2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第六章　平面向量及其应用复习提升

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2025人教A版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　忽视向量的方向致错
1.(多选题)(2024江苏连云港月考)已知平面向量a=(1,1),b=(-3,4),则下列说法正确的是(　　)
A.cos=
B.b在a上的投影向量为a
C.与b垂直的单位向量的坐标为
D.若向量a+λb与a-λb共线,则实数λ=0
易错点2　已知两向量夹角为锐角(或钝角),求参数时忽略向量共线的情况致错
2.(多选题)(2024江苏镇江期中)下列选项中正确的是(　　)
A.已知向量a=(2,),b=(sin θ,cos θ),若a∥b,则tan θ=
B.已知向量a=(1,3),b=(m,-2),若a,b的夹角为钝角,则m<6
C.已知非零向量a,b,若|a+b|=|a|+|b|,则a与b同向共线
D.若+3+4=0,则△AOC和△ABC的面积之比为3∶8
3.(2024陕西咸阳实验中学月考)单位向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-,则a与b夹角的余弦值为　　　　;若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则实数k的取值范围为　.
易错点3　混淆或错用公式致错
4.(2024山东菏泽第一中学月考)已知向量a=(1,),b=(cos α,sin α),则下列结论不正确的是(　　)
A.若a∥b,则tan α=
B.若a⊥b,则tan α=-
C.若a与b的夹角为,则|a-b|=3
D.若a与b方向相反,则b在a上的投影向量的坐标是
易错点4　解三角形时忽略隐含条件致错
5.在钝角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c=btan C,则sin A-3cos C的最小值为　(　　)
A.-　　B.-2　　C.-　　D.-
6.(2024云南昆明月考)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且A=,则△ABC周长的取值范围为　　　　.
7.(2024北京朝阳陈经纶中学期中)在锐角△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知a=,b=3,sin B+sin A=2.
(1)求角A的大小;
(2)求△ABC的面积.
思想方法练
一、分类讨论思想在解三角形中的应用
1.(2024广东东莞东华高级中学月考)在△ABC中,若a-ccos B=b-ccos A,则△ABC的形状是(　　)
A.等腰三角形　　B.直角三角形　　
C.等腰直角三角形　　D.等腰或直角三角形
2.(2024山东莱州第一中学开学考试)在△ABC中,已知c=,A=45°,a=2,则b=　　　　.
二、函数与方程思想在平面向量中的应用
3.如图,在△ABC中,M是AB上的点且满足=3,N是AC上的点且满足=,CM与BN交于点P,设=a,=b,则=(　　)
A.a+b　　B.a+b C.a+b　　D.a+b
4.(2024广东深圳致理中学月考)如图,在直角梯形ABCD中,∠DAB=,∠ABC=,AB∥DC,||=3,||=2.
(1)求·;
(2)若k-与共线,求实数k的值;
(3)若P为BC边上的动点(不包括端点),求(+)·的最小值.
三、数形结合思想在平面向量中的应用
5.(2024福建福州格致中学期中)在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=2,AC=4,D为BC的中点,点P在AD上,则·的取值范围为(　　)
A.[-5,0]　　B.[-3,0]　　C.[0,3]　　D.[0,5]
6.(2024河南周口鹿邑第二高级中学月考)已知平面向量a,b,c满足|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,则b·c的最大值为　　　　.
7.(2024四川成都第七中学月考)已知平面向量a,b满足|a|=|b|=a·b=1,2|c|2=b·c,则|c-a|2+|c-b|2的最小值是　　　　.
四、转化与化归思想在解三角形中的应用
8.(2024江苏如皋中学月考)在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足=,则的取值范围为　　　　　.
9.(2023湖南四大名校统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为S,且2S=(a2+b2)sin A.
(1)求C的值;
(2)若a=,求△ABC周长的取值范围.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.AD 2.ACD 4.C 5.C
1.AD　由题意知|a|==,|b|==5,
a·b=1×(-3)+1×4=1.
