2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第七章　复数

中小学教育资源及组卷应用平台
2025人教A版高中数学必修第二册
第七章　复数
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=的实部和虚部分别是(　　)
A.1,1　　B.1,i　　
C.-,　　D.-,i
2.已知i为虚数单位,若复数z满足z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限
3.已知i是虚数单位,-a+bi=2b-i,a,b∈R,则|a-bi|=(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.
4.已知复数z满足(z+2i)(2-i)=5,则z的共轭复数=(　　)
A.2-i　　B.2+i　　C.-2+i　　D.-2-i
5.已知m,n为实数,1-i(i为虚数单位)是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,则m+n=(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.4
6.若复数z满足i·z=2 022+i2 023(i是虚数单位),z的共轭复数是,则|z-|=(　　)
A.　　B.4 044　　C.2　　D.0
7.已知复数z≠0,则“|z|=1”是“z+∈R”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
8.已知复数z1,z2满足|z1+z2|=4,|z1|=3,|z1-z2|=,则|z1·z2|=(　　)
A.　　B.3　　C.3　　D.6
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知i为虚数单位,复数z满足z(2-i)=i2 020,则下列说法正确的是(　　)
A.复数z的模为
B.复数z的共轭复数为--i
C.复数z的虚部为
D.复数z在复平面内对应的点位于第一象限
10.下列说法正确的是(　　)
A.i2 024=-1
B.若复数z满足|z|=1,则|z-2|的最小值为1
C.已知z为复数,则z2=|z|2
D.若-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,则p=8
11.已知复数z,z1,z2,是z的共轭复数,则下列说法正确的是(　　)
A.z·=|z|2　　
B.若|z|=1,则z=±1
C.|z1z2|=|z1||z2|　　
D.若|z-1|=1,则|z+1|的最小值为1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知复数z=a-1+(a+3)i,a∈R,则|z|的最小值为　　　　.
13.已知i为虚数单位,且a=,则a2 022+a2 023+1=　　　　.
14.若复数z满足|z|=|z+2i|,且为纯虚数,则z=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z=(2-i)m2-(1+3i)m-3+i(m∈R).
(1)当m为何值时,z为纯虚数
(2)当m=2时,求z·.
16.(15分)已知复数z=bi(b∈R),是实数.
(1)求复数z;
(2)设w=z2++5,求|w|;
(3)若复数(m-z)2-8m在复平面内对应的点位于第二象限,求实数m的取值范围.
17.(15分)已知复数z1=(a+i)2,z2=4-3i,其中a是实数.
(1)若在复平面内复数z1对应的点位于第二象限,求a的取值范围;
(2)若a=2,求+++…+.
18.(17分)在复数范围内有关于x的方程x2+x+1=0.
(1)求该方程的根;
(2)求x(x-1)的值;
(3)有人观察到(x-1)(x2+x+1)=0,得出x3=1,试求+的值.
19.(17分)已知i是虚数单位,a,b∈R,复数z1=2a-i,z2=2b+i,z3=a+bi,且|z3|=1.
(1)若z1-z2为纯虚数,求z3;
(2)若复数z1,z2在复平面内对应的点分别为A,B,且O为坐标原点.
①是否存在实数a,b,使向量逆时针旋转90°后与向量重合 如果存在,求实数a,b的值;如果不存在,请说明理由;
②若O,A,B三点不共线,记△ABO的面积为S(a,b),求S(a,b)及其最大值.
答案全解全析
1.A　z===1+i,所以z=的实部和虚部分别是1,1,故选A.
2.D　由题意得z==-(2+3i)i=3-2i,其在复平面内对应的点为(3,-2),位于第四象限.
故选D.
3.D　由-a+bi=2b-i,a,b∈R,可得所以
则|a-bi|=|2+i|=.
故选D.
4.B　因为(z+2i)(2-i)=5,所以z=-2i=-2i=2+i-2i=2-i,所以=2+i.故选B.
5.D　由1-i是关于x的方程x2-mx+n=0的一个根,可得方程的另一个根为1+i,则m=1-i+1+i=2,n=(1-i)(1+i)=2,所以m+n=4,故选D.
6.B　因为i·z=2 022+i2 023=2 022+i3=2 022-i,
所以z==-1-2 022i,所以=-1+2 022i,
所以z-=-1-2 022i-(-1+2 022i)=-4 044i,
所以|z-|=|-4 044i|=4 044.
故选B.
7.A　设z=a+bi,a,b∈R,且a,b不同时为0,
当|z|==1时,a2+b2=1,
则z+=a+bi+=a+bi+=2a∈R,故充分性成立;
取z=2,则z+=∈R,但|z|=2,故必要性不成立.
综上所述,“|z|=1”是“z+∈R”的充分不必要条件.
故选A.
8.D　因为=(z1+z2)·=(z1+z2)·(+),且|z1+z2|=4,|z1|=3,
所以=z1+z1+z2+z2=9+|z2|2+z1+z2=16,
所以|z2|2+z1+z2=7①,
因为=(z1-z2)·=(z1-z2)·(-),且|z1-z2|=,
所以=z1-z1-z2+z2=9+|z2|2-z1-z2=10,
所以|z2|2-z1-z2=1②,
联立①②可得=4,|z2|=2,所以|z1·z2|=|z1|·|z2|=3×2=6.
故选D.
