2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第六章　平面向量及其应用

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2025人教A版高中数学必修第二册
第六章　平面向量及其应用
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.在△ABC中,AD为BC边上的中线,点E为AD的中点,则=(　　)
A.-　　B.-
C.+　　D.+
2.已知a和b是两个不共线的向量,若=a+mb,=5a+4b,=-a-2b,且A,B,D三点共线,则实数m的值为(　　)
A.　　B.1　　C.-　　D.-1
3.△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2ccos B,ccos B+bcos C=c,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰非直角三角形　　B.直角非等腰三角形　　
C.等边三角形　　D.等腰直角三角形
4.若单位向量a,b的夹角为,则a+2b与a-b的夹角的余弦值为(　　)
A.　　B.　　C.-　　D.-
5.数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理:三角形的外心、重心、垂心依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,该直线被称为三角形的欧拉线,设点O,G,H分别为△ABC的外心、重心、垂心,则下列各式一定正确的是(　　)
A.=　　B.=
C.=　　D.=
6.已知点O是△ABC内一点,满足+2=m,=,则实数m=(　　)
A.2　　B.-2　　C.4　　D.-4
7.某人用下述方法证明了正弦定理:如图1,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=90°,记与方向相同的单位向量为i,∵+=,∴i·(+)=i·,进而得i·+i·=i·,即acos(90°-B)=bcos(90°-A),即asin B=bsin A,钝角三角形及直角三角形也满足.请用上述方法探究:如图2,直线l与锐角△ABC的边AB,AC(不含端点)分别相交于点D,E,设BC=a,CA=b,AB=c,∠ADE=θ,则θ与△ABC的边和内角之间的等量关系为(　　)
　　
A.acos(B+θ)+bcos(A-θ)=ccos θ　　B.acos(B+θ)+bcos(A-θ)=csin θ
C.acos(B-θ)+bcos(A+θ)=csin θ　　D.acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ
8.在△ABC中,已知·=9,sin B=cos Asin∠ACB,S△ABC=6,P为线段AB上一点(不含端点),且=x·+y·,则+的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.若平面向量a=(n,2),b=(1,m-1),其中n,m∈R,则下列说法正确的是(　　)
A.若2a+b=(2,6),则a∥b
B.若a=-2b,则与b同向的单位向量为
C.若n=1,且a与b的夹角为锐角,则实数m的取值范围为
D.若a⊥b,则z=2n+4m的最小值为4
10.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=,b=2,则下列说法正确的是(　　)
A.若c=1,则·=1
B.|-t|(t∈R)的最小值为
C.当△ABC有两个解时,a的取值范围是[,2)
D.当△ABC为锐角三角形时,a的取值范围是(,2)
11.已知△ABC的外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结论正确的是(　　)
A.·=·=·
B.·=
C.向量与+共线
D.过点G的直线l分别与AB,AC交于E,F两点,若=λ,=μ(λ,μ≠0),则+=3
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.在△ABC中,·<0,S△ABC=,||=3,||=5,则∠BAC=　　　　.
13.在△ABC中,=,E是线段AD上的动点(与端点不重合),设=x+y(x,y∈R),则的最小值是　　　　　.
14.在锐角三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足b2-a2=ac,则-的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=,c=2,cos C=-.
(1)求sin B和a的值;
(2)求△ABC的面积.
16.(15分)在△ABC中,已知AB=2,AC=6,∠BAC=60°,AC边上的中线为BN,M为BC边上靠近B的四等分点,AM与BN交于点P.
(1)用与表示,并计算AM的长;
(2)求∠NPM的余弦值.
17.(15分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,2cos Acos C=.
(1)求B;
(2)若b=2,求a+c的最大值.
18.(17分)某商店经营者陈某准备在商店门前“摆地摊”,经营冷饮生意.已知该商店门前是一块角形区域,如图所示,其中∠APB=120°,且在该区域内的点R处有一个路灯,经测量,点R到区域边界PA,PB的距离分别为RS=4,RT=6.陈某准备过点R修建一条长椅MN(点M,N分别落在射线PA,射线PB上,长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计),供购买冷饮的人休息.
