2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球

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2025人教A版高中数学必修第二册
第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球
基础过关练
题组一　圆柱、圆锥、圆台
1.(2024黑龙江大庆期中)下列命题中正确的是(　　)
①圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的截面;
②在圆柱的上、下底面的圆周上各取一个点,则这两点的连线是圆柱的母线;
③圆台的两个底面平行.
A.①②　　B.②　　C.③　　D.①③
2.用一个平面去截圆锥,则截面不可能是　(　　)
A.椭圆　　B.圆　　C.三角形　　D.矩形
3.(2024河南新乡期中)一个圆柱的侧面展开图是长为4,宽为2的矩形,则该圆柱的轴截面的面积为(　　)
A.32　　B.　　C.　　D.
4.(2023上海静安期末)把一个圆锥截成圆台,已知圆台的上、下底面半径的比为1∶4,母线长为9,则原圆锥的母线长为　　　　.
题组二　球
5.(2024云南师范大学附属中学月考)截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是(　　)
A.圆柱　　B.圆锥　　C.球　　D.圆台
6.已知球O的半径为2,球心到平面α的距离为,则球O被平面α截得的截面面积为(　　)
A.π　　B.π　　C.3π　　D.2π
7.(2024黑龙江鸡西期末)“中国天眼”(如图1)是目前世界上最大、最灵敏的单口径射电望远镜,其形状可近似地看成一个球冠,球冠是球面被平面所截后剩下的曲面,如图2所示,截得的圆面叫做球冠的底,垂直于圆面的直径被截得的线段叫做球冠的高.若球面的半径是R,球冠的高是h,则球冠的面积S=2πRh.已知“中国天眼”的底的半径约为250 m,反射面面积(球冠面积)约为25万m2,则“中国天眼”的高度约为　　　　m.参考数据:≈0.52
　
题组三　简单组合体
8.(2024福建福州期中)将一个等腰梯形绕它较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括　(　　)
A.一个圆台、两个圆锥　　
B.两个圆台、一个圆柱
C.两个圆柱、一个圆台　　
D.一个圆柱、两个圆锥
9.(2023辽宁沈阳模拟)刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间的弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角的大小用弧度制表示),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.正八面体(八个面均为正三角形,如图)的总曲率为(　　)
A.2π　　B.4π　　C.6π　　D.8π
能力提升练
题组一　空间几何体的结构特征
1.(多选题)(2024山东烟台莱阳一中月考)对如图所示的组合体的结构说法正确的是(　　)
A.由一个长方体挖去一个四棱柱而成
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C.由一个长方体挖去一个四棱台而成
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成
2.(2024北京广渠门中学月考)半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.下图是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1,则该半正多面体共有　　　　个面,其棱长为　　　　.
题组二　与旋转体表面展开图有关的问题
3.(2024浙江绍兴期中)下图是一个圆柱形开口容器(下底面密封),其轴截面ABCD是边长为2的正方形.现有一只蚂蚁从外壁A处出发,沿外壁先爬到上口边沿再沿内壁爬到BC的中点P处,则它所爬过的最短路程为　　　　.
4.(2024广东佛山第一中学月考)如图,一个立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为2,一小虫从圆锥底面圆上的点P出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点P处,若该小虫爬行的最短路程为2,则圆锥底面圆的半径为　　　　.
题组三　旋转体中的计算问题
5.(2024山东东营利津高级中学开学考试)如图,圆台OO1的侧面展开图扇环的圆心角为180°,SA=2,SB=4,则该圆台的高为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.4
6.从一个底面半径与高均为2的圆柱中挖去一个正四棱锥(以圆柱的上底面为正四棱锥底面的外接圆,下底面圆心为顶点)得到的几何体如图所示,现用一个平行于底面且与底面的距离为1的平面去截这个几何体,则截面面积为(　　)
A.4π-4　　B.4π　　C.4π-2　　D.2π-2
7.(2024天津期中)圆锥的母线长为3,轴截面三角形的顶角为120°,用过圆锥顶点的平面截此圆锥,则截面面积的最大值为　　　　.
8.(2024山东枣庄滕州第一中学月考)已知球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,球O的半径为10,则这两个平行截面之间的距离为　　　　.