对于A,cos===,故A正确;
对于B,b在a上的投影向量为·=·a=a,故B错误;
对于C,设与b垂直的单位向量的坐标为(x0,y0),
可得解得或
所以与b垂直的单位向量的坐标为或
易错点,故C错误;
对于D,因为向量a+λb与a-λb共线,
所以存在t∈R,使得a+λb=t(a-λb)=ta-λtb,则解得故D正确.
故选AD.
2.ACD　对于A,若a∥b,则sin θ=2cos θ,
可得tan θ=,故A正确;
对于B,若a,b的夹角为钝角,则解得m<6且m≠-,故B错误;
对于C,若|a+b|=|a|+|b|,且a,b为非零向量,则由向量加法的三角形法则可知a,b同向,即a与b同向共线,故C正确;
对于D,若+3+4=0,则(+)+3(+)=0,可得2+6=0(D,E分别为AC,BC的中点),即=-3,故点O在线段DE上,且OD=DE,
则S△ABC=2S△ACE=2×S△AOC=S△AOC,即=,
所以△AOC和△ABC的面积之比为3∶8,故D正确.
故选ACD.
选项速解　对于D,由+3+4=0及奔驰定理得S△BOC∶S△AOC∶S△AOB=1∶3∶4,所以S△AOC∶S△ABC=3∶8.
3.答案　;∪
解析　因为|a|=|b|=1,(a+2b)·(a-b)=-,
所以a2+a·b-2b2=-,即1+a·b-2=-,则a·b=,则cos==,即a与b夹角的余弦值为.
若ka+b与a+3b的夹角为锐角,则(ka+b)·(a+3b)>0且ka+b与a+3b不共线易错点,
当ka+b与a+3b共线时,有ka+b=λ(a+3b)(λ∈R),
即ka+b=λa+3λb(λ∈R),
易知a与b不共线,所以解得k=,
所以当ka+b与a+3b不共线时,k≠,
由(ka+b)·(a+3b)>0,得ka2+(3k+1)a·b+3b2>0,
即k+(3k+1)×+3>0,解得k>-,
所以k>-且k≠,即实数k的取值范围为∪.
易错警示　若向量a与b的夹角为锐角,则a·b>0,但a·b>0时,a与b的夹角为锐角或零角.同理,若向量a与b的夹角为钝角,则a·b<0,但a·b<0时,a与b的夹角为钝角或平角.已知两向量夹角为锐角(或钝角)求参数时,要排除向量共线的情况.
4.C　对于A,由a∥b,得sin α=cos α
易错点,因此tan α=,A中结论正确;
对于B,由a⊥b,得cos α+sin α=0
易错点,因此tan α=-,B中结论正确;
对于C,因为a与b的夹角为,|a|==2,
|b|==1,所以a·b=2×1×=1,
因此|a-b|==,C中结论错误;
对于D,因为a与b方向相反,所以a与b的夹角为π,所以a·b=2×1×(-1)=-2,则b在a上的投影向量为·=-a=,D中结论正确.
故选C.
易错警示　已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则x1y2-x2y1=0,若a⊥b,则x1x2+y1y2=0.两个坐标表示形式相似,容易混淆,可分别用口诀记忆:纵横交错积相等,横横纵纵积相反.
5.C　因为c=btan C,所以由正弦定理得sin C=sin B·,
易知sin C≠0,所以sin B=cos C,
又因为△ABC为钝角三角形,
所以B=+C,即B为钝角,
所以sin A-3cos C=sin(B+C)-3cos C
=sin-3cos C=cos 2C-3cos C
=2cos2C-3cos C-1=2-,
由
解得0故当cos C=时,2-取得最小值-,即sin A-3cos C的最小值为-,故选C.
6.答案　(4,6]
解析　由正弦定理得====4,
∴b=4sin B,c=4sin C,
由A+B+C=π,A=得B+C=,
故C=-B,且0∴b+c=4(sin B+sin C)=4sin B+sin
=4sin B+cos B+sin B=4sin B+cos B
=4sin B+cos B=4sin,
∵0∴∴△ABC周长的取值范围为(4,6].
