2025人教A版高中数学必修第二册强化练习题--第七章　复数拔高练

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2025人教A版高中数学必修第二册
综合拔高练
五年高考练
考点1　复数的有关概念
1.(2022全国乙理,2)已知z=1-2i,且z+a+b=0,其中a,b为实数,则(　　)
A.a=1,b=-2　　B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2　　D.a=-1,b=-2
2.(2022浙江,2)已知a,b∈R,a+3i=(b+i)i(i为虚数单位),则(　　)
A.a=1,b=-3　　B.a=-1,b=3
C.a=-1,b=-3　　D.a=1,b=3
考点2　复数的几何意义
3.(2023北京,2)在复平面内,复数z对应的点的坐标是(-1,),则z的共轭复数=(　　)
A.1+i　　B.1-i C.-1+i　　D.-1-i
4.(2023新课标Ⅱ,1)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
5.(2021新高考Ⅱ,1)在复平面内,复数对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限
C.第三象限　　D.第四象限
考点3　复数的运算
6.(2024新课标Ⅰ,2)若=1+i,则z=(　　)
A.-1-i　　B.-1+i　　C.1-i　　D.1+i
7.(2024北京,2)若复数z满足=-1-i,则z=(　　)
A.-1-i　　B.-1+i　　C.1-i　　D.1+i
8.(2024全国甲理,1)若z=5+i,则i(+z)=(　　)
A.10i　　B.2i　　C.10　　D.2
9.(2023全国乙文,1)|2+i2+2i3|=(　　)
A.1　　B.2　　C.　　D.5
10.(2023新课标Ⅰ,2)已知z=,则z-=(　　)
A.-i　　B.i　　C.0　　D.1
11.(2023全国乙理,1)设z=,则=(　　)
A.1-2i　　B.1+2i　　C.2-i　　D.2+i
12.(2023全国甲文,2)=(　　)
A.-1　　B.1　　C.1-i　　D.1+i
13.(2022全国甲文,3)若z=1+i,则|iz+3|=(　　)
A.4　　B.4　　C.2　　D.2
14.(2022全国甲理,1)若z=-1+i,则=(　　)
A.-1+i　　B.-1-i　　C.-+i　　D.--i
15.(2022北京,2)若复数z满足i·z=3-4i,则|z|=(　　)
A.1　　B.5　　C.7　　D.25
16.(2022新高考Ⅰ,2)若i(1-z)=1,则z+=(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
17.(2023天津,10)已知i是虚数单位,化简的结果为　　　　.
三年模拟练
应用实践
1.(2024云南昆明模拟)在复平面内,复数z=m+(m+1)i(m∈R)对应的点在直线y=2x上,则m=(　　)
A.1　　B.-1　　C.2　　D.-2
2.(2024宁夏银川模拟)已知复数z=m2-1+(m+i2)·i(m∈R)为纯虚数,则m=(　　)
A.1　　B.-1　　C.1或-1　　D.2
3.(2024四川眉山仁寿两校月考)若复数z满足=,则的虚部为(　　)
A.-2　　B.-1　　C.1　　D.2
4.(2023安徽滁州一模)已知复数z满足z·=4且z++|z|=0,则z2 022的值为(　　)
A.±1　　B.-22 022　　C.±22 022　　D.22 022
5.(多选题)(2024重庆第八中学月考)设复数z1=-i,z2=x+yi
(x,y∈R),z1,z2对应的向量分别为,(O为坐标原点),则(　　)
A.|z1|=2
B.若∥,则x+y=0
C.若⊥且|z2|=1,则x=±
D.若|z1-z2|=,则|z2|的最大值为2+
6.(2024吉林四平第一高级中学月考)设复数z=,f(x)=x2 024+x2 023
+…+x2+x+1,则f(z)=　　　　.
7.(2024安徽合肥一六八中学月考)已知复数z满足|z-2-3i|=1,则|z+1+i|的最小值为　　　　.
8.(2024四川达州期中)已知复数z1,z2满足z1·z2∈R,z1=.
(1)求z1;
(2)求|2z1+z2|的最小值.
9.(2024福建莆田期中)已知复数z满足|z|=,z2的虚部是2.
(1)求复数z;
(2)若z是关于x的实系数方程x2+mx+2=0的一个复数根,求实数m的值;
(3)若复数z的实部大于0,z,z3,z-z3在复平面内对应的点分别为A,B,C,求△ABC的面积.
迁移创新
10.(2024山东日照实验高级中学月考)某同学在解题时发现下列三个式子的值都等于同一个常数:①,②,③(i为虚数单位).从三个式子中选择一个,求出这个常数为　　　　;根据三个式子的结构特征及计算结果,将该同学的发现推广为一个复数恒等式:　　　　　　　　　　 .
答案与分层梯度式解析
综合拔高练
五年高考练
1.A 2.B 3.D 4.A 5.A 6.C 7.C 8.A
9.C 10.A 11.B 12.C 13.D 14.C 15.B 16.D
1.A　依题意可得1-2i+a(1+2i)+b=0,即1+a+b+(2a-2)i=0,故解得故选A.
2.B　∵a+3i=bi+i2=-1+bi,∴a=-1,b=3.故选B.
3.D　由题知复数z=-1+i,则=-1-i.故选D.
4.A　(1+3i)(3-i)=6+8i,其对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
5.A　因为===+i,
所以在复平面内,复数对应的点为,位于第一象限.故选A.
