2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练6　三角函数公式的综合应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练6　三角函数公式的综合应用
1.(2023广东广州六区期末)已知θ是第四象限角,且sin(θ+π)=,则tan=(　　)
A.　　　　D.7
2.(多选题)(2024江西南昌第二中学月考)计算下列各式,结果为的是(　　)
A.sin 15°+cos 15°　　　　
B.cos215°-sin 15°cos 75°
C.　　　　
D.sin 50°(1+tan 10°)
3.(2023浙江金华十校期末)在△ABC中,“△ABC是锐角三角形”是“tan Atan B>1”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.(多选题)(2022广东名校联盟期末)已知,则(　　)
A.tan α=2　　　　 B.sin α-cos α=-
C.sin4α-cos4α=
5.(2024湖北武汉华中师大一附中期末)已知θ∈,则函数y=sin θ-cos θ+2sin θcos θ的值域为(　　)
A.[-1,1]　　　　B.　　　　
C.
6.(多选题)(2024江西南昌第十中学月考)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则下列说法中正确的是(　　)
A.若bcos C+ccos B=b,则△ABC是等腰三角形
B.若a=2,b=3,A=30°,则符合条件的△ABC有两个
C.若sin 2A=sin 2B,则△ABC为等腰三角形
D.若sin 2B+sin 2C=sin 2A,则△ABC为直角三角形
7.(多选题)(2024江西宜丰中学月考)已知函数f(x)=2(|sin x|+
cos x)cos x-1,则下列说法正确的是(　　)
A.f(x)的图象关于y轴对称
B.f(x)是周期为π的周期函数
C.f(x)的值域为[-]
D.不等式f(x)≥的解集为(k∈Z)
8.(2024江西宜春中学期末)已知函数f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2-3.
(1)求函数f(x)的最小正周期;
(2)若f(x0)=,x0∈,求cos 2x0的值;
(3)若对任意x∈均有af -f ≥2恒成立,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练6　三角函数公式的综合应用
1.A　因为sin(θ+π)=-sin θ=,所以sin θ=-,又θ是第四象限角,
所以cos θ=,tan θ=,
所以tan.
2.AD　sin 15°+cos 15°=2sin 15°+cos 15°
=2(cos 45°sin 15°+sin 45°cos 15°)
=2sin(15°+45°)=2sin 60°=,故A符合;
cos215°-sin 15°cos 75°=cos215°-sin 15°sin 15°=cos 30°=,故B不符合;
tan 60°=,故C不符合;
sin 50°(1+tan 10°)
=sin 50°×
=sin 50°×
=sin 50°×
=cos 40°×
=,故D符合.
故选AD.
3.C　①因为△ABC是锐角三角形,所以C为锐角,从而tan C>0,即
-tan(A+B)>0,所以<0,
又因为A,B也是锐角,所以tan A>0,tan B>0,故有1-tan Atan B<0,即tan Atan B>1.
②在△ABC中,由tan Atan B>1,可知tan A>0,tan B>0,即A,B均为锐角,
又因为tan C=tan(π-A-B)=-tan(A+B)=->0,
所以C为锐角,所以△ABC是锐角三角形.
综上所述,在△ABC中,“△ABC是锐角三角形”是“tan Atan B>1”的充要条件.
4.ACD　因为=3,所以=3,
解得tan α=2,故A正确;
因为-<α<,tan α=2>0,所以0<α<,sin α=,cos α=,
所以sin α-cos α=,故B错误;
sin4α-cos4α=(sin2α-cos2α)(sin2α+cos2α)=,故C正确;
,故D正确.
故选ACD.
5.D　因为θ∈,所以-≤θ-≤,
则-≤sin≤,
令t=sin θ-cos θ=,则t∈[-1,1],
所以t2=(sin θ-cos θ)2=1-2sin θcos θ,
即2sin θcos θ=1-t2,
所以y=sin θ-cos θ+2sin θcos θ=t+1-t2=-t2+t+1,
则函数y=-t2+t+1在上单调递增,在上单调递减,
所以ymax=-,
当t=-1时,y=-1-1+1=-1;当t=1时,y=-1+1+1=1,则ymin=-1.
因此,当θ∈时,函数y=sin θ-cos θ+2sin θcos θ的值域为.
6.ABD　对于A,由题意,结合正弦定理得sin B=sin Bcos C+
sin Ccos B=sin(B+C)=sin A,所以b=a,故A正确;
对于B,由正弦定理,得,即,所以sin B=,
因为b>a,所以B>A,所以B为锐角或钝角,故符合条件的△ABC有两个,故B正确;
对于C,若A=,则sin 2A=sin =sin =sin 2B,但△ABC不是等腰三角形,故C错误;
对于D,sin 2B+sin 2C=2sin(B+C)cos (B-C)=2sin Acos(B-C),
sin 2A=2sin Acos A,
因为sin 2B+sin 2C=sin 2A,所以2sin Acos(B-C)=2sin Acos A,又A∈(0,π),所以sin A≠0,所以cos A=cos(B-C),
即0=cos(B-C)-cos A=cos(B-C)+cos(B+C)=2cos Bcos C,
所以cos B=0或cos C=0,即B=或C=,故D正确.
故选ABD.
7.AC　对于A,f(x)的定义域为R,关于原点对称,
因为f(-x)=2[|sin(-x)|+cos(-x)]cos(-x)-1=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),
所以f(x)是偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确;
对于B,因为fcos -1=1,
f -1=-1,
所以f ≠f ,故B错误;
对于C,因为f(x+2π)=2[|sin(x+2π)|+cos(x+2π)]cos(x+2π)-1
=2(|sin x|+cos x)cos x-1=f(x),所以f(x)是周期为2π的周期函数,
所以f(x)在[-π,π]上的值域即为f(x)的值域.
当0≤x≤π时,f(x)=2(|sin x|+cos x)cos x-1=2(sin x+cos x)cos x-1=2sin xcos x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=,
又当0≤x≤π时,≤2x+≤,
所以∈[-],又f(x)为偶函数,
所以f(x)在[-π,0]上的值域也为[-],因此f(x)的值域为[-],故C正确;
对于D,当0≤x≤π时,≤2x+≤,
由f(x)=≥,得sin≥,
所以≤2x+≤,则≤x≤,
又f(x)为偶函数,所以不等式f(x)≥在[-π,π]上的解集为∪,
所以不等式f(x)≥的解集为-+2kπ,-+2kπ∪+2kπ,+2kπ(k∈Z),故D错误.
故选AC.
8.解析　(1)f(x)=(sin x+cos x)2+2cos2-3
=1+sin 2x+1+cos-3
=sin 2x+2cos 2xcos
=sin 2x+cos 2x=2sin,
故f(x)的最小正周期T==π.
(2)由(1)知,f(x)=2sin,
因为f(x0)=,所以2sin,
所以sin,
因为x0∈,所以2x0+∈,
所以cos,
所以cos 2x0=cos·cos.
(3)由(1)知,f(x)=2sin,
则af -f =2asin x-2sin=2asin x-2cos x.
因为对任意x∈均有af-f ≥2恒成立,
即对任意x∈均有asin x-cos x≥1恒成立,
即对任意x∈均有a≥恒成立,
,
因为x∈,所以 ∈,
易知函数y=tan 在上单调递增,且大于0,
所以y=在上单调递减,
所以,所以a≥+1,
故a的取值范围为[+1,+∞).
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