易错警示　在三角形中隐含着一些角的范围,三角形内角和为π,若已知一个角的大小,则另外两个角的范围不能是(0,π),如A=,则B∈,特别是在求值域问题时会用到.
7.解析　(1)由题意,结合正弦定理得=,∴sin B=3sin A,
根据sin B+sin A=2,得sin A=,
∵△ABC为锐角三角形,∴A∈,∴A=.
(2)由题意,结合余弦定理得a2=c2+9-6c·cos =7,解得c=1或c=2.当c=1时,cos B==-<0,故B为钝角
易错点,这与△ABC为锐角三角形矛盾,故不满足条件.
当c=2时,满足题意,此时△ABC的面积为bc·sin A=×3×2×=.
易错警示　在解三角形时,若三角形有两解,则要根据题中条件进行检验,否则可能会产生增根,如本题中求出c有2个值后进行检验,舍去c=1的情形.
思想方法练
1.D 3.B 5.A
1.D　由余弦定理的推论得a-c×=b-c×,化简得=,
即(a2+b2-c2)=0.
两个因式的乘积等于0,故分情况讨论.
当a2+b2-c2=0时,a2+b2=c2,则△ABC为直角三角形;
当a2+b2-c2≠0时,a=b,则△ABC为等腰三角形.
综上,△ABC为等腰或直角三角形,故D正确.
故选D.
2.答案　+1或-1
解析　∵=,c=,A=45°,a=2,
∴sin C===,
∴C=60°或C=120°.
角C有两个解,需分类讨论.
当C=60°时,B=75°,
则b===+1;
当C=120°时,B=15°,
则b===-1.
思想方法　在应用正、余弦定理解三角形时,会根据题中信息进行分类讨论,特别是在已知三角形两边及一边的对角解三角形时,需要注意解的个数,若有两个解,则需分类讨论.
3.B　由=3得=,由=得=,
由C,P,M三点共线,可得=λ+(1-λ)(λ∈R),即=λ+,
由N,P,B三点共线,可得=μ+(1-μ)(μ∈R),即=+(1-μ),
故解得
根据平面向量基本定理的唯一性建立方程组.
故=a+b.故选B.
4.解析　(1)过C作CH⊥AB于H,易知HB=AB-CD=1,又∠CBA=45°,所以HC=1,
以A为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示:
则A(0,0),B(3,0),D(0,1),C(2,1),则=(2,1),=(-3,1),
故·=2×(-3)+1×1=-5.
(2)由(1)可知=(3,0),=(0,1),=(2,1),
故k-=(3k,0)-(0,1)=(3k,-1),
若k-与共线,则3k×1=-2,
根据向量共线列关于k的方程,解方程求值.
解得k=-.
(3)设=λ,λ∈(0,1),则=λ=(λ,-λ),易知P(λ+2,1-λ),
则=(-λ-2,λ-1),=(1-λ,λ-1),=(-λ,λ),
则(+)·=(-2λ-1,2λ-2)·(-λ,λ)=2λ2+λ+2λ2-2λ=4λ2-λ,
通过坐标运算,将(+)·表示成关于λ的二次函数,利用函数的性质求得最值.
对于y=4λ2-λ,λ∈(0,1),其图象的对称轴为直线λ=,故其最小值为4×-=-,
故(+)·的最小值为-.
思想方法　一般运用方程思想解决平面向量中的线性运算问题,解题的关键在于设置变量,然后利用已知条件或公式、定理构造方程(组)求解.
　　一般运用函数思想解决平面向量中的最值问题,解题的关键在于设置变量,然后将所求用变量表示出来,构造关于变量的函数,函数一般为二次函数、反比例函数等.在利用函数性质求解最值时,要注意变量的取值范围.
5.A　根据直角三角形的特点,建立平面直角坐标系,利用数量积的坐标运算求最值,可以化繁为简.