高考风向　判断复数对应的点位于第几象限是复数中常考题型,也是学生易得分的题目.由复数的几何意义得z=a+bi(a,b∈R)对应复平面上的点Z(a,b),实现复数和复平面内点的互相转化.如果题目中并未直接给出z=a+bi(a,b∈R)的形式,需要先利用复数的四则运算进行化简整理,再判断对应点所在象限.
6.C　由已知可得z=(1+i)·(z-1),即z·i=1+i,故z=+1=1-i,故选C.
7.C　z=i·(-1-i)=-i+1=1-i,故选C.
8.A　∵z=5+i,∴=5-i,∴i(+z)=10i,故选A.
9.C　|2+i2+2i3|=|2-1-2i|=|1-2i|=,故选C.
10.A　z====-i,∴=i,∴z-=-i,故选A.
11.B　z====-(2i-1)=1-2i,则=1+2i,故选B.
12.C　===1-i.故选C.
13.D　∵z=1+i,∴iz=i-1,3=3(1-i)=3-3i,
∴iz+3=2-2i,∴|iz+3|=2.故选D.
14.C　因为z=-1+i,
所以===-+i,故选C.
15.B　z===-4-3i,故|z|==5.故选B.
16.D　由题意知1-z==-i,所以z=1+i,则=1-i,所以z+=(1+i)+(1-i)=2,故选D.
17.答案　4+i
解析　===4+i.
三年模拟练
1.A 2.B 3.C 4.D 5.ACD
1.A　复数z=m+(m+1)i(m∈R)在复平面内对应的点为(m,m+1),依题意可得m+1=2m,解得m=1.故选A.
2.B　z=m2-1+(m+i2)·i=m2-1+(m-1)i,因为复数z为纯虚数,所以解得m=-1.故选B.
3.C　因为i2 024=1,所以z====-2-i,则=-2+i,故的虚部为1.故选C.
4.D　设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,
则即
所以a=-1,b=±,所以z=-1±i,
易得z2 022=(z3)674,
当z=-1+i时,z3=(-1+i)3=(-1+i)2(-1+i)=(-2-2i)(-1+i)
=8=23,
当z=-1-i时,z3=(-1-i)3=(-1-i)2(-1-i)=(-2+2i)(-1-i)=8=23,
故z2 022=(z3)674=(23)674=22 022.故选D.
5.ACD　对于A,|z1|==2,A正确;
对于B,由复数的几何意义得=(,-1),=(x,y),∵∥,∴y+x=0,B错误;
对于C,∵⊥,∴x-y=0,即y=x①,
∵|z2|=1,∴x2+y2=1②,由①②可得x2=,解得x=±,C正确;
对于D,由|z1-z2|=得|-|=,即||=,则点Z2(x,y)到Z1(,-1)的距离等于,故点Z2的集合是以Z1为圆心,为半径的圆,又|z2|表示Z2(x,y)到原点的距离,所以|z2|max=|OZ1|+=2+,D正确.
故选ACD.
6.答案　1
解析　z===-i,则z4+z3+z2+z=1+i-1-i=0,
所以f(z)=z2 020(z4+z3+z2+z)+z2 016(z4+z3+z2+z)+…+(z4+z3+z2+z)+1=1.
7.答案　4
解析　设复数z在复平面内对应的点为Z,由|z-2-3i|=|z-(2+3i)|=1,可得点Z到点(2,3)(记为A)的距离等于1,即点Z的集合是以A为圆心,1为半径的圆.
|z+1+i|=|z-(-1-i)|表示动点Z到点(-1,-1)(记为B)的距离,如图,
由图可知当点Z位于C时,|z+1+i|取得最小值,
因为|AB|==5,
所以|z+1+i|的最小值为|AB|-1=4.
8.解析　(1)z1====+i.
(2)设z2=a+bi(a,b∈R),
则z1·z2==.
因为z1·z2∈R,所以=0,即a=-b,
故z2=-b+bi,
则|2z1+z2|=|(1-b)+(1+b)i|
==≥.
故|2z1+z2|的最小值为.
9.解析　(1)设z=a+bi,a,b∈R,
由|z|=得a2+b2=2①,
z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi,
∵z2的虚部为2,∴2ab=2②,
联立①②,解得或故z=1+i或z=-1-i.
(2)当z=1+i时,易知=1-i也是方程x2+mx+2=0的一个复数根,
由根与系数的关系知z+=-m=2,故m=-2;
当z=-1-i时,易知=-1+i也是方程x2+mx+2=0的一个复数根,
由根与系数的关系知z+=-m=-2,故m=2.
综上,m的值为±2.
(3)∵z的实部大于0,∴z=1+i,
则z3=(1+i)3=1+3i+3i2+i3=-2+2i,
∴z-z3=(1+i)-(-2+2i)=3-i,
则A(1,1),B(-2,2),C(3,-1),
∴=(-3,1),=(2,-2),
设∠BAC=θ,则cos θ===-,∴sin θ==,
故△ABC的面积为||×||sin θ=××2×=2.
10.答案　i;=i(a,b∈R,且a,b不同时为零)
解析　①===i.
②===i.
③===i.(选择其中一个即可)
根据三个式子的结构特征及计算结果,可以得到=i(a,b∈R,且a,b不同时为零).
素养点评　本题第1个空考查了学生的数学运算素养,能够运用复数的运算法则正确进行运算,达到了水平一;第2个空考查了学生逻辑推理的素养,能够进行类比、归纳,得出数学结论,达到了水平二.
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