2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--专题强化练9　空间中的垂直关系

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2025北师大版高中数学必修第二册
专题强化练9　空间中的垂直关系
1.(2022河南南阳第一中学月考)设m,n,l是三条不同的直线,α,β是两个不同的平面,给出下列四个命题,其中正确的是(　　)
A.若α⊥β,l α,m β,则l⊥m
B.若α∥β,l α,m β,则l∥m
C.若l⊥α,l∥β,则α⊥β
D.l α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β,则α⊥β
2.如图所示,三棱锥P-ABC的底面在平面α上,且AC⊥PC,平面PAC⊥平面PBC,点P,A,B是定点,则动点C的运动轨迹是(　　)
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆,但要去掉两个点
3.(多选题)(2024吉林长春吉大附中实验学校月考)在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,P在底面上的射影E在线段BD上,则(　　)
A.PA=PC　　　　B.PB=PD
C.AC⊥平面PBD　　　　D.BD⊥平面PAC
4.(2024江西赣州期末)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥底面A1B1C1,∠ACB=90°,AC=4,BC=,CC1=3,P为BC1上的动点,则CP+PA1的最小值为(　　)
A.　　　　C.6　　　　D.7
5.(多选题)如图,PA垂直于以AB为直径的圆所在的平面,点C是圆上异于A,B的任一点,则下列结论正确的是(　　)
A.PC⊥BC　　　　
B.AC⊥平面PCB
C.平面PAB⊥平面PBC　　　　
D.平面PAC⊥平面PBC
6.(2024湖南岳阳模拟)如图所示,直角三角形ABC所在平面垂直于平面α,直角边AC在平面α内,直角边BC的长为,∠BAC=,若平面α上存在点P,使得△ABP的面积为,则线段CP长度的最小值为　　　　.
7.(2023陕西西安月考)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,AB=2,BC=a,PA⊥底面ABCD.
(1)当a为何值时,BD⊥平面PAC 证明你的结论;
(2)若在棱BC上至少存在一点M,使PM⊥DM,求a的取值范围.
答案与分层梯度式解析
专题强化练9　空间中的垂直关系
1.C　对于A,若α⊥β,l α,m β,则l与m可能平行、相交或异面,A不正确;
对于B,若α∥β,l α,m β,则l与m可能平行或异面,B不正确;
对于C,如图,过l作平面γ,γ∩β=l',∵l∥β,l γ,γ∩β=l',∴l∥l',∵l⊥α,∴l'⊥α,又l' β,∴α⊥β,C正确;
对于D,当l α,l⊥m,l⊥n,m∥β,n∥β时,α与β还可能平行或斜交,D不正确.故选C.
2.D　∵平面PAC⊥平面PBC,AC⊥PC,AC 平面PAC,平面PAC∩平面PBC=PC,∴AC⊥平面PBC.
∵BC 平面PBC,∴AC⊥BC,∴∠ACB=90°,
∴动点C的运动轨迹是以AB为直径的圆(除去A,B两点).
3.AC　对于A,由题意得PE⊥平面ABCD,
连接AC,交BD于点H,若E与H不重合,则AH=CH,EH⊥AC,
所以AE=EC,当E与H重合时,显然AE=EC,又PA=,所以PA=PC,A正确;
对于B,PD=,由于ED与EB不一定相等,所以PB,PD不一定相等,B错误;
对于C,因为PE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,所以PE⊥AC,又因为AC⊥BD,PE∩BD=E,PE,BD 平面PBD,所以AC⊥平面PBD,C正确;
对于D,连接PH,若E,H不重合,则PH与EH不垂直,故BD与PH不垂直,则BD与平面PAC不垂直,D错误.
故选AC.
4.A　连接A1B,根据题意,得△CC1B为直角三角形,
因为∠ACB=90°,
所以∠A1C1B1=90°,
即A1C1⊥B1C1,
因为AA1⊥底面A1B1C1,CC1∥AA1,
所以CC1⊥底面A1B1C1,
所以CC1⊥A1C1,
又B1C1∩CC1=C1,B1C1,CC1 平面BCC1B1,
所以A1C1⊥平面BCC1B1,又BC1 平面BCC1B1,
所以A1C1⊥BC1,即∠A1C1B=90°,
即△A1BC1为直角三角形,
将二面角A1-BC1-C沿BC1展开成平面图形,得四边形A1BCC1,如图所示,
若要CP+PA1取得最小值,则当且仅当C,P,A1三点共线.
因为BC=,CC1=3,所以∠CC1B=30°,
又∠A1C1B=90°,所以∠A1C1C=120°,
在△A1C1C中,由余弦定理得A1C2=A1-2A1C1·CC1·cos∠A1C1C=42+32-2×4×3cos 120°=37,
所以A1C=,
即CP+PA1的最小值为,
故选A.
5.AD　∵AB是圆的直径,C在圆上,∴AC⊥BC.
∵PA⊥平面ABC,BC 平面ABC,∴PA⊥BC,
又PA∩AC=A,PA,AC 平面PAC,
∴BC⊥平面PAC,
又PC 平面PAC,∴PC⊥BC,故A正确;
∵BC 平面PBC,
∴平面PBC⊥平面PAC,故D正确;
若AC⊥平面PCB,则AC⊥PC,
∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥AC,与AC⊥PC矛盾,故B错误;
过点C作CD⊥PB于D,若平面PAB⊥平面PBC,且平面PAB∩平面PBC=PB,CD 平面PBC,则CD⊥平面PAB,
又PA 平面PAB,∴CD⊥PA,
又PA⊥BC,CD∩BC=C,CD,BC 平面PBC,
∴PA⊥平面PBC,∵PC 平面PBC,
∴PA⊥PC,与PA⊥AC矛盾,故C错误.故选AD.
6.答案　
解析　在Rt△ABC中,BC=,∠BAC=,AC⊥BC,则AB=,
因为平面ABC⊥平面α,平面ABC∩平面α=AC,AC⊥BC,BC 平面ABC,所以BC⊥平面α,
因为CP 平面α,所以BC⊥CP,则CP=(在Rt△BCP中,CP最短,即BP最短),
设∠ABP=θ(0<θ<π),
则S△ABP=AB·BPsin θ,即BP·sin θ,得BP=,
当sin θ=1,即θ=,即AB⊥BP时,BP的长度取得最小值1,此时CP的长度取得最小值,为.
7.解析　(1)当a=2时,BD⊥平面PAC.证明如下:
当a=2时,矩形ABCD为正方形,则BD⊥AC.
∵PA⊥平面ABCD,BD 平面ABCD,∴BD⊥PA.
又AC∩PA=A,AC,PA 平面PAC,∴BD⊥平面PAC.
故当a=2时,BD⊥平面PAC.
(2)连接AM.
∵PA⊥平面ABCD,DM 平面ABCD,∴DM⊥PA,
又PM⊥DM,PA∩PM=P,PA,PM 平面PAM,
∴DM⊥平面PAM,
∵AM 平面PAM,∴DM⊥AM,
∴点M是以AD为直径的圆和棱BC的交点,
∴圆的半径r=≥AB,即a≥4,
∴a的取值范围是[4,+∞).
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