2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练8　空间中的平行关系

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练8　空间中的平行关系
1.(多选题)(2024云南保山腾冲第八中学期中)已知a,b是两条不重合的直线,α,β是两个不重合的平面,则下列说法中正确的是(　　)
A.若α∩β=b,a α,则a与β一定相交
B.若α∥β,a α,则a∥β
C.若a∥b,b α,则a平行于α内的无数条直线
D.若α∥β,a α,b β,则a与b是异面直线
2.(多选题)(2024广西南宁第三十六中学月考)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知点G,H分别在A1B1,A1C1上,且GH经过△A1B1C1的重心,点E,F分别是AB,AC的中点,且平面A1EF∥平面BCHG,下列结论正确的是(　　)
A.EF∥GH　　　　
B.GH∥平面A1EF
C.　　　　
D.平面A1EF∥平面BCC1B1
3.(多选题)(2024陕西咸阳实验中学月考)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,G,E分别为所在棱的中点,AB=4AF,三棱柱ABC-A1B1C1挖去两个三棱锥A-EFG,B1-BC1D后所得的几何体记为Ω,则(　　)
A.EG与BC1为异面直线　　　　
B.Ω有13条棱
C.Ω有7个顶点　　　　
D.平面BC1D∥平面EFG
4.(2023新疆乌鲁木齐模拟)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=2,则下列说法错误的是(　　)
A.BD1∥GH
B.BD与EF异面
C.EH∥平面ABCD
D.平面EFGH∥平面A1BCD1
5.(2024陕西模拟)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面为等腰直角三角形,BC为△ABC的斜边,M为BC上一点,且·=0,AC=AA1=1,P为线段BC1上一动点,则平面AMP截三棱柱所得截面面积的最大值为　　　　.(注:在本题中AM与平面BCC1B1内的任意直线垂直)
6.(2022福建厦门外国语学校期中)如图,圆柱OO'的轴截面为正方形ABCD,EF是圆柱上异于AD,BC的母线.
(1)请作出平面BDE与圆O'所在平面的交线l,并判断l与平面BEF的位置关系,要求说明作法及理由;
(2)M,N分别是DE,BF的中点,证明:MN∥平面ABE.
答案与分层梯度式解析
专题强化练8　空间中的平行关系
1.BC　对于A,若α∩β=b,a α,则a∥β或a与β相交,A错误;
对于B,若α∥β,a α,则由面面平行的性质可得a∥β,B正确;
对于C,若a∥b,b α,则a∥α或a α,故a平行于α内的无数条直线,C正确;
对于D,若α∥β,a α,b β,则a∥b或a与b是异面直线,故D错误.
故选BC.
2.ABC　由三棱柱ABC-A1B1C1的性质可知平面ABC∥平面A1B1C1,又平面BCHG∩平面ABC=BC,平面BCHG∩平面A1B1C1=GH,所以BC∥GH,
因为点E,F分别是AB,AC的中点,所以BC∥EF,故EF∥GH,A正确;
由EF∥GH,EF 平面A1EF,GH 平面A1EF,得GH∥平面A1EF,B正确;
因为GH经过△A1B1C1的重心,GH∥BC∥B1C1,所以,易知,则,C正确;
因为A1,E,B,B1四点共面,且A1E与BB1相交,所以平面A1EF与平面BCC1B1相交,D错误.
故选ABC.
3.ABD　对于A,因为EG 平面ACC1A1,C1∈平面ACC1A1且C1 EG, B 平面ACC1A1,故EG与BC1为异面直线,故A正确;
对于B,几何体Ω的棱有A1D,A1C1,DC1,A1E,EG,EF,CC1,C1B,DB,FG,GC,CB,FB,共13条,故B正确;
对于C,几何体Ω的顶点有A1,D,C1,E,G,C,B,F,共8个,故C错误;
对于D,如图,取AB的中点H,连接A1H,DH,CH,
因为AB=4AF,所以F是AH的中点,
又D,G,E分别为所在棱的中点,
所以EF∥A1H,FG∥CH,
由A1D∥BH,A1D=BH,得四边形A1DBH为平行四边形,故A1H∥DB,则EF∥DB,
又EF 平面BDC1,DB 平面BDC1,
所以EF∥平面BDC1.
易知DH∥BB1∥CC1,且DH=BB1=CC1,故四边形DC1CH为平行四边形,则C1D∥CH,故FG∥C1D,
又GF 平面BDC1,DC1 平面BDC1,
所以GF∥平面BDC1,
又EF∩FG=F,EF,FG 平面EFG,所以平面EFG∥平面BDC1,故D正确.故选ABD.
4.A　如图所示,连接A1B,D1C,BD,BD1,
由=2,可得EF∥A1B,且,同理可得GH∥CD1,且.
假设BD1∥GH,则由平行线的传递性,得BD1∥CD1,显然不成立,故A中说法错误;
由异面直线的定义可知,BD与EF异面,故B中说法正确;
在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1B∥CD1,A1B=CD1,
所以EF∥GH,EF=GH,即四边形EFGH为平行四边形,所以EH∥FG,
又BC∥FG,所以EH∥BC,因为EH 平面ABCD,BC 平面ABCD,所以EH∥平面ABCD,故C中说法正确;
由EF∥A1B,EF 平面A1BCD1,A1B 平面A1BCD1,得EF∥平面A1BCD1,
由BC∥FG,FG 平面A1BCD1,BC 平面A1BCD1,得FG∥平面A1BCD1,
又EF∩FG=F,且EF,FG 平面EFGH,
所以平面EFGH∥平面A1BCD1,故D中说法正确.
故选A.
5.答案　
解析　分三种情况:①如图1,延长MP交B1C1于点N,过点N作AM的平行线交A1C1于点S,连接AS,则所求截面为四边形AMNS;
②如图2,延长MP交B1C1于点N1,过点N1作AM的平行线交A1B1于点S1,连接AS1,则所求截面为四边形AMN1S1;
③如图3,延长MP交BB1于点N2,连接AN2,则所求截面为△AMN2.
　　
显然①②中的截面面积均大于或等于③中的截面面积,故只需考虑①②中的情况,根据对称性可知①②中的情况相同,故只考虑情况①即可.
在①中,易知AM=,AM⊥MN,△SC1N为等腰直角三角形,设C1N=x,
则SN=x,MN=(过N作BC的垂线,构造直角三角形,利用勾股定理求MN的长度),
所以所求截面面积S=,
因为y=x4,y=在上均单调递增,
所以函数y=x4+在上单调递增,
故Smax=,
故所求截面面积的最大值为.
6.解析　(1)交线l如图所示.
作法:在平面BDE中过D点作直线l∥BE,则直线l就是所求作的交线.
理由:在圆柱OO'中,EF,BC是母线,∴EF∥BC,EF=BC,
∴四边形EFCB是平行四边形,∴EB∥FC,
又∵EB 平面FCD,CF 平面FCD,
∴EB∥平面FCD.
∵交线l=平面FCD∩平面DBE,∴l∥EB,
∴过D作直线l∥EB,则直线l就是所求作的交线.
∵l∥EB,l 平面BEF,EB 平面BEF,
∴l∥平面BEF.
(2)证明:取EF的中点G,连接MG,NG,
∵M,G分别是DE,EF的中点,∴MG∥DF,
∵MG 平面DFC,DF 平面DFC,
∴MG∥平面DFC,∴MG∥平面ABE,
同理可证GN∥平面ABE,
∵MG∩GN=G,MG,GN 平面MGN,
∴平面MGN∥平面ABE,
又∵MN 平面MGN,∴MN∥平面ABE.
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