2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第九章　统计

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2025人教A版高中数学必修第二册
第九章　统计
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.总体由编号为01,02,…,30的30个个体组成.利用所给的随机数表选取6个个体,选取的方法是从随机数表第1行的第3列开始,由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为(　　)
1712　1340　3320　3826　1389　5103　7417　7637
1304　0774　2119　3056　6218　3735　9683　5087
A.20　　B.26　　C.17　　D.03
2.某高中社会实践小组为课题“高中生作业情况研究”进行周末作业时长调研,利用课间分别对高一、高二、高三年级进行随机采访,按年级人数比例进行抽样,各年级分别有效采访56人、62人、52人,经计算,各年级周末作业平均完成时间分别为3 h、3.5 h、4.5 h,则估计总体平均数是(　　)
A.3.54 h　　B.3.64 h　　C.3.67 h　　D.3.72 h
3.某同学坚持夜跑锻炼身体,他用手机记录了连续10周每周的跑步总里程(单位:km),其数据分别为17,21,15,8,9,13,11,10,20,6,则这组数据的75%分位数是(　　)
A.12　　B.16　　C.17　　D.18.5
4.每到春夏交替时节,雌性杨树会以满天飞絮的方式来传播下一代,漫天飞舞的杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等,给人们造成困扰.为了解市民对治理杨絮方法的赞同情况,某课题小组随机调查了部分市民(问卷调查表如下表所示),并根据调查结果绘制了尚不完整的统计图(如图所示).
治理杨絮——您选哪一项 (单选) a.减少杨树新增面积,控制杨树每年的栽种量 b.调整树种结构,逐渐更换现有杨树 c.选育无絮杨品种,并推广种植 d.对雌性杨树注射生物干扰素,避免产生飞絮 e.其他
由两个统计图可知,选择d的人数和扇形统计图中e的圆心角度数分别为　(　　)
A.500,28.8°　　B.250,28.6°　　
C.500,28.6°　　D.250,28.8°
5.有一组样本数据x1,x2,…,x6(其中x1是最小值,x6是最大值)的平均数为,方差为s2,中位数为x',则(　　)
A.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的平均数为2
B.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的方差为s2
C.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的中位数为2x'+1
D.2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的极差为x6-x1
6.某省普通高中学业水平考试分为合格性考试(合格考)和选择性考试(选择考).其中“选择考”成绩根据学生考试时的原始卷面分数,由高到低进行排序,评定为A,B,C,D,E五个等级.某高中2022年参加“选择考”的总人数是2020年参加“选择考”总人数的2倍,为了更好地分析该校学生“选择考”的水平,统计了该校2020年和2022年“选择考”的成绩等级结果,得到如下统计图.针对该校“选择考”情况,2022年与2020年相比较,下列说法正确的是(　　)
　
A.获得A等级的人数减少了　　B.获得B等级的人数增加了1.5倍
C.获得D等级的人数减少了一半　　D.获得E等级的人数相同
7.已知甲、乙两名运动员进行射击比赛,每名运动员射击10次,得分情况如下图表所示,则根据本次比赛结果,以下说法正确的是(　　)
乙射击环数 6 7 8 9 10
频数 1 2 2 2 3
A.通过判断甲、乙射击成绩的平均数知甲比乙的射击水平高
B.甲的射击水平更稳定
C.甲射击成绩的中位数大于乙射击成绩的中位数
D.甲射击成绩的众数大于乙射击成绩的众数
8.某学校党支部组织初中、高中两个学部的党员参加全省教育系统的党史知识竞赛活动,其中初中部20名党员竞赛分数的平均数为a,方差为2;高中部50名党员竞赛分数的平均数为b,方差为.若a=b,则该学校全体参赛党员竞赛分数的方差为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.下图为2022年2月至2023年1月社会消费品零售总额增速月度同比折线图,月度同比指的是与去年同期相比,图中纵坐标为增速百分比.就图中12个月的社会消费品零售总额增速而言,以下说法正确的是(　　)
A.12个月的月度同比增速百分比的中位数为1%
B.12个月的月度同比增速百分比的平均值大于0
C.图中前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月大
D.共有8个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值
10.在某知识竞赛中,对某校的2 000名考生的参赛成绩进行统计,可得到如图所示的频率分布直方图,其中分组的区间为[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],若同一组中数据用该组区间中间值作为代表,则下列说法中正确的是(　　)
A.考生竞赛成绩的平均分为72.5分
B.若60分以下视为不及格,则这次知识竞赛的及格率为75%
C.分数在区间[60,70)内的频率为0.2
D.用样本量比例分配的分层随机抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为200的样本,则成绩在区间[70,80)内的应抽取30人
11.已知互不相同的30个样本数据,若去掉其中最大和最小的数据,设剩下的28个样本数据的方差为,平均数为;去掉的两个数据的方差为,平均数为;原样本数据的方差为s2,平均数为,若=,则下列说法正确的是(　　)
A.=
B.15s2=14+
C.剩下28个数据的中位数大于原样本数据的中位数
D.剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.杭州亚运会期间,某社区有200人加入协助交通管理的志愿团队,为了解他们参加这项活动的感受,用按比例分配的分层随机抽样的方法随机抽取了一个容量为40的样本,若样本中女性有16人,则该志愿团队中的男性人数为　　　　.