(1)求点P到点R的距离;
(2)为优化经营面积,当PM为多少时,三角形PMN的面积最小 并求出最小面积.
19.(17分)已知O为坐标原点,对于函数f(x)=asin x+bcos x,称向量=(a,b)为函数f(x)的相伴特征向量,同时称函数f(x)为向量的相伴函数.
(1)设函数g(x)=sin-sin,试求g(x)的相伴特征向量;
(2)记向量=(1,)的相伴函数为f(x),求当f(x)=且x∈时,sin x的值;
(3)已知A(-2,3),B(2,6),=(-,1)为函数h(x)=msin的相伴特征向量,φ(x)=h,在y=φ(x)的图象上是否存在一点P,使得⊥ 若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
答案全解全析
1.B　∵AD为BC边上的中线,∴=(+),
又∵点E为AD的中点,∴=+=+=(+)+(-)=-.
故选B.
2.B　因为=+=5a+4b+a+2b=6a+6b,且A,B,D三点共线,
所以存在实数λ,使得=λ,即a+mb=λ(6a+6b),又a,b不共线,
所以解得m=1.故选B.
3.D　因为a=2ccos B,所以a=2c·,整理得b=c.
因为ccos B+bcos C=c,所以sin Ccos B+sin Bcos C=sin C,
所以sin(B+C)=sin C,即sin A=sin C,所以a=c,
又a=2ccos B,所以c=2ccos B,所以cos B=,
因为B∈(0,π),所以B=,所以C=,A=,
故△ABC为等腰直角三角形.
故选D.
4.D　由题意得a·b=1×1×cos =,
故(a+2b)·(a-b)=a2+a·b-2b2=-,
|a+2b|===,
|a-b|===1,
所以cos===-.故选D.
5.D　∵O,G,H依次位于同一条直线上,且外心到重心的距离是垂心到重心距离的一半,∴=,∴=,=,A错误,B错误;
=+=+=+(-)=,C错误;
=+=+=+(-)=,D正确.
故选D.
6.D　由+2=m得+=,易知m<0,
设=,则+=,
∴A,B,D三点共线,且,反向共线,如图所示,
∵与反向共线,∴=,
∴===,解得m=-4.
故选D.
一题多解　奔驰定理:已知P为△ABC内一点,则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0.
由题目条件整理可得+2-m=0,
所以由奔驰定理可得S△OAB∶S△OAC∶S△OBC=-m∶2∶1,
即S△OAB∶S△ABC=-m∶(-m+3),
所以=,解得m=-4.
7.D　设与方向相同的单位向量为i,
∵+=,
∴i·(+)=i·,
∴i·+i·=i·,
∴ccos(π-θ)+acos(θ-B)=bcos[π-(A+θ)],
∴-ccos θ+acos(B-θ)=-bcos(A+θ),
即acos(B-θ)+bcos(A+θ)=ccos θ.
故选D.
8.D　设AB=c,BC=a,AC=b.
∵sin B=cos Asin∠ACB,∴sin(A+∠ACB)=sin∠ACBcos A,
即sin Acos∠ACB+cos Asin∠ACB=sin∠ACBcos A,
∴sin Acos∠ACB=0,
∵sin A≠0,∴cos∠ACB=0,∴∠ACB=90°.
∵·=9,S△ABC=6,
∴bccos A=9,bcsin A=6,∴tan A=,
根据三角形ABC是直角三角形可得sin A=,cos A=,∴bc=15,
∴c=5,b=3,a=4.
以C为原点,AC所在直线为x轴,BC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,如图,
则C(0,0),A(3,0),B(0,4),
∴=(3,0),=(0,4).
∵P为线段AB上一点(不含端点),
∴存在实数λ,使得=λ+(1-λ)=(3λ,4-4λ)(0<λ<1).