答案与分层梯度式解析
第2课时　圆柱、圆锥、圆台与球
基础过关练
1.C 2.D 3.D 5.C 6.A 8.D 9.B
1.C　过圆锥顶点的截面为等腰三角形,且两腰长为母线长,设该等腰三角形的顶角为θ,圆锥的母线长为l,则截面三角形的面积为l2sin θ,显然当θ=时,面积最大,故当圆锥的轴截面三角形的顶角大于时,圆锥的轴截面面积不是最大的,故①错误;
根据圆柱母线的定义可知②错误;
根据圆台的定义知③正确.故选C.
2.D　用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面可能为椭圆;
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面为圆;
用一个过圆锥的轴的平面去截圆锥,截面为等腰三角形.故选D.
3.D　若4为底面周长,则高为2,此时圆柱的底面直径为,故轴截面面积为2×=;
若2为底面周长,则高为4,此时圆柱的底面直径为,故轴截面面积为4×=.故选D.
4.答案　12
解析　如图,由题意可知,=,BD=9,
设原圆锥的母线长为l,根据相似三角形的性质可得=,即=,解得l=12,故原圆锥的母线长为12.
5.C　圆柱的截面可能是矩形,圆锥的截面可能是三角形,圆台的截面可能是梯形,故选C.
6.A　设截面圆的半径为r,则r==1,
所以球O被平面α截得的截面面积为πr2=π.故选A.
7.答案　130
解析　由题意得(R-h)2+2502=R2,
则2Rh=h2+2502,
故2πRh=πh2+2502π=250 000,
所以h2==2502,
所以h=250≈250×0.52=130(m).
8.D　从较短的底边的端点向另一底边作垂线,两条垂线把等腰梯形分成两个全等的直角三角形和一个矩形,故旋转后的几何体是由一个圆柱和两个圆锥组成的,如图所示.
9.B　正八面体共有6个顶点,每个面均为等边三角形,且每个面的面角和为π,
所以该正八面体的总曲率为6×2π-8π=4π.故选B.
能力提升练
1.AB 5.C 6.C
1.AB　该组合体可由一个长方体挖去一个四棱柱而成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选AB.
2.答案　26;-1
解析　半正多面体面数从上至下依次为1,8,8,8,1,故共有1+8+8+8+1=26个面.如图1,正方体被半正多面体顶点A,B,C所在平面所截,截得的图形如图2,八边形ABCDEFGH为正八边形.
　
设AB=a,则1=2×a+a,解得a=-1,即该半正多面体的棱长为-1.
3.答案　
解析　将圆柱侧面沿AD展开,如图,其中AB=π,AD=2,则问题转化为在CD上找一点Q,使AQ+PQ的值最小,作P关于CD的对称点E,连接AE,QE,CE,则QE=PQ,所以AQ+PQ=AQ+QE≥AE=.
4.答案　
解析　把圆锥侧面沿母线OP展开成如图所示的扇形OPP',则PP'的长为小虫爬行的最短路线长,
所以PP'=2,又OP=OP'=2,所以∠POP'=,
则由弧长公式得l=×2=.
设圆锥底面圆的半径为r,
则2πr=,解得r=.
5.C　在圆锥SO1中,2π·O1A=×2π·SA=2π,所以O1A=1,
在圆锥SO中,2π·OB=×2π·SB=4π,所以OB=2,
所以该圆台的高为===,
故选C.
6.C　截面应为圆面挖去一个正方形,且圆面的半径是2,面积为4π.
设正四棱锥的底面正方形的边长为a,易知a=2,
故正四棱锥的底面正方形的面积为(2)2=8,
由棱锥中截面的性质,可得圆面中挖去的正方形与正四棱锥的底面正方形相似,设圆面中挖去的正方形的面积为S',正四棱锥的底面正方形的面积为S,
则==,所以S'=2,
所以截面的面积为4π-2.故选C.
7.答案　
解析　因为圆锥轴截面三角形的顶角为,
所以任意两条母线的夹角的范围是,
设截面三角形的顶角为θ,
则过圆锥顶点的轴截面面积为×32×sin θ=sin θ,
因为θ∈,所以sin θ∈(0,1],
所以轴截面面积的最大值是.
8.答案　1或17
解析　因为球O的两个平行截面的面积分别为19π和36π,所以这两个平行截面的半径分别为和6,
则球心到两个平行截面的距离分别为=9,=8.
当两个平行截面在球心O的同侧时,如图1所示,
则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9-8=1;
当两个平行截面在球心O的两侧时,如图2所示,
则这两个平行截面之间的距离为|O1O2|=9+8=17.
故答案为1或17.
　　
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