9.CD　由z(2-i)=i2 020,得z====+i,
∴|z|==,故A错误;
复数z的共轭复数为-i,故B错误;
复数z的虚部为,故C正确;
复数z在复平面内对应的点为,位于第一象限,故D正确.
故选CD.
10.BD　对于A,因为i2=-1,所以i4=1,所以i2 024==1,A错误;
对于B,设z=x+yi(x,y∈R),由|z|=1,得=1,所以x2+y2=1,
故|z-2|===,
由x2+y2=1,得-1≤x≤1,则1≤-4x+5≤9,
故当x=1时,|z-2|取得最小值1,B正确;
对于C,设复数z=a+bi(a,b∈R),
则z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,|z|2=a2+b2,C错误;
对于D,因为-4+3i是关于x的方程x2+px+q=0(p,q∈R)的根,
所以(-4+3i)2+p(-4+3i)+q=0(p,q∈R),即7-4p+q+(3p-24)i=0,
故所以D正确.故选BD.
11.ACD　对于A,设z=x+yi(x,y∈R),则z·=(x+yi)(x-yi)=x2+y2=|z|2,故A正确;
对于B,令z=i,满足|z|=|i|=1,故B错误;
对于C,设z1=a+bi(a,b∈R),z2=c+di(c,d∈R),则z1z2=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i,所以|z1z2|===·=|z1||z2|,故C正确;
对于D,|z-1|=1表示复数z对应的点在以(1,0)为圆心,1为半径的圆上,|z+1|表示圆上的点到(-1,0)的距离,故|z+1|的最小值为点(-1,0)到圆心(1,0)的距离减去半径,即为2-1=1,故D正确.
12.答案　2
解析　|z|===≥2,当且仅当a=-1时取等号,
所以|z|的最小值为2.
13.答案　-i
解析　因为a===i,
所以a2 022+a2 023+1=i2 022+i2 023+1=i4×505+2+i4×505+3+1=-1-i+1=-i.
14.答案　1-i
解析　因为为纯虚数,所以可设=ai(a∈R,且a≠0),
则z=,z+2i=,
因为|z|=|z+2i|,
所以=,
所以2|a|=,解得a=-1,
所以z==1-i.
15.解析　(1)由已知得z=(2m2-m-3)+(-m2-3m+1)i,(3分)
若z为纯虚数,则(6分)
解得m=-1或m=.(7分)
(2)当m=2时,z=3-9i,则=3+9i,(9分)
所以z·=(3-9i)·(3+9i)=32-81i2=9+81=90.(13分)
16.解析　(1)因为z=bi(b∈R),
所以===,(2分)
因为是实数,所以=0,解得b=-3,
故z=-3i.(5分)
(2)由(1)可知z=-3i,
所以w=z2++5=(-3i)2+3i+5=-4+3i,(7分)
则|w|=|-4+3i|==5.(9分)
(3)因为z=-3i,
所以(m-z)2-8m=(m+3i)2-8m=m2-8m-9+6mi.(12分)
因为复数(m-z)2-8m对应的点位于第二象限,
所以解得0所以实数m的取值范围是(0,9).(15分)
17.解析　(1)因为z1=(a+i)2=a2-1+2ai,
所以复数z1在复平面内对应的点为(a2-1,2a),(4分)
因为该点位于第二象限,所以所以0故a的取值范围为(0,1).(7分)
(2)因为a=2,所以====i,(11分)
所以+++…+
=i+i2+i3+…+i2 022
=(i+i2+i3+i4)+…+(i2 017+i2 018+i2 019+i2 020)+i2 021+i2 022
=0+i+i2
=-1+i.(15分)
18.解析　(1)因为Δ=12-4×1×1=-3<0,
所以方程x2+x+1=0的根为x=-±i.(4分)
(2)因为x2+x+1=0,所以x2=-x-1,
则x(x-1)=x2-x=-2x-1,(7分)
由(1)知x=-±i,
故x(x-1)=-2×-1=±i.(10分)
(3)因为x2+x+1=0,所以x+1=-x2,(13分)
所以+=+=+
=+=+==-1.(17分)
19.解析　(1)z1-z2=(2a-2b)-(+1)i,
∵z1-z2为纯虚数,∴2a-2b=0,即a=b.(2分)
∵z3=a+bi,且|z3|=1,
∴a2+b2=1,
由解得或(4分)
所以z3=--i或z3=+i.(5分)
(2)①存在,理由如下:
解法一:由题意知=(2a,-),=(2b,1),
所以
解得或(7分)
因为向量逆时针旋转90°后与向量重合,
所以a=-,b=-.(9分)
解法二:易知A(2a,-),B(2b,1),设||=||=r(r>0),α是以x轴非负半轴为始边,OB为终边的角,则sin α=,cos α=,
所以即
所以所以(7分)
当a=-,b=-时,满足|z3|==1,
所以a=-,b=-.(9分)
②设向量,的夹角为θ,0<θ<π,复数z3对应的向量为,
则=(a,b),且||=a2+b2=1.(12分)
因为=(2a,-),=(2b,1),
所以S(a,b)=||||sin θ
=||·||
=
=
=
=|a+b|,(14分)
设n=(1,),则S(a,b)=|n·|≤|n|·||=2,
当且仅当b=a且a2+b2=1,
即或时等号成立,
所以S(a,b)=|a+b|,其最大值为2.(17分)
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)