠BCD===.
易知0°<∠BCD<60°,所以∠BCD=30°,所以缉私船沿北偏东60°的方向能最快追上走私船.
又∠D=180°-120°-30°=30°=∠BCD,所以BD=BC,即10t=,解得t=,
所以缉私船追上走私船最快需要 h.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)