易得=(1,0),=(0,1),
∴=x·+y·=(x,0)+(0,y)=(x,y),
∴x=3λ,y=4-4λ,∴4x+3y=12,且x∈(0,3),y∈(0,4).
则+=(4x+3y)=≥+×2=,当且仅当=,即x=12-6,y=8-12时,等号成立,
故+的最小值为.故选D.
9.BD　A选项,2a+b=(2n+1,3+m)=(2,6),
则解得则a=,b=(1,2),
所以不存在实数λ,使b=λa,即a,b不共线,A错误;
B选项,若a=-2b,则解得
所以b=(1,-1),|b|==,
所以与b同向的单位向量为=,B正确;
C选项,当n=1时,a=(1,2),因为a与b的夹角为锐角,所以解得m>,且m≠3,
故m的取值范围为∪(3,+∞),C错误;
D选项,若a⊥b,则a·b=n+2(m-1)=2m+n-2=0,即2m+n=2,
所以z=2n+4m=2n+22m≥2=2=4,
当且仅当2n=22m,即n=2m=1时,等号成立,D正确.
故选BD.
10.BD　对于A,·=||·||cos(π-A)=-bccos A=-1,A错误;
对于B,=-2t·+t2=b2-2tbccos A+t2c2=4-2tc+t2c2=3+(1-tc)2≥3,当且仅当tc=1时等号成立,
所以|-t|(t∈R)的最小值为,B正确;
对于C,由=,得sin B==,当△ABC有两个解时,
a对于D,由A=,得C=π-A-B=-B,
当△ABC为锐角三角形时,解得则又a==,
所以a的取值范围是(,2),D正确.
故选BD.
11.BCD　因为O为外心,所以OA=OB=OC,所以当且仅当∠AOB=∠AOC=∠BOC时,才有·=·=·,故A中结论错误;
因为·=||||cos∠OAB,||cos∠OAB=,
所以·=,故B中结论正确;
易得·=+
=+=-||+||=0,
所以+与垂直,又因为⊥,
所以与+共线,故C中结论正确;
如图,取BC的中点D,连接AD,则G为AD上靠近D的三等分点,
所以==(+)=+,
因为E,G,F三点共线,所以+=1,故+=3,故D中结论正确.
故选BCD.
12.答案　
解析　因为·=||||cos∠BAC<0,所以∠BAC>,
因为S△ABC=||·||sin∠BAC=×3×5sin∠BAC=,
所以sin∠BAC=,故∠BAC=.
13.答案　16
解析　因为=,所以=,
因为=x+y,
所以=x+y,
又因为A,D,E三点共线,
所以x+y=1,x>0,y>0,
则=+==++10≥2+10=16,
当且仅当即时,等号成立,
所以的最小值是16.
14.答案　
解析　因为b2-a2=ac,b2=a2+c2-2accos B,所以ac=c2-2accos B,所以a=c-2acos B,
由正弦定理得sin A=sin C-2sin Acos B,
即sin A=sin(A+B)-2sin Acos B=sin Acos B+cos Asin B-2sin Acos B=cos Asin B-sin Acos B=sin(B-A),
因为△ABC为锐角三角形,
所以A,B∈,所以B-A∈,所以A=B-A,
所以B=2A,C=π-3A.
由A,B,C∈,可得A∈,故B∈.
-=-====,
易得sin B∈,所以-∈.
15.解析　(1)在△ABC中,由cos C=-,可得sin C==.(3分)
由=及b=,c=2,可得sin B=.(6分)
由余弦定理得c2=a2+b2-2abcos C,即4=a2+2+a,整理得3a2+2a-6=0,(9分)
由a>0,解得a=.(10分)
(2)由(1)知a=,sin C=,
所以S△ABC=absin C=×××=.(13分)
16.解析　解法一:(1)∵M为BC边上靠近B的四等分点,
∴==-.(2分)
∴=+=+,(4分)
∴==+·+,
∵AB=2,AC=6,∠BAC=60°,∴·=6,
∴=×62+×6+×22,∴AM=.(7分)
(2)易知∠NPM为向量与的夹角,∴cos∠NPM=.