以A为坐标原点,,的方向分别为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,
所以A(0,0),B(0,2),C(4,0),
因为D为BC的中点,所以D(2,1),
则=(2,1),设=λ(0≤λ≤1),
所以=λ(2,1)=(2λ,λ),则P(2λ,λ),
可得=(0,2)-(2λ,λ)=(-2λ,2-λ),=(4,0)-(2λ,λ)=(4-2λ,-λ),
所以·=-10λ+5λ2=5(λ-1)2-5,
因为0≤λ≤1,所以·=5(λ-1)2-5∈[-5,0].
故选A.
6.答案　12
解析　根据向量的几何表示和向量的减法作出图形,再由几何图形特征求解,可以化难为易.
如图,设=a,=b,=c,则=a-b,=a-c,由|a|=|a-b|=2,|a-c|=1,得点B在以A为圆心,2为半径的圆上,点C在以A为圆心,1为半径的圆上,
b·c=||||cos<,>,由图可知,当A,B,C三点共线(B,C的位置如图中的B',C')时,||取最大值4,||取最大值3,cos<,>取最大值1,所以b·c的最大值为12.
7.答案　-
解析　根据向量的几何表示画出a,b,c,由题意结合图形特征求解.
如图,
令=a,=b,=c,D,E分别为OB,AB的中点,F为OD的中点,
由|a|=|b|=a·b=1,得|a|=1,|b|=2,cos=,所以△OAB为直角三角形,则AB=,
由2|c|2=b·c,得2·-·=2·-=2·(-)=2·=0,
即OC⊥CD,故点C的轨迹是以OD为直径的圆,
在△BCE中,由余弦定理得CB2=BE2+CE2-2BE·CEcos∠BEC,
在△ACE中,由余弦定理得CA2=AE2+CE2-2AE·CEcos(180°-∠BEC),
故CA2+CB2=AE2+BE2+2CE2,
则|c-a|2+|c-b|2=+2CE2,
易知当F、C、E三点共线,且点C在点F、E之间时,CE最短,CEmin=EF-OD(圆外一点到圆上的点的最小距离为圆外一点到圆心的距离减去半径),
由余弦定理得EF==,则CEmin=-,
故|c-a|2+|c-b|2=+2CE2≥+2×=-.
思想方法　数形结合思想作为一种重要的数学思想方法,在平面向量中有重要的应用:
1.以数解形,化繁为简.可以通过建立平面直角坐标系,利用向量的坐标运算解决几何问题.
2.以形助数,化难为易.可以利用平面向量的几何表示、三角形法则、平行四边形法则和模的几何意义等将给出的向量在几何图形中表示出来,根据几何图形的相关知识,解决平面向量的相关计算问题.
8.答案　(,)
解析　因为=,
所以(c-b)cos C=c(cos B-cos C),
所以2ccos C=bcos C+ccos B,
由正弦定理得2sin Ccos C=sin Bcos C+sin Ccos B=sin(B+C),
通过正弦定理将边转化为角.
又B+C=π-A,所以sin A=sin 2C,
因为在锐角△ABC中,0当A=2C时,B=π-A-C=π-3C,
所以解得当A=π-2C时,B=π-A-C=π-(π-2C)-C=C,此时b=c,不合题意.
所以又===2cos C,
将长度比值的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于C的三角函数的值域问题.
而则的取值范围为(,).
9.解析　(1)因为S=bcsin A,
所以由正弦定理及已知得2×bcsin A=(a2+b2)sin A,
通过正弦定理将角转化为边.
易知sin A≠0,所以a2+b2-c2=ab,
故cos C==,
通过余弦定理的推论将边的关系转化为角的余弦值.
又0(2)将周长的范围问题,通过正弦定理和三角恒等变换转化为关于A的三角函数的值域问题.
因为a=,C=,所以由正弦定理得c=,b===+,
故△ABC的周长为a+b+c=+++
=+=+=+,
易知A∈,则∈,
故02,
即△ABC的周长的取值范围是(2,+∞).
思想方法　转化与化归思想在解三角形中应用得非常广泛,如解三角形时,常用正弦定理或余弦定理进行边角互化;求范围或最值问题时,将所涉及的元素转化为某个角的三角函数值;实际应用中也常建立数学模型,将实际问题转化为数学问题来解决.
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