2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§1　同角三角函数的基本关系

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2025北师大版高中数学必修第二册
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
基础过关练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求角的三角函数值
1.(2024江西景德镇期末质量检测)已知β是第三象限角,且sin β=-,则tan β=(　　)
A.-
2.(2023河北邢台期末)已知角θ的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(4sin θ,cos θ),θ∈,则tan θ=(　　)
A.
3.(2024江西南昌二中月考)已知α∈(π,2π),tan α=2,则2sin α-cos α
=(　　)
A.　　　　D.0
4.(多选题)若sin α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有(　　)
A.tan α=　　　　 B.cos α=
C.sin α+cos α=　　　　D.sin α-cos α=-
题组二　三角函数式的化简、求值与证明
5.化简sin2α+cos4α+sin2αcos2α的结果是(　　)
A.
6.已知sin θ-2cos θ=0,则sin2θ+1等于(　　)
A.
7.若α为第二象限角,则 的值为(　　)
A.3　　　　B.-3　　　　C.1　　　　D.-1
8.(2023吉林田家炳高级中学期末)化简的结果是(　　)
A.sin 5-cos 5　　　　B.cos 5-sin 5
C.sin 5+cos 5　　　　D.-cos 5-sin 5
9.(2024江西九江同文中学阶段考试)已知α∈,且sin α=,那么sin-cos(π-α)=　　　　.
10.证明:.
11.(2024江西南昌第五高级中学期中)已知f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若α是第二象限角,且cos,求f(α)的值.
题组三　利用sin α±cos α,sin αcos α的关系求值
12.(多选题)(2024河北张家口期末)在平面直角坐标系中,已知sin θ +cos θ=,则角θ的终边可能位于(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限　　　　
C.第三象限　　　　D.第四象限
13.(2024山东淄博期末)已知sin α+cos α=,且α∈(0,π),则sin α-cos α的值为(　　)
A.-
C.或-
14.(多选题)(2024江西南昌师大附中月考)已知sin α-cos α=(0<α<π),则下列选项正确的是(　　)
A.sin αcos α=　　　　
B.sin α+cos α=
C.cos4α+sin4α=　　　　
D.cos4α+sin4α=
15.(2023湖南湘潭期末)已知f(sin α+cos α)=2sin αcos α,则
f=　　　　.
题组四　三角函数中的齐次式问题
16.(2023河南郑州实验高级中学期末)已知角α的顶点与原点重合,始
边与x轴的非负半轴重合,点P(1,-3) 在角α的终边上,则= (　　)
A.-
17.(2023山东临沂郯城第三中学期末)已知角α的终边过点(m,3),且,则非零实数m=(　　)
A.-　　　　D.6
18.(2023安徽省级示范高中期末)已知sin α=2cos α,则sin2α+
2sin αcos α=　　　　.
19.(2024江西南昌第一中学期中)已知f(α)=.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),求f(α);
(2)若f(α)=2,分别求和4sin2α-3sin αcos α的值.
能力提升练
题组一　利用同角三角函数的基本关系求值
1.(2023江苏五校期末联考)设sin α+cos α=x,且sin 3α+cos 3α=a3x3+
a2x2+a1x+a0,则a0+a1+a2+a3=(　　)
A.-1　　　　B.
2.(2023山西省际联考模拟)已知sin α-cos α=,α∈,则=(　　)
A.-　　　　
C.-
3.(2024江西丰城中学开学考试)已知α∈,且sin,则sin=(　　)
A.
4.(2024江西师大附中素养测试)我国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”,它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形,如图所示,记直角三角形较小的锐角为α,大正方形的面积为S1,小正方形的面积为S2,若=25,则的值为(　　)
A.
5.(2023黑龙江佳木斯开学考试)sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°等于　　　　.
6.(2024江西九江期末)已知α,β是函数f(x)=13sin-12在上的两个零点,且α<β,则α+β=　　　　,sin(α-β)=　　　　.
7.(2023河北承德期末)已知角α的终边上一点P的坐标为(m,4m),其中m≠0.
(1)若α∈,求sin α,cos α,tan α的值;
(2)求的值.
题组二　利用同角三角函数的基本关系化简与证明
8.(2024江苏连云港海头高级中学期末)若π<α<,则的化简结果是(　　)
A.
9.(多选题)已知tan2x-2tan2y-1=0,则下列式子中成立的是(　　)
A.sin2y=2sin2x+1　　　　B.sin2y=-2sin2x-1
C.sin2y=2sin2x-1　　　　D.sin2y=1-2cos2x
10.(2023安徽师范大学附属中学月考)求证:.
答案与分层梯度式解析
第四章　三角恒等变换
§1　同角三角函数的基本关系
基础过关练
1.B　因为β是第三象限角,且sin β=-,
所以cos β=-,
所以tan β=,故选B.
2.D　由题意得,tan θ=,解得tan θ=±,
又θ∈,所以tan θ=.故选D.
3.B　因为α∈(π,2π),tan α=2,所以α∈,
则sin α<0,cos α<0,
由解得
所以2sin α-cos α=2×.
4.AB　因为sin α=,且α为锐角,所以cos α=,故B正确;tan α=,故A正确;sin α+cos α=≠,故C错误;sin α-cos α=≠-,故D错误.故选AB.
5.C　原式=sin2α+cos2α(cos2α+sin2α)=sin2α+cos2α=1.
6.C　由sin θ-2cos θ=0得cos θ=sin θ,因此sin2θ+=1,解得sin2θ=,故sin2θ+1=.