13.根据气象学上的标准,连续5天的日平均气温低于10 ℃即为入冬.将连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是自然数)作为一组样本,现有3组样本,依次计算得到如下结果:①平均数<4且极差小于或等于3;②平均数<4且标准差s≤4;③众数等于5且极差小于或等于4,则3组样本中一定符合入冬指标的样本组号是　　　　.
14.为促进学生德、智、体、美、劳全面发展,某校开发出文化艺术课程、科技课程、体育课程等多类课程.为了解该校各班参加科技课程的人数,从全校随机抽取5个班级,设这5个班级参加科技课程的人数分别为x,y,z,m,n(x四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场,且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场所去的学生的年级及比例情况如下表:
会场 高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求x∶y∶z的值;
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人,求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
16.(15分)某稻谷试验田试种了A,B两个品种的水稻各10亩,并在稻谷成熟后统计了这20亩地的稻谷产量如下表,记A,B两个品种各10亩产量(单位:10 kg)的平均数分别为和,方差分别为和.
A产量/10 kg 60 63 50 76 71 85 75 63 63 64
B产量/10 kg 56 62 60 68 78 75 76 62 63 70
(1)分别求这两个品种产量(单位:10 kg)的极差和中位数;
(2)求,,,;
(3)依据以上计算结果进行分析,推广种植A品种还是B品种水稻更合适.
17.(15分)某校为了解高一学生在五一假期中参加社会实践活动的情况,抽样调查了其中的100名学生,统计他们参加社会实践活动的时间(单位:h),并将统计数据绘制成频率分布直方图(如图所示).
(1)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的众数、中位数、平均数;
(2)估计这100名学生在这个五一假期中参加社会实践活动的时间的第75百分位数(结果保留两位小数).
18.(17分)某市为了制订合理的节水方案,对居民用水情况进行了调查.经过随机抽样,获得200户居民的年用水量(单位:t)数据,按[0,10),[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]分成九组,绘制成频率分布直方图(如图所示).
(1)求频率分布直方图中t的值;
(2)根据频率分布直方图估计该市60%的居民年用水量不超过m t,求m的值;
(3)已知该市有100万户居民,规定:每户居民年用水量不超过50 t的正常收费,若超过50 t,则超出的部分每吨收1元水资源改善基金,请估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数.(每组数据以所在区间的中点值为代表)
19.(17分)文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号,作为普通市民,既是文明城市的最大受益者,又是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识,举办了“创建文明城市”知识竞赛,从所有答卷中随机抽取100份作为样本,将样本的成绩(满分100分,成绩均为不低于40分的整数)分成六段:[40,50),[50,60),…,[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中a的值;
(2)求样本成绩的75%分位数;
(3)已知落在[50,60)内的平均成绩是54分,方差是7,落在[60,70)内的平均成绩为66分,方差是4,求两组成绩的总平均数和总方差s2.
答案全解全析
1.D　选出来的个体编号依次为12,13,20,26,03,所以选出来的第5个个体的编号为03.故选D.
2.B　三个年级抽样人数的总时长为56×3+62×3.5+52×4.5=619(h),
三个年级抽样人数的平均时长为619÷(56+62+52)≈3.64(h),
∴总体的平均时长约为3.64 h.故选B.
3.C　这10个数据从小到大排列为6,8,9,10,11,13,15,17,20,21,
又10×75%=7.5,所以75%分位数为从小到大排列的第8个数,即为17.
故选C.
4.A　设接受调查市民的总人数为x,由调查结果条形统计图可知选择a的人数为300,通过调查结果的扇形统计图可知选择a的人数比例为15%=×100%,解得x=2 000.
∴选择d的人数为2 000×25%=500,
∴扇形统计图中e的圆心角度数为(1-15%-12%-40%-25%)×360°=28.8°.故选A.
5.C　对于A,由平均数的性质得2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的平均数为2+1,错误;
对于B,由方差的性质得2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的方差为22×s2=4s2,错误;
对于C,2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的中位数为2x'+1,正确;
对于D,2x1+1,2x2+1,…,2x6+1的极差为2(x6-x1),错误.
