2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练7　复数四则运算的综合应用

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练7　复数四则运算的综合应用
1.(2022辽宁重点高中协作体联考)设z=1+i(i为虚数单位),若z+(a∈R)为实数,则a的值为(　　)
A.2　　　　B.-2　　　　 C.1　　　　D.-1
2.(2023江西炎德英才长郡十八校联盟联考)已知复数z1,z2满足:z1在复平面内对应的点为(-2,1),且|z1·z2|=,则z2不可能是下列的(　　)
A.1　　　　B.1+i　　　　C.i　　　　D.i
3.(多选题)(2024江西萍乡期末)已知复数z1=3-2i,(1+i)·z2=1-3i,则(　　)
A.z2=-1-2i
B.z1-2z2在复平面内对应的点位于第一象限
C.|z1+z2|=2|z2|
D.z1·z2是纯虚数
4.(多选题)(2023河南驻马店段考)已知复数z1,z2是关于z的方程3z2-az+b=0(a,b∈R,a>0)的两个根,且z1·z2=,则(　　)
A.z1与z2互为共轭复数
B.a-b=2
C.a2+b2=5
D.|
5.(多选题)(2024江西宜春丰城第九中学期末)已知i为虚数单位,则下列命题正确的是(　　)
A.在复平面内,点O是原点,若+i对应的向量为,将绕点O按逆时针方向旋转90°得到,则对应的复数为-+i
B.虚数z满足z·=|z|2
C.复数z满足|z-i|=1,则|z+2|的最大值为3
D.已知p,q均为实数,-3-2i是关于x的方程x2+px+q=0的一个解,则p=6
6.已知z=,其中i为虚数单位,a>0,复数ω=z·(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于,则复数ω的模为　　　　.
7.已知z1=a+2i,z2=3+4i(i为虚数单位).
(1)若为纯虚数,求实数a的值;
(2)若|z1-|<|z1|(其中是复数z2的共轭复数),求实数a的取值范围.
8.(2024山东枣庄三中期中)在复平面内,复数z1,z2所对应的点分别为Z1,Z2,O为坐标原点,i是虚数单位.
(1)若z1=1+2i,z2=3-4i,计算z1·z2与·;
(2)设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),求证:|·|≤|z1·z2|,并指出向量满足什么条件时该不等式取等号.
答案与分层梯度式解析
专题强化练7　复数四则运算的综合应用
1.A　因为z=1+i,所以z+i,
因为z+(a∈R)为实数,
所以1-=0,解得a=2.
2.B　由题意可知z1=-2+i.设z2=a+bi(a,b∈R),
则z1·z2=(-2+i)(a+bi)=(-2a-b)+(a-2b)i,
又|z1·z2|=,
所以(-2a-b)2+(a-2b)2=5,所以a2+b2=1,
根据选项可知,z2不可能是1+i.故选B.
3.ABC　因为(1+i)·z2=1-3i,所以z2==-1-2i,故A正确;
z1-2z2=3-2i-2(-1-2i)=5+2i,则z1-2z2在复平面内对应的点为(5,2),位于第一象限,故B正确;
因为z1+z2=3-2i-1-2i=2-4i,所以|z1+z2|=,因为2|z2|=2×,所以|z1+z2|=2|z2|,故C正确;
z1·z2=(3-2i)(-1-2i)=-3-6i+2i+4i2=-7-4i,不是纯虚数,故D错误.故选ABC.
4.ACD　一元二次方程的复数根互为共轭复数,故A正确;
由题意得,z1+z2=,z1·z2=,所以b=1,
又(z1+z2)2=+2z1·z2++2×,a>0,
所以a=2,所以a-b=2-1=1,a2+b2=22+12=5,故B错误,C正确;
(z1-z2)2=-2z1·z2+-2×,
所以|z1-z2|=,所以||=|z1-z2|×|z1+z2|=,故D正确.
5.BD　对于A,根据题意得,在复平面内,对应的复数为(+i)(cos 90°+isin 90°)=(i,故A错误;
对于B,设z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi,所以z·=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z|2=a2+b2,所以z·=|z|2,故B正确;
对于C,设z=x+yi(x,y∈R),|z-i|=1表示以A(0,1)为圆心,1为半径的圆,
|z+2|表示圆上的点(x,y)到点B(-2,0)的距离,
所以|z+2|的最大值为圆心A到B的距离加上圆的半径,即+1,故C错误;
对于D,易知-3+2i是关于方程x2+px+q=0(p,q∈R)的另一个解,所以-p=(-3-2i)+(-3+2i)=-6,即p=6,故D正确.
故选BD.
6.答案　
解析　由题意得,ω=·i,
由题得,得a2=4,
又a>0,所以a=2,所以ω=+3i,
故|ω|=.
7.解析　(1)由z1=a+2i,z2=3+4i,
得i.
因为为纯虚数,所以所以a=-.
(2)由z1=a+2i,z2=3+4i,得z1-=(a+2i)-(3-4i)=(a-3)+6i,
又因为|z1-|<|z1|,所以,
即(a-3)2+36,
故实数a的取值范围为.
8.解析　(1)z1·z2=(1+2i)(3-4i)=11+2i.
∵=(3,-4),∴·=-5.
(2)∵z1=a+bi,z2=c+di,
∴z1·z2=(ac-bd)+(ad+bc)i,
∴|z1·z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2.
∵=(c,d),∴·=ac+bd,
∴|·|2=(ac+bd)2,
∴|z1·z2|2-|·|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2-(ac+bd)2=(ad+bc)2-4ac·bd=(ad-bc)2≥0,
∴|·|≤|z1·z2|,当且仅当ad=bc,即∥时取等号.
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