7.C　原式=,因为α为第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以原式==-1+2=1.
8.B　
=
=
=|sin 5-cos 5|,
因为5∈,
所以sin 5<0,cos 5>0,
所以原式=cos 5-sin 5.
9.答案　
解析　由α∈,sin α=,得cos α=,所以sin-cos(π-α)=cos α-(-cos α)=2cos α=.
10.证明　左边=
=-
=
=
==右边,故原等式成立.
方法总结　证明三角恒等式,实质上是通过变形、转化消去等式两边的差异,来促成统一的过程,在证明过程中常用的技巧:(1)“1”的代换;(2)弦切互化;(3)多项式运算技巧的应用(分解因式等).
11.解析　(1)f(α)=
==cos α.
(2)∵cos=-sin α=-,∴sin α=,
∵α是第二象限角,∴cos α=-,
∴f(α)=cos α=-.
12.BD　由sin θ+cos θ=,
两边平方得1+2sin θcos θ=,
则2sin θcos θ=-<0,即sin θcos θ<0.故选BD.
13.C　将sin α+cos α=两边同时平方得sin2α+cos2α+2sin αcos α=,可得sin αcos α=-,
又α∈(0,π),所以sin α>0,cos α<0,
则(sin α-cos α)2=sin2α+cos2α-2sin αcos α=,
可得sin α-cos α=±,
又sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α=.
方法总结　sin α+cos α,sin αcos α,sin α-cos α三个式子中,已知其中一个可以求出其他两个,即“知一求二”.它们的关系是(sin α+cos α)2 =1+2sin αcos α,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α,(sin α+cos α)2=(sin α-cos α)2+4sin αcos α.
14.ABD　原式两边平方得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,
即2sin αcos α=,则sin αcos α=,故A正确;
因为0<α<π,所以sin α>0,cos α>0,
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=1+,
所以sin α+cos α=,故B正确;
cos4α+sin4α=-2sin2αcos2α=1-2×,故C错误,D正确.
故选ABD.
15.答案　-
解析　由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α,结合题意得
f(sin α+cos α)=(sin α+cos α)2-1.
令t=sin α+cos α,则t∈[-2,2],f(t)=t2-1,
则f =f .
16.D　因为点P(1,-3)在角α的终边上,所以tan α=-3,
所以.
17.C　由题及三角函数的定义得tan α=,
又,所以tan α=2,
即=2,解得m=.
18.答案　
解析　∵sin α=2cos α,∴tan α=2,
∴sin2α+2sin αcos α=
=.
19.解析　f(α)=
==-tan α.
(1)若角α的终边过点P(-12,5),则tan α=-,
所以f(α)=-tan α=.
(2)若f(α)=-tan α=2,则tan α=-2,
所以=3;
4sin2α-3sin αcos α=.
能力提升练
1.C　因为sin α+cos α=x,所以(sin α+cos α)2=x2,
即1+2sin αcos α=x2,所以sin αcos α=.
sin 3α+cos 3α=(sin α+cos α)(sin 2α-sin αcos α+cos 2α)
=,
所以=a3x3+a2x2+a1x+a0,
所以a0=0,a1=,
则a0+a1+a2+a3=1.
2.D　由题意可得(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0,所以sin α与cos α同号,
又α∈,所以α∈,故sin α>0,cos α>0,所以sin α+cos α>0,
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
所以sin α+cos α=,
所以.故选D.
3.A　因为α∈,所以α+∈,
则cos,
则sin,
sin,
所以sin.
4.C　设大正方形的边长为a,则直角三角形的较短与较长的直角边长分别为asin α,acos α,
因为α是直角三角形较小的锐角,所以0<α<,
可得S1=a2,S2=S1-4×a2sin αcos α=a2-2a2sin αcos α,
则=25,
即=25,
解得tan α=或tan α=(舍去),
所以.
故选C.
5.答案　44.5
解析　设S=sin 21°+sin 22°+sin 23°+…+sin 289°,①
因为sin 21°=cos 289°,sin 22°=cos 288°,sin 23°=cos 287°,……,sin 289°=cos 21°,
所以S=cos 289°+cos 288°+cos 287°+…+cos 21°,②
①+②,得2S=1×89,所以S=44.5.
6.答案　
解析　由f(x)=0,得sin,
因为α,β是函数f(x)在上的两个零点,
所以α,β是方程sin的两个根,
则sin=sin,
故,∴α+β=.
∵0<α<β<,∴-<2α+,故cos>0,
∴cos,
故sin(α-β)=sin.
故答案为.
7.解析　(1)因为α∈,
所以sin α>0,cos α>0,tan α>0.
由题及三角函数的定义可得tan α==4,
则sin α=4cos α,又sin 2α+cos 2α=1,
所以sin 2α=,cos 2α=,
故sin α=,cos α=.
(2)
=,
由(1)知tan α=4,所以原式=.
8.D　
=
=,
因为π<α<,所以cos α<0,1+sin α>0,1-sin α>0,
故原式=-.故选D.
9.CD　∵tan2x-2tan2y-1=0,∴-2·-1=0,
∴sin2xcos2y-2sin2ycos2x=cos2ycos2x,
∴(1-cos2x)(1-sin2y)-sin2ycos2x=(cos2y+sin2y)cos2x,
即1-cos2x-sin2y+sin2ycos2x-sin2ycos2x=cos2x,
∴sin2y=1-2cos2x=2sin2x-1,故C、D正确.故选CD.
10.证明　左边=
=
=
=
==右边,
所以原等式成立.
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