故选C.
6.B　设2020年参加“选择考”的总人数为a(a>0),则2022年参加“选择考”的总人数为2a.
2020年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.28a,0.32a,0.30a,0.08a,0.02a;
2022年评定为A,B,C,D,E五个等级的人数分别为0.48a,0.80a,0.56a,0.12a,0.04a.
由此可知获得A等级的人数增加了,故A错误;
由于=1.5,所以获得B等级的人数增加了1.5倍,故B正确;
获得D等级的人数增加了,故C错误;
获得E等级的人数增加了1倍,故D错误.
故选B.
7.B　甲射击成绩的平均数=×(5+7+3×8+4×9+10)=8.2,
乙射击成绩的平均数=×(6+2×7+2×8+2×9+3×10)=8.4,
∵<,∴乙的射击水平更高,故A错误;
甲射击成绩的方差=×[(5-8.2)2+(7-8.2)2+3×(8-8.2)2+4×(9-8.2)2+(10-8.2)2]=1.76,
乙射击成绩的方差=×[(6-8.4)2+2×(7-8.4)2+2×(8-8.4)2+2×(9-8.4)2+3×(10-8.4)2]=1.84,
∵<,∴甲的射击水平更稳定,故B正确;
甲的射击成绩由小到大排列为5,7,8,8,8,9,9,9,9,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以甲射击成绩的中位数是=8.5,
乙的射击成绩由小到大排列为6,7,7,8,8,9,9,10,10,10,位于第5、6位的数分别是8,9,所以乙射击成绩的中位数是=8.5,故C错误;
甲射击成绩的众数为9,乙射击成绩的众数为10,故D错误.
故选B.
8.D　设初中部20名党员的竞赛分数分别为x1,x2,…,x20,高中部50名党员的竞赛分数分别为y1,y2,…,y50,根据题意得×[(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2]=2,×[(y1-b)2+(y2-b)2+…+(y50-b)2]=,
又a=b,
所以(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2=40,(y1-a)2+(y2-a)2+…+(y50-a)2=140,易知该学校全体参赛党员竞赛分数的平均数为a,
则该学校全体参赛党员竞赛分数的方差为×[(x1-a)2+(x2-a)2+…+(x20-a)2+(y1-a)2+(y2-a)2+…+(y50-a)2]==.故选D.
9.AC　由题中折线图可得12个月的月度同比增速百分比(%)由小到大依次为-11.1,-6.7,-5.9,-3.5,-1.8,-0.5,2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7.
对于A,12个月的月度同比增速百分比(%)的中位数为=1,故A正确;
对于B,因为×[(-11.1)+(-6.7)+(-5.9)+(-3.5)+(-1.8)+(-0.5)+2.5+2.7+3.1+3.5+5.4+6.7]=-<0,
所以12个月的月度同比增速百分比(%)的平均值小于0,故B错误;
对于C,由题中折线图可得前6个月的月度同比增速百分比先大幅度波动,然后渐渐趋于稳定,后6个月的波动整体较小,
所以前6个月的月度同比增速百分比的波动比后6个月大,故C正确;
对于D,-≈-0.47,大于-0.47的有2.5,2.7,3.1,3.5,5.4,6.7,共有6个,
所以共有6个月的月度同比增速百分比大于12个月的月度同比增速百分比的平均值,故D错误.故选AC.
10.AC　对于A,平均分为0.05×45+0.15×55+0.2×65+0.3×75+0.2×85+0.1×95=72.5(分),正确;
对于B,大于60分的频率为(0.02+0.03+0.02+0.01)×10=0.8,
所以这次知识竞赛的及格率为80%,错误;
对于C,分数在区间[60,70)内的频率为0.02×10=0.2,正确;
对于D,分数在区间[70,80)内的频率为0.03×10=0.3,所以成绩在区间[70,80)内的应抽取0.3×200=60人,错误.
故选AC.
11.ABD　对于A,剩下的28个样本数据的和为28,去掉的两个数据的和为2,原样本数据的和为30,所以28+2=30,因为=,所以=,故A正确;
对于B,设x1因为==,所以=[+],
所以28+2=+++…++=30s2,
所以15s2=14+,故B正确;
对于C,剩下28个数据的中位数等于原样本数据的中位数,故C错误;
对于D,30×22%=6.6,所以原数据的22%分位数为从小到大排列后的第7个,28×22%=6.16,所以剩下28个数据的22%分位数为从小到大排列后的第7个,
因为去掉了最小值,且各数据互不相同,则剩下28个数据的22%分位数不等于原样本数据的22%分位数,故D正确.
故选ABD.
12.答案　120
解析　由题意得志愿团队中的男性人数为200×=120.
