2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第七章　复数 复习提升

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2025人教A版高中数学必修第二册
本章复习提升
易混易错练
易错点1　对复数的相关概念理解不清致错
1.(2024吉林白山模拟)若复数z=i+2i2+3i3,则z的虚部为(　　)
A.2i　　B.-2i　　C.2　　D.-2
2.(2024广东梅州期中)已知复数z=a2-2a-3+(a-3)i,a∈R.
(1)若z是纯虚数,求a的值;
(2)若z+i在复平面内对应的点位于第二象限,求a的取值范围.
易错点2　不能理解复数的几何意义致错
3.(2024浙江绍兴诸暨中学月考)已知z∈C,且|z-i|=1,i为虚数单位,则|z+3-5i|的最大值是　　　　.
4.(2024福建厦门双十中学月考)设z为复数,若|z+2i|≤1,求|z|的最大值.
易错点3　对复数范围内方程的问题考虑不全面致错
5.(2024湖南师范大学附属中学月考)已知方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)有实根b,且z=a+bi,则复数z等于(　　)
A.2-2i　　B.2+2i　　
C.-2+2i　　D.-2-2i
6.(2023山东临沂蒙阴第一中学月考)已知复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R),其中i为虚数单位.
(1)若z是纯虚数,求实数m的值;
(2)若m=3,z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,求实数a,b的值.
思想方法练
一、函数与方程思想在解决复数问题中的应用
1.(2024江苏泰州月考)若复数z满足|z-1|=|z+i|,则|z-1|的最小值为(　　)
A.　　B.　　C.1　　D.
2.(2024安徽淮南二中期中)已知复数z=a-3i(a∈R),若z是关于x的方程x2-2x+10=0的一个根,则a=　　　　;若复数z2在复平面内对应的点位于第三象限,则a的取值范围为　　　　.
二、分类讨论思想在解决复数问题中的应用
3.若复数z=i+i2+i3+…+in,n∈N*,则|z|的最大值为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.2
4.(2024浙江名校协作体开学考试)已知4kx2-4kx+k+1=0是关于x的实系数一元二次方程.
(1)若a是方程的一个根,且|a|=1,求实数k的值;
(2)若x1,x2是该方程的两个实根,且k∈Z,求使+的值为整数的所有k的值.
三、数形结合思想在解决复数问题中的应用
5.(2024四川射洪中学月考)已知复数z满足|z+3i|=|z-i|,则|z+1+2i|的最小值为(　　)
A.1　　B.3　　C.　　D.
6.(多选题)(2024安徽淮南期中)设复数z在复平面内对应的点为Z,则下列说法正确的有(　　)
A.若|z|=1,则z=±1或z=±i
B.若|z-(2+i)|=1,则|z|的最小值为-1
C.若z=-2i,则|z|=7
D.若1≤|z|≤,则点Z的集合所构成图形的面积为π
四、转化与化归思想在解决复数问题中的应用
7.(2024浙江余姚中学月考)复数z1=-+i2的虚部是　　　　;若复数z2满足|z2|=1,则|+1+i|的取值范围为　　　　.
8.(2024陕西咸阳永寿中学月考)设z是虚数,ω=z+是实数,且-1<ω<2.
(1)求|z|及z的实部的取值范围;
(2)设μ=,求证:μ是纯虚数;
(3)在(2)的条件下,求ω-μ2的最小值.
答案与分层梯度式解析
本章复习提升
易混易错练
1.D　z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i,故z的虚部为-2.故选D.
易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)的虚部是b,而不是bi.
2.解析　(1)因为z=a2-2a-3+(a-3)i是纯虚数,
所以解得a=-1.
(2)z+i=a2-2a-3+(a-2)i,其在复平面内对应的点为(a2-2a-3,a-2),因为该点位于第二象限,
所以解得2故a的取值范围为(2,3).
易错警示　复数z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的条件是a=0,且b≠0,两者缺一不可.
3.答案　6
解析　|z-i|=1表示复数z在复平面内对应的点在以(0,1)为圆心,1为半径的圆上,
|z+3-5i|表示圆上一点到点(-3,5)的距离,如图所示,
显然距离的最大值是点(-3,5)到圆心(0,1)的距离加上半径长易错点,
故|z+3-5i|的最大值为+1=5+1=6.
