2025北师大版高中数学必修第二册强化练习题--§1　周期变化

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2025北师大版高中数学必修第二册
第一章　三角函数
§1　周期变化
基础过关练
题组一　周期现象
1.(2024河南南阳月考)下列现象不是周期现象的是(　　)
A.“春去春又回”
B.钟表的分针每小时转一圈
C.“哈雷彗星”的运行时间
D.某同学每天上数学课的时间
2.(2022河南邓州春雨国文学校月考)如图所示的是一个单摆,让摆球从A点开始摆,最后又回到A点,单摆所经历的时间是一个周期T,则摆球在O→B→O→A→O的运动过程中,经历的时间是(　　)
A.2T　　　　B.T　　　　
C.
题组二　周期函数
3.(2024云南开远第一中学月考)设f(x)是定义在R上的函数,对任意的实数x,有f(x)=f(x+6),且当x∈(-3,3]时,f(x)=|x|,则f(100)的值为(　　)
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
4.函数f(x)是周期为4的偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=x-1,则不等式xf(x)>0在[-1,3]上的解集为(　　)
A.(1,3)　　　　B.(-1,1)
C.(-1,0)∪(1,3)　　　　D.(-1,0)∪(0,1)
5.(多选题)(2024辽宁名校联盟联考)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,f(x+1)是偶函数,则(　　)
A.f(0)=1　　　　B.f(x)是周期函数
C.f(x+3)为偶函数　　　　D.f(x+5)为奇函数
6.(多选题)(2023山东日照实验高级中学月考)一半径为3.6米的水轮的示意图如图所示,水轮圆心O距离水面1.8米.已知水轮按逆时针方向匀速转动,每60秒转动一圈,如果当水轮上点P从水面开始浮现时(图中点P0的位置)计时,则下列判断正确的有(　　)
A.点P第一次到达最高点需要20秒
B.在水轮转动一圈的过程中,有40秒的时间,点P在水面的上方
C.当水轮转动95秒时,点P在水面上方,且点P距离水面1.8米
D.当水轮转动50秒时,点P在水面下方,且点P距离水面0.9米
7.(2024黑龙江大庆中学月考)若偶函数f(x)对任意x∈R都有f(x+3)=
-,且当x∈[-3,-2]时,f(x)=4x,则f(2 024)=　　　　.
8.(2023吉林白山临江第二中学月考)设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式.
答案与分层梯度式解析
第一章　三角函数
§1　周期变化
基础过关练
1.D　
2.B　整个运动刚好是一个周期,所以摆球在O→B→O→A→O的运动过程中经历的时间是一个周期T,故选B.
3.C　因为f(x)=f(x+6),所以f(x)的一个周期为6,
则f(100)=f(16×6+4)=f(4)=f(-2),
又当x∈(-3,3]时,f(x)=|x|,故f(-2)=|-2|=2,所以f(100)=2,故选C.
4.C　若x∈[-2,0],则-x∈[0,2],∴f(-x)=-x-1.
∵f(x)是偶函数,∴f(x)=f(-x)=-x-1,
即当x∈[-2,0]时,f(x)=-x-1.
若x∈[2,4],则x-4∈[-2,0],
∵f(x)的周期为4,∴f(x)=f(x-4)=-(x-4)-1=-x+3.
作出函数f(x)在[-2,4]上的图象如图所示,
则当x∈[-1,3]时,不等式xf(x)>0等价于或即-1故原不等式的解集为(-1,0)∪(1,3),故选C.
5.BC　对于A,B,因为f(x+1)是偶函数,所以f(x+1)=f(-x+1),即f(-x)=f(2+x),
又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-x)=-f(x),f(0)=0,则f(2+x)=-f(x),即f(4+x)=-f(x+2)=f(x),所以f(x)是以4为一个周期的周期函数,故A错误,B正确;
对于C,设g(x)=f(x+3),则g(x)的定义域为R,
因为f(-x)=f(2+x),所以f(-x+3)=f(-1+x),
则g(-x)=f(-x+3)=f(-1+x)=f(x+3),
即g(x)=g(-x),所以f(x+3)为偶函数,故C正确;
对于D,设h(x)=f(x+5),则h(x)的定义域为R,
因为f(-x)=f(2+x),所以f(-x+5)=f(x-3),
则h(-x)=f(-x+5)=f(x-3)=f(x+5),
即h(x)=h(-x),所以f(x+5)为偶函数,故D错误.
故选BC.
6.ABC　如图,过O作直径P1P4,使P1P4⊥P0P3,垂足为A,
依题意知OA=1.8米,所以∠AOP0=60°,故∠P0OP1=120°,
点P从P0处开始运动,第一次到达最高点P1需要的时间为×60=20(秒),故A正确.
根据对称性可知,点P由P0运动到P3需要的时间为20×2=40(秒),故B正确.
当水轮转动95秒时,点P的位置与转动95-60=35秒时相同,
当水轮转动35秒时,转过的角度为×360°=210°,
此时点P在图中P2的位置,其中OP1⊥OP2,故此时点P在水面上方,其到水面的距离为OA=1.8米,故C正确.
当水轮转动50秒时,转过的角度为×360°=300°,此时点P在图中P4的位置,距离水面3.6-1.8=1.8(米),故D错误.
故选ABC.
7.答案　-8
解析　因为f(x+3)=-,所以f(x+6)=-=f(x),故f(x)的一个周期为6,
因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),
则f(2 024)=f(337×6+2)=f(2)=f(-2)=-8.
规律总结　对f(x)定义域内任一自变量x:(1)若f(x+a)=-f(x)(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a;(2)若f(x+a)=(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a;(3)若f(x+a)=-(a>0)恒成立,则f(x)为周期函数,且周期T=2a.
8.解析　(1)证明:∵f(x+2)=-f(x),
∴f(x+4)=-f(x+2)=f(x),
∴f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[2,4]时,-x∈[-4,-2],∴4-x∈[0,2],
∴f(4-x)=2(4-x)-(4-x)2=-x2+6x-8.
由(1)及题意可得f(4-x)=f(-x)=-f(x),
∴-f(x)=-x2+6x-8,
故f(x)=x2-6x+8,x∈[2,4].
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