∵AC边上的中线为BN,∴=-=-,(9分)
∴==+-·=×62+22-6=7,
∴BN=.(12分)
∵=+,=-,
∴·=·=-+·=,(14分)
∴cos∠NPM===.(15分)
解法二:(1)以点A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,
则A(0,0),B(1,),C(6,0),
∵AC边上的中线为BN,∴N(3,0),(3分)
∵M为BC边上靠近B的四等分点,∴M.(6分)
设=x+y(x,y∈R),则=x(6,0)+y(1,),所以解得所以=+,
||==,即AM的长为.(9分)
(2)易知∠NPM为向量与的夹角,∴cos∠NPM=,
易知=,=(2,-),(12分)
则·=×2+×(-)=,||=,(14分)
故cos∠NPM===.(15分)
17.解析　(1)因为2cos Acos C=,
所以2cos Acos C+=,
即2cos Csin A+2cos Asin C=,
所以2sin(A+C)=,(4分)
又sin(A+C)=sin B,且sin B≠0,所以cos B=,(7分)
因为B∈(0,π),所以B=.(9分)
(2)由余弦定理的推论得cos B==,
即=,故(a+c)2-4=3ac,(12分)
因为ac≤(a+c)2,所以(a+c)2-4≤(a+c)2,解得0当且仅当a=c=2时,等号成立,
故a+c的最大值为4.(15分)
18.解析　(1)连接ST,RP,如图,在四边形RSPT中,∠PSR=90°,∠PTR=90°,∠SPT=120°,则∠SRT=60°,
在△RST中,由余弦定理知ST2=RS2+RT2-2RS·RTcos∠SRT=42+62-2×4×6×cos 60°=28,
∴ST=2,(3分)
∴cos∠STR===.(5分)
∵∠PTS+∠STR=90°,
∴sin∠PTS=cos∠STR=.(7分)
在△PST中,由正弦定理知=,即=,
∴SP=.
在Rt△SPR中,PR2=RS2+SP2=42+=,
∴PR=,∴点P到点R的距离为.(9分)
(2)由三角形面积公式知S△PMN=PM·PN·sin 120°=PM·PN.(12分)
又S△PMN=S△PRM+S△PRN=PM·RS+PN·RT
=PM×4+PN×6=2PM+3PN,
∴PM·PN=2PM+3PN≥2,
∴PM·PN≥128,当且仅当2PM=3PN,即PM=8,PN=时,等号成立,(15分)
∴S△PMN=PM·PN≥×128=32,
故当PM为8时,三角形PMN的面积最小,最小面积为32.(17分)
19.解析　(1)g(x)=sin-sin=sin xcos+cos xsin+cos x=-sin x+cos x,
∴g(x)的相伴特征向量=.(2分)
(2)向量=(1,)的相伴函数为f(x)=sin x+cos x,
令f(x)=sin x+cos x=,即2sin=,∴sin=.
∵x∈,
∴x+∈,∴cos=,
∴sin x=sin=sin-cos=.(5分)
(3)假设存在满足条件的点P.
∵h(x)=msin=msin x-mcos x,=(-,1)为h(x)的相伴特征向量,∴m=-2,
∴φ(x)=h=-2sin=-2sin=2cos.(7分)
设P,
∵A(-2,3),B(2,6),
∴=,=,
∵⊥,∴·=0,
∴(x+2)(x-2)+=0,
即x2-4+4cos2-18cos+18=0,(9分)
∴=-x2,
∵-2≤2cos≤2,∴-≤2cos-≤-,
∴≤≤.
又∵-x2≤,当且仅当x=0时,等号成立,∴x=0.
∴在y=φ(x)的图象上存在点P(0,2),使得⊥.(17分)
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