4.解析　由复数及其运算的几何意义可得|z+2i|≤1表示复数z对应的点的集合是以点(0,-2)为圆心,1为半径的圆及其内部易错点,|z|表示复数z对应的点到原点的距离,所以|z|的最大值为+1=3.
易错警示　若复数z在复平面内对应的点为Z,则|z|表示点Z到原点的距离;|z|=r(r>0)表示点Z的集合是以原点为圆心,r为半径的圆;|z-a-bi|(a,b∈R)表示点Z到点(a,b)的距离.遇到与此相关的题目时,可以借助复数及其运算的几何意义从几何角度解题.
5.A　由b是方程x2+(4+i)x+4+ai=0(a∈R)的根可得b2+(4+i)b+4+ai=0,即(b+a)i+(b2+4b+4)=0,
所以解得所以z=2-2i.
故选A.
易错警示　只有实系数一元二次方程才能利用判别式Δ讨论方程根的存在性.对于复系数一元二次方程ax2+bx+c=0,讨论其根的情况时,应先设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),再代入方程,利用复数相等的充要条件转化为实数方程解决.
6.解析　(1)因为复数z=(m+1)(m-2)+(m-2)i(m∈R)是纯虚数,所以解得m=-1.
(2)当m=3时,z=4+i.
因为z是关于x的实系数方程x2+ax+b=0的一个复数根,所以z的共轭复数=4-i也是实系数方程x2+ax+b=0的根,
所以(4+i)+(4-i)=-a,(4+i)(4-i)=b,
解得a=-8,b=17.
易错警示　实系数一元二次方程中的虚根是以共轭复数的形式成对出现的,但如果题设中没有直接交代一元二次方程的系数是实数,就不能得出上述结论.
思想方法练
1.B 3.B 5.A 6.BD
1.B　令z=x+yi,x,y∈R,
由|z-1|=|z+i|得=,
所以y=-x,
所以|z-1|====,
通过变量代换,将所求问题转化为二次函数的最值问题,利用二次函数的性质进行求解,体现了函数思想.
所以当x=时,|z-1|取得最小值.
故选B.
2.答案　1;(0,3)
解析　若z是方程x2-2x+10=0的一个根,则(a-3i)2-2(a-3i)+10=0,所以a2-2a+1+(6-6a)i=0,
由复数相等的充要条件建立方程组求解.
所以解得a=1.
因为z=a-3i,所以z2=(a-3i)2=a2-9-6ai,
所以复数z2在复平面内对应的点为(a2-9,-6a),
若该点位于第三象限,则解得0所以a的取值范围为(0,3).
思想方法　一般运用方程思想解决复数分类及复数相等中的参数问题,一般应用函数思想解决复数模的最值或者范围问题,求解时可根据题目条件,结合复数相关概念列式,再转化为函数(一般为二次函数)问题解决.
3.B　因为i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,……,i4k+1=i,i4k+2=-1,i4k+3=-i,i4k+4=1,k∈N,
in具有周期性,它的周期是4,确定|z|时需分n=4k+1,n=4k+2,n=4k+3,n=4k+4(k∈N)四种情况讨论.
所以当n=4k+1(k∈N)时,z=i,则|z|=1,
当n=4k+2(k∈N)时,z=-1+i,则|z|=,
当n=4k+3(k∈N)时,z=-1,则|z|=1,
当n=4k+4(k∈N)时,z=0,则|z|=0.
所以|z|的最大值为.故选B.
4.解析　(1)因为4kx2-4kx+k+1=0是关于x的实系数一元二次方程,所以k≠0,
因为a是方程4kx2-4kx+k+1=0的一个根,
所以分a是实数根还是虚数根两种情况讨论.
当a∈R时,由|a|=1可得a=1或a=-1,
若a=1,代入方程得4k-4k+k+1=0,解得k=-1;
若a=-1,代入方程得4k+4k+k+1=0,解得k=-.
当a为虚数时,Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k<0,解得k>0,易知方程4kx2-4kx+k+1=0的另一个根为,
故a·=,因为|a|=1,所以a·=1,
故=1,解得k=.
综上,k=-1或k=-或k=.