13.答案　①③
解析　对于①,假设有数据大于或等于10,由极差小于或等于3,得数据中最小值为10-3=7,此时数据的平均数必然大于7,与<4矛盾,故假设错误,所以此组数据全部小于10,故①符合题意;
对于②,举反例:1,1,1,1,11,平均数=3<4,标准差s=4,但不符合入冬标准,故②不符合题意;
对于③,因为众数为5,极差小于或等于4,所以最大值不超过9,故③符合题意.
故答案为①③.
14.答案　0
解析　依题意得=9,
=4,
化简得x+y+z+m+n=45,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20.
易知n≥m+1≥z+2≥y+3≥x+4,x+y+z+m+n≤5n-10,可得n≥11.
又因为(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2+(9-n)2=20,
所以9-x,9-y,9-z,9-m,9-n这5个数的绝对值不超过4,所以9-n≥-4,即11≤n≤13,
当n=13时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=4,无解;
当n=12时,可得(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=11,由x当n=11时,(9-x)2+(9-y)2+(9-z)2+(9-m)2=16,无解.
综上,z-9=0.
故答案为0.
15.解析　(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,
则去A会场的学生人数为0.25(a+b+c),
去B会场的学生人数为0.75(a+b+c),(3分)
则对应人数如表:
会场 高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.(6分)
(2)依题意得,n×0.75×0.5=75,解得n=200,(8分)
故抽到的A会场的学生人数为50,(10分)
抽到的A会场高一年级人数为50×50%=25,高二年级人数为50×40%=20,高三年级人数为50×10%=5.(13分)
16.解析　(1)由表中数据可知,A品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为50,60,63,63,63,64,71,75,76,85,故A品种的极差为85-50=35,中位数为=63.5;(2分)
B品种的产量(单位:10 kg)从小到大排列为56,60,62,62,63,68,70,75,76,78,B品种的极差为78-56=22,中位数为=65.5.(4分)
(2)由题意得==67,(6分)
==67,(8分)
=×[(60-67)2+(63-67)2+…+(64-67)2]=88,(10分)
=×[(56-67)2+(62-67)2+…+(70-67)2]=51.2.(12分)
(3)结合(2)知A,B两个品种水稻的产量平均数一样,但是B的方差较小,较稳定,所以推广B品种水稻更合适.(15分)
17.解析　(1)由题中频率分布直方图可看出最高矩形底边中点的横坐标为20,故众数是20 h;(2分)
由(0.02+0.06+0.075+a+0.025)×4=1,解得a=0.07,(4分)
∵(0.02+0.06)×4=0.32,且(0.02+0.06+0.075)×4=0.62,
∴中位数在[18,22)内,设中位数为x h,
则=,解得x=20.4,故中位数是20.4 h.(7分)
平均数为(0.02×12+0.06×16+0.075×20+0.07×24+0.025×28)×4=20.32(h).(9分)
(2)(0.02+0.06+0.075+0.07)×4=0.9,
∴结合(1)知第75百分位数在[22,26)内,
设第75百分位数为y h,(12分)
则=,解得y≈23.86.故第75百分位数约为23.86 h.(15分)
18.解析　(1)由题中频率分布直方图得10×(0.003+0.008+0.022+0.024+0.007+0.003+0.003+2t)=1,解得t=0.015.(3分)
(2)由题中频率分布直方图得,
前4组频率之和为0.03+0.08+0.15+0.22=0.48,前5组频率之和为0.48+0.24=0.72,所以40由=,解得m=45.(12分)
(3)由题可知在区间[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]内的居民年用水量(单位:t)分别取55,65,75,85为代表,则他们的年用水量分别超出5 t,15 t,25 t,35 t,(14分)
则106×(0.15×5+0.07×15+0.03×25+0.03×35)=3.6×106(元),
所以估计该市居民每年缴纳的水资源改善基金总数为3.6×106元.(17分)
19.解析　(1)由题意得(0.005+0.010+0.020+a+0.025+0.010)×10=1,解得a=0.030.(4分)
(2)成绩落在[40,80)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030)×10=0.65,
落在[40,90)内的频率为(0.005+0.010+0.020+0.030+0.025)×10=0.9,
故75%分位数在[80,90)内,(7分)
设75%分位数为m分,
则0.65+(m-80)×0.025=0.75,解得m=84,故75%分位数为84分.(10分)
(3)成绩落在[50,60)内的市民人数为100×0.1=10,落在[60,70)内的市民人数为100×0.2=20,(12分)
故==62(分).(14分)
由样本方差计算总体方差公式,得总体方差s2={10[7+(54-62)2]+20[4+(66-62)2]}=37.
所以两组成绩的总平均数是62分,总方差是37.(17分)
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