2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§1　从位移、速度、力到向量

中小学教育资源及组卷应用平台
2025北师大版高中数学必修第二册
第二章　平面向量及其应用
§1　从位移、速度、力到向量
基础过关练
题组一　向量的相关概念及表示
1.(2024山东菏泽外国语学校月考)给出下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程;⑦密度.其中是向量的有(　　)
A.2个　　　　B.3个　　　　C.4个　　　　D.5个
2.(多选题)(2024江西丰城东煌学校期末)已知向量a,b,c,下列四个命题不正确的是(　　)
A.若|a|=0,则a=0
B.单位向量都相等
C.方向相反的两个非零向量一定共线
D.若a,b满足|a|>|b|,且a与b同向,则a>b
3.在平面直角坐标系中,O为原点,若||=3,则所有满足条件的点P都落在　　　　.
4.中国象棋中规定:马走“日”字.下图是中国象棋的半边棋盘,在A处的马可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量或表示马走了“一步”.试在图中画出马在B,C处走了“一步”的所有情况.
5.在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长均为1),用直尺和圆规画出下列向量:
(1),使|,点A在点O北偏东45°方向上;
(2),使||=4,点B在点A正东方向上;
(3),使||=6,点C在点B北偏东30°方向上.
6.一辆汽车从A点出发向西行驶了100 m到达B点,然后向北偏西40°的方向行驶了200 m到达C点,最后向东行驶了100 m到达D点.
(1)作出向量;
(2)求||.
题组二　相等向量与共线向量
7.(多选题)(2024江西南昌第一中学月考)下列说法正确的是(　　)
A.若a=b,b=c,则a=c
B.若a∥b,b∥c,则a∥c
C.共线向量又叫平行向量
D.若|a|=|b|,则a=b
8.(2024江苏南京师大附中期末)设点O是正三角形ABC的中心,则向量是(　　)
A.共起点的向量　　　　B.模相等的向量
C.共线向量　　　　D.相等向量
9.(多选题)(2023江苏南京师范大学附属实验学校期中)若四边形ABCD是矩形,则下列命题正确的是(　　)
A.共线
B.相等
C.的模相等,方向相反
D.模相等
10.(2024河南许平联考)已知四边形ABCD,则下列说法正确的是(　　)
A.若||,且∥,则四边形ABCD为梯形
B.若||,则四边形ABCD为矩形
C.若∥,且||,则四边形ABCD为矩形
D.若,则四边形ABCD为平行四边形
11.如图,△ABC和△A'B'C'是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形,设△ABC的边长为a,写出图中给出的长度为的所有向量中:
(1)与向量相等的向量;
(2)与向量共线的向量;
(3)与向量为相反向量的向量.
题组三　向量的夹角
12.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=,则向量与的夹角为(　　)
A.
13.如图,O是正三角形ABC的中心,四边形AOCD和四边形AOBE均为平行四边形,则与向量共线的向量为　　　　;与向量的夹角为120°的向量为　　　　.(填图中所画出的向量)
14.正六边形ABCDEF的中心是点O,以点A,B,C,D,E,F,O为起点或终点的向量中,与相等的向量共有　　　　个,与的模相等且与的夹角为60°的向量共有　　　　个.
15.如图,O是正方形ABCD对角线的交点,四边形OAED和四边形OCFB都是正方形,在向量中:
(1)分别写出与相等的向量;
(2)写出与共线的向量;
(3)写出与长度相等的向量;
(4)求向量与的夹角的大小.
答案与分层梯度式解析
第二章　平面向量及其应用
§1　从位移、速度、力到向量
基础过关练
1.C　易知②③④⑤是向量,共4个.故选C.
2.BD　对于A,若|a|=0,则a=0,故A正确;
对于B,单位向量的模为1,但方向不一定相同,故B错误;
对于C,方向相同或相反的两个非零向量为共线向量,故C正确;
对于D,向量的模能比较大小,但向量不能比较大小,故D错误.
故选BD.
3.答案　以O为圆心,3为半径的圆上
解析　由||=3,知P到O的距离为3,即点P落在以O为圆心,3为半径的圆上.
4.解析　根据规则,作出所有符合要求的向量如图.
5.解析　(1)如图所示.
(2)如图所示.
(3)如图所示.
6.解析　(1)作出向量,如图所示.
(2)作出向量,由题意可知,与方向相反,且与共线,
∵||,
∴在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,
∴四边形ABCD为平行四边形,∴,
∴||=200 m.
方法总结　用有向线段表示向量时,先确定起点,再确定方向,最后依据向量的模确定向量的终点.
7.AC　对于A,向量相等具有传递性,故A正确;
对于B,若b=0,则a∥c不一定成立,故B错误;
易知C正确;
对于D,当a与b方向不同时,两向量不相等,故D错误.故选AC.
8.B　因为O是正三角形ABC的中心,所以||,所以向量的模相等,但方向不同.故选B.
9.ACD　如图.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,AD∥BC,AC=BD,∴共线,|的方向相反,||,
但与的方向不同,故A,C,D正确,B不正确.
故选ACD.
10.D　对于A,四边形ABCD可以是平行四边形,也可以是梯形,故A错误;
对于B,四边形ABCD的对角线相等不能保证四边形为矩形,故B错误;
对于C,四边形ABCD可以是等腰梯形,也可以是矩形,故C错误;
对于D,若,则||,且∥,则四边形ABCD为平行四边形,故D正确.故选D.
11.解析　(1)与向量相等的向量,即与向量大小相等,方向相同的向量,有.
(2)与向量共线的向量,即与向量方向相同或相反的向量,有.
(3)与向量为相反向量的向量,即与的模相等,且方向相反的向量,有.
12.B　∵AB=AC,∠BAC=,∴∠ABC=∠ACB=,
则向量与的夹角为π-∠ABC=.故选B.
13.答案　
解析　∵O是正三角形ABC的中心,∴OA=OB=OC,∴与共线的向量为;与的夹角为120°的向量为.
14.答案　3;8
解析　如图,正六边形ABCDEF中,点O为其中心,
以点A,B,C,D,E,F,O为起点或终点的向量中,与相等的向量有,共3个.
与的模相等且与的夹角为60°的向量有,共8个.
15.解析　(1).
(2)与共线的向量有.
(3)与长度相等的向量有.
(4)由题意知,,所以向量与的夹角即向量与的夹角,为135°.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)