(2)由题意得Δ=(-4k)2-4×4k(k+1)=-16k>0,所以k<0.由根与系数的关系可知x1+x2=1,x1x2=,
所以+===-2=-2=-2=+2,
因为+=+2为整数,k∈Z,
所以k+1能整除-4,故k+1的值可能为-4,-2,-1,1,2,4,则实数k的值可能为-5,-3,-2,0,1,3,
又k<0,所以k的所有可能取值为-5,-3,-2.
思想方法　分类讨论思想在复数问题中的应用非常广泛,如在研究与复数有关的方程问题时,要注意对根的情况进行分类讨论;in(n∈N*)具有周期性,周期为4,含有in的复数运算问题,一般会按照n被4除余数为0,1,2,3进行讨论.
5.A　设复数z在复平面内对应的点为Z,
因为z满足|z+3i|=|z-i|,所以由复数及其运算的几何意义可知,点Z到点(0,-3)(记为A)和(0,1)(记为B)的距离相等,所以点Z在AB的垂直平分线上,即点Z的轨迹为直线y=-1,如图,
根据复数及其运算的几何意义画出图形求解.
|z+1+2i|表示点Z到点(-1,-2)的距离,
易知当Z(-1,-1)时,|z+1+2i|最小,最小值为1.故选A.
6.BD　对于A,当z=+i时,满足|z|==1,故A错误.
对于B,因为|z-(2+i)|=1,所以z对应的点的集合是圆心为(2,1)(记为A),半径为1的圆(如图1),|z|表示圆上的点到原点(0,0)的距离,
由复数及其运算的几何意义画出z对应的点所表示的图形,利用几何图形的性质解决最值问题.
易知当z对应的点为B时,|z|取得最小值,
则|z|min=-1=-1,故B正确.
对于C,|z|==,故C错误.
对于D,点Z的集合是以原点为圆心,1和为半径的两个圆所夹的圆环(包括圆环的边界),即图2中的阴影部分,其面积为π×()2-π×12=π,故D正确.
故选BD.
　
思想方法　在求复数模的最值问题时,可以利用复数及其运算的几何意义建立复数、复平面内的点的关系.
若复数z在复平面内对应的点为Z,r>0,则|z-(a+bi)|=r表示点Z的集合是以点(a,b)为圆心,r为半径的圆;|z-(a+bi)|r表示点Z的集合为上述圆外部所有的点组成的集合;|z-(a+bi)|=|z-(c+di)|表示点Z的集合是以点(a,b)和(c,d)为端点的线段的垂直平分线.(a,b,c,d,r∈R)
7.答案　-;[-1,+1]
解析　z1==-i-=--i,故复数z1的虚部是-.
因为|z2|=1,所以可设z2=cos θ+isin θ,θ∈R,
设出复数的三角形式,将复数问题转化为三角函数问题求解.
则=cos θ-isin θ,
因此|+1+i|=|(1+cos θ)+(1-sin θ)i|===,
当θ∈R时,-1≤sin≤1,
所以3-2≤3-2sin≤3+2,
即(-1)2≤3-2sin≤(+1)2,
故-1≤|+1+i|≤+1,
所以|+1+i|的取值范围为[-1,+1].
8.解析　设z=a+bi(a,b∈R,且b≠0).
设出复数z的代数形式,将复数问题实数化.
(1)由题得ω=a+bi+=+i.
∵ω是实数,∴b-=0,
∵b≠0,∴a2+b2=1,∴|z|=1,ω=2a.
又-1<ω<2,∴-∴z的实部的取值范围为.
(2)证明:μ====-i.
∵a∈,b≠0,∴μ为纯虚数.
(3)ω-μ2=2a+=2a+=2a-=2a-1+=2-3,∵a∈,∴a+1>0,∴ω-μ2≥2×2-3=4-3=1,
当且仅当a+1=,即a=0(a=-2舍去)时取等号.
故ω-μ2的最小值为1.
思想方法　在解决复数问题时,通过把复数z设成z=a+bi(a,b∈R)或者z=r(cos θ+isin θ)(r>0,θ∈R)的形式,实现复数问题实数化;复数的几何意义也是很明显的转化与化归思想的应用,通过把复数转化为复平面内的点或向量,将复数